Опубликован: 26.07.2006 | Доступ: свободный | Студентов: 2742 / 421 | Оценка: 4.00 / 3.77 | Длительность: 15:27:00
ISBN: 978-5-94774-818-5
Специальности: Программист, Математик
Лекция 6:

Методы построения функции принадлежности. Обзор основных методов

< Лекция 5 || Лекция 6: 12345 || Лекция 7 >

Косвенные методы для группы экспертов

А.П.Шер предлагает способ определения функции принадлежности на основе интервальных оценок. Пусть интервал [x_{ji} ,x_{ji}^\prime
] отражает мнение i -го эксперта, i>1 ( i=1,\ldots,m ), о значении j -го ( j=1,\ldots,n ) признака оцениваемого понятия S. Тогда полным описанием этого понятия i -м экспертом является гиперпараллелепипед \theta _i  = [x_{1i}
,x_{1i}^\prime  ] \times \ldots  \times [x_{ni} ,x_{ni}^\prime  ]. Приводится процедура, позволяющая вычислять коэффициенты компетентности экспертов, а также сводить исходную "размытую" функцию (усредненные экспертные оценки) к характеристической функции неразмытого, четкого множества. Алгоритм следующий:

  1. Рассматривая для каждого признака j все интервалы, предложенные экспертами, находим связанное покрытие их объединения, состоящее из непересекающихся интервалов, концами которых являются только концы исходных интервалов:
    [x_{jk} ,x_{jk}^\prime  ],\quad \quad j = 1,\ldots ,n,\quad k = 1,\ldots ,m_j 
- 1.
  2. Образуем на основе полученных покрытий непересекающиеся гиперпараллелепипеды:
    T_k  = [x_{ik} ,x_{ik}^\prime  ] \times \ldots  \times [x_{nk} ,x_{nk}^\prime 
],\quad \quad k = 1,\ldots ,m'.
  3. Вычисляем для x \in T_k.
    \varphi _i (x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}c}
   {1,} & {\t{\char229}\t{\char241}\t{\char235}\t{\char232}\;T_k  \cap
\theta _i  \ne \varnothing ,}  \\
   {0,} & {\t{\char229}\t{\char241}\t{\char235}\t{\char232}\;T_k  \cap
\theta _i  = \varnothing .}  \\
\end{array} } \right.
  4. Полагаем номер итерации l=1.
  5. Вводим коэффициенты компетентности
    \{ \lambda _i^l \} _{i = 1}^m  = \{ {1 \mathord{\left/
 {\vphantom {1 m}} \right.
 \kern-\nulldelimiterspace} m}\} _{i = 1}^m .
  6. Вычисляем приближение функции принадлежности при нормированных \lambda _i, т.е. \sum {\lambda _i^l  =
1}:
    f^l (x) = \sum\limits_{i = 1}^m {\varphi _i (x)\lambda _i^l } ,\quad \quad x
\in T_k ,\quad k = 1,\ldots ,m'.
  7. Вычисляем функционал рассогласования мнения i -го эксперта с мнением экспертного совета на l -й итерации:
    \delta _i^l  = \sum\limits_{\begin{subarray}{c}
   {x \in T_k }  \\
   {k = 1,\ldots ,m'}  \\
 \end{subarray} } {[f^l (x) - \varphi _i (x)]^2 } ,\quad \quad i = 1,\ldots ,m.
  8. Вычисляем \Delta  = \sum\limits_{i = 1}^m {{1
\mathord{\left/
{\vphantom {1 {\delta _i^l .}}} \right.
\kern-\nulldelimiterspace} {\delta _i^l .}}}

  9. Присваиваем l=l+1.
  10. Вычисляем \lambda _i^l  = {\Delta  \mathord{\left/
{\vphantom {\Delta  {\delta _i^{l - 1} .}}} \right.
\kern-\nulldelimiterspace} {\delta _i^{l - 1} .}}
  11. Если величина \max |\lambda _i^{l - 1}  - \lambda _i^l
| близка к нулю, то вычисления прекращаем и приближением функции принадлежности считаем f(x) = \mu _S (x), в противном случае возвращаемся к шагу 6.

Опишем кратко косвенный метод, предложенный З.А.Киквидзе. Пусть Uуниверсальное множество, S — понятие, общее название элементов. Задача определения нечеткого подмножества U, описывающего понятие S, решается путем опроса экспертов. Каждый эксперт A_{i} ( i=1,\ldots,m ) выделяет из U множество элементов Q_{i}, по его мнению, соответствующих понятию S. Ранжируя все элементы множества Q = \mathop  \cup \limits_{i = 1}^m
Q_i по предпочтению в смысле соответствия понятию S, каждый эксперт упорядочивает Q, используя отношение порядка \succ или \approx. Отношение \approx указывает на одинаковую степень предпочтения между любыми элементами q_\alpha 
,q_\beta   \in Q. Предполагается, что эксперты могут поставить коэффициенты степени предпочтения \gamma перед элементами в упорядоченной последовательности, усиливая или ослабляя отношение предпочтения. Вводится расстояние между элементами указанной последовательности q_\alpha ^i ,q_\beta ^i  \in Q:

\rho (q_\alpha ^i ,q_\beta ^i ) = \frac{1}
{\gamma }.

Здесь \alpha, \beta — порядковые номера элементов в упорядочении. Расстояние вычисляется через первый в упорядочении элемент:

\rho (q_\alpha ^i ,q_\beta ^i ) = \rho (q_1^i ,q_\beta ^i ) - \rho (q_1^i
,q_\alpha ^i ) = \rho _\beta ^i  - \rho _\alpha ^i .

Эта разность показывает, насколько предпочтительнее q_\alpha
^i по сравнению с q_\beta ^i. При решении задачи взвешивания предпочтительности элементов множества Q предполагается, что разность между весами \varphi (q_\alpha ^i ) -
\varphi (q_\beta ^i ) пропорциональна разности \rho _\beta ^i  - \rho _\alpha ^i: \varphi (q_{\beta  + \nu }^i ) - \varphi (q_\beta ^i ) = c(\rho _{\beta 
+ \nu }^i  - \rho _\beta ^i ). Когда \nu=1, формула превращается в рекуррентную формулу, и задача сводится к определению веса первого элемента. При использовании рекуррентных формул вес последнего элемента должен отличаться от нуля. Например, в качестве \varphi (q_1^i ) можно выбрать \mathop {\max }\limits_\alpha  \rho _\alpha ^i  + \rho
_0. На основании всех \varphi (q_\alpha ^i )\quad (i = 1,\ldots ,m) для q_\alpha определяется значение \varphi (q_\alpha  ) = \frac{1}{m}\sum\limits_{i = 1}^m
{\varphi (q_\alpha ^i )} ; это и есть степень принадлежности элемента u \in U некоторому нечеткому множеству с общим названием S.

Зиммерман предлагает метод, сочетающий преимущества косвенных методов в их простоте и стойкости к искажениям ответов экспертов и преимущества прямых методов, позволяющих получить непосредственно значения степени принадлежности. Выборку объектов необходимо проводить так, чтобы достаточно равномерно представить степень принадлежности от 0 до 1 по отношению к рассматриваемому нечеткому множеству. Эта выборка должна удовлетворять условию безоговорочного экстремума, т.е. должна содержать, по крайней мере, два объекта, значения функции принадлежности на которых имеют определенность 0 и 1 (все эксперты приписывают эти числа экстремумам). Далее, когда множество подходящих объектов отобрано, эксперты опрашиваются о степенях принадлежности в процентной шкале. Оценка позиции по шкале каждого объекта определяется посредством медианы из распределений значений принадлежности. В качестве процедуры шкалирования используется метод, основанный на законе Терстона об измерении категорий. Процедура, требующая отсортировки n объектов в (k+1) категории на некотором континууме свойств N экспертами, дает распределение частоты для каждого объекта по категориям. Средние значения границ категорий, полученные методом наименьших квадратов, позволяют определить значения оценок объектов на шкале.

< Лекция 5 || Лекция 6: 12345 || Лекция 7 >
Владимир Власов
Владимир Власов

Зачем необходимы треугольные нормы и конормы? Как их использовать? Имеется ввиду, на практике.