Опубликован: 26.07.2006 | Доступ: свободный | Студентов: 2742 / 421 | Оценка: 4.00 / 3.77 | Длительность: 15:27:00
ISBN: 978-5-94774-818-5
Специальности: Программист, Математик
Лекция 6:

Методы построения функции принадлежности. Обзор основных методов

< Лекция 5 || Лекция 6: 12345 || Лекция 7 >

Косвенные методы для одного эксперта

В обыденной жизни мы часто сталкиваемся со случаями, когда не существует элементарных измеримых свойств и признаков, которые определяют интересующие нас понятия, например, красоту, интеллектуальность. Бывает трудно проранжировать степень проявления свойства у рассматриваемых элементов. Так как степени принадлежности рассматриваются на данном реальном множестве, а не в абсолютном смысле, то интенсивность принадлежности можно определять, исходя из попарных сравнений рассматриваемых элементов.

Среди косвенных методов определения функции принадлежности наибольшее распространение получил метод парных сравнений Саати. Сложность использования этого метода заключается в необходимости нахождения собственного вектора матрицы парных сравнений, которая задается с помощью специально предложенной шкалы. Причем эти сложности увеличиваются с ростом размерности универсального множества, на которой задается лингвистический терм.

Мы рассмотрим метод, также использующий матрицу парных сравнений элементов универсального множества. Но, в отличие от метода Саати, он не требует нахождения собственного вектора матрицы, т.е. освобождает исследователя от трудоемких процедур решения характеристических уравнений.

Пусть A — некоторое свойство, которое рассматривается как лингвистический терм. Нечеткое множество, с помощью которого формализуется терм A, представляет собой совокупность пар:

A = \left\{ { < u_1 ,\mu _A (u_1 ) > ,\; < u_2 ,\mu _A (u_2 ) >
\;,\ldots ,\; < u_n ,\mu _A (u_n ) > } \right\},
где U = \left\{ {u_1 ,\;u_2 ,\ldots ,u_n } \right\}универсальное множество, на котором задается нечеткое множество A. Задача состоит в том, чтобы определить значения \mu _A (u_i ) для всех i = 1,\ldots ,n. Совокупность этих значений и будет составлять неизвестную функцию принадлежности.

Метод, который предлагается для решения поставленной проблемы, базируется на идее распределения степеней принадлежности элементов универсального множества согласно с их рангами. Эта идея раньше использовалась в теории структурного анализа систем, где рассмотрены различные способы определения рангов элементов.

В нашем случае под рангом элемента u_i  \in U будем понимать число r_A (u_i ), которое характеризует значимость этого элемента в формировании свойства, описываемого нечетким термом. Допускаем, что выполняется правило: чем больший ранг элемента, тем больше степень принадлежности.

Для последующих построений введем такие обозначения: r_A (u_i ) = r_i, \mu _A (u_i ) = \mu _i. Тогда правило распределения степеней принадлежности можно задать в виде системы соотношений:

\left\{ {\begin{array}{*{20}c}
   {\frac{{\mu _1 }}
{{r_1 }} = \frac{{\mu _2 }}
{{r_2 }} = \ldots  = \frac{{\mu _n }},
{{r_n }}}  \\
   {\mu _1  + \mu _2  + \ldots  + \mu _n  = 1}  .\\

\end{array} } \right.

Используя данные соотношения, легко определить степени принадлежности всех элементов универсального множества через степень принадлежности опорного элемента.

Если опорным является элемент u_i  \in U с принадлежностью \mu _i, то

\mu _j  = \frac{{r_j }}
{{r_i }}\mu _i \,,\quad
\t{\char228}\t{\char235}\t{\char255}\;\t{\char226}\t{\char241}\t{\char229}\t{\char245}\;j \ne i
.

Учитывая условие нормирования, находим:

\begin{array}{*{20}c}
   {\mu _1  = \left( {1 + \frac{{r_2 }}
{{r_1 }} + \frac{{r_3 }}
{{r_1 }} + \ldots  + \frac{{r_n }}
{{r_1 }}} \right)^{ - 1} }  ,\\
   {\mu _2  = \left( {\frac{{r_1 }}
{{r_2 }} + 1 + \frac{{r_3 }}
{{r_2 }} + \ldots  + \frac{{r_n }}
{{r_2 }}} \right)^{ - 1} }  ,\\
   {\ldots\ldots\ldots}  \\
   {\mu _n  = \left( {\frac{{r_1 }}
{{r_n }} + \frac{{r_2 }}
{{r_n }} + \frac{{r_3 }}
{{r_n^{} }} + \ldots  + 1} \right)^{ - 1} }  .\\
\end{array}

Полученные формулы дают возможность вычислять степени принадлежности элементов u_i  \in U к нечеткому терму A двумя независимыми путями:

  1. по абсолютным оценкам уровней r_i, которые определяются согласно методикам, предложенным в теории структурного анализа систем;
  2. по относительным оценкам рангов \frac{{r_i }}{{r_j }} =
s_{ij}, которые образуют матрицу S = (s_{ij} ).

Эта матрица обладает следующими свойствами:

а) она диагональная, т.е. s_{ii}  = 1,\quad i = 1,\ldots ,n;

б) ее элементы, которые симметричны относительно главной диагонали, связаны зависимостью s_{ij}  = \frac{1}{{s_{ji} }};

в) она транзитивна, т.е. s_{ik}  \cdot s_{kj}  = s_{ij}.

Наличие этих свойств приводит к тому, что при известных элементах одной строки матрицы S легко определить элементы всех других строк. Если известна r -я строка, т.е. элементы s_{rj}, j =
1,\ldots ,n, то произвольный элемент s_{ij} находится так:

s_{ij}  = \frac{{s_{kj} }}
{{s_{ki} }}.

Поскольку матрица S может быть интерпретирована как матрица парных сравнений рангов, то для экспертных оценок элементов этой матрицы можно использовать 9 балльную шкалу Саати. В нашем случае шкала формируется так:

Числовая оценка (s_{ij} ) Качественная оценка (сравнение r_i и r_j )
1 отсутствие преимущества r_i над r_j
3 слабое преимущество r_i над r_j
5 существенное преимущество r_i над r_j
7 явное преимущество r_i над r_j
9 абсолютное преимущество r_i над r_j
2, 4, 6, 8 промежуточные сравнительные оценки

Таким образом, с помощью полученных формул экспертные знания о рангах элементов или их парные сравнения преобразуются в функцию принадлежности нечеткого терма.

Скала предлагает общий метод варьирования прототипов получения численного значения функции принадлежности. Пусть имеется прототип (или идеальный объект) P, описание которого можно деформировать изменением параметров p_1 ,p_2 ,\ldots ,p_n. Если дан некоторый объект A, то, варьируя параметры, можно добиться наибольшего соответствия прототипа и объекта. Вводится мера сходства между объектом A и прототипом P: \rho (A,p_1 ,p_2 ,\ldots ,p_n ).

Для более точного измерения сходства объекта с разными прототипами вводится штрафная функция d. Далее строится функция:

\msim(A) = \mathop {\min }\limits_{p_1 \ldots p_n } \left\{ {\rho (A,p_1
,\ldots ,p_n ) + d(p_1 ,\ldots ,p_n )} \right\}.

Так как прототип полностью соответствует самому себе, то {\msim(P) = 0}. Численные значения функции принадлежности вычисляются по формуле

\mu _P (A) = 1 - \frac{{\msim(A)}}
{{\mathop {\max }\limits_A \msim(A)}}.

< Лекция 5 || Лекция 6: 12345 || Лекция 7 >
Владимир Власов
Владимир Власов

Зачем необходимы треугольные нормы и конормы? Как их использовать? Имеется ввиду, на практике.