Опубликован: 26.07.2006 | Доступ: свободный | Студентов: 2742 / 421 | Оценка: 4.00 / 3.77 | Длительность: 15:27:00
ISBN: 978-5-94774-818-5
Специальности: Программист, Математик
Лекция 13:

Алгоритмы нечеткой оптимизации

< Лекция 12 || Лекция 13: 1234 || Лекция 14 >
Аннотация: В лекции рассматриваются основные понятия, используемые в задачах нечеткой оптимизации. Разбираются модели нечеткого математического программирования и нечеткой ожидаемой полезности.

Нечеткие цели, ограничения и решения

Непрерывно возрастающая сложность технологии контролируемых объектов настоятельно нуждалась в централизованном управлении и поэтому вызвала к жизни иерархическую структуру принятия решений. Поэтому появилась необходимость разделения всего процесса принятия решений управления на такое число уровней, чтобы решение задачи оптимизации на каждом из них было не сложным. Но с возникновением многоуровневых иерархических систем управления появилась и новая задача согласования и координации решений, принимаемых на всех уровнях.

Общая схема координации в двухуровневой системе сводится к следующему. Элементы передают в центр набор вариантов своей работы. Каждый вариант представляет собой векторный показатель элемента, допустимый с точки зрения его локальных ограничений. На основании получаемых вариантов центр формирует план, оптимальный с точки зрения всей системы. Этот план передается элементам и далее детализируется ими.

Однако при моделировании сложных систем невозможно учесть достаточно большое число реальных факторов, поскольку это привело бы к чрезмерному усложнению модели. Поэтому в модель приходится вводить лишь ограниченное число таких факторов, которые по тем или иным соображениям считаются наиболее существенными. При этом возможны два подхода. Неучтенные в описании модели факторы можно считать абсолютно несущественными и полностью их игнорировать при принятии решений с использованием этой модели. С другой стороны, при втором подходе можно явно не вводить "несущественные факторы" в математическую модель, но учитывать их влияние, допуская, что отклик модели на то или иное воздействие (выбор альтернативы) может быть известен лишь приближенно или нечетко.

В традиционном подходе главными элементами процесса принятия решения являются:

  1. Множество альтернатив.
  2. Множество ограничений, которые необходимо учитывать при выборе между различными альтернативами.
  3. Функция предпочтительности, определяющая переход из пространства альтернатив в некоторое другое пространство и ставящая каждой альтернативе в соответствие выигрыш (или проигрыш), который получают в результате выбора этой альтернативы.

При рассмотрении этого процесса с более общих позиций принятия решений в нечетких условиях естественной представляется другая логическая схема, отличительной чертой которой является симметрия по отношению к целям и ограничениям. Этот подход устраняет различия между целями и ограничениями и позволяет достаточно просто принять на их основе решение.

Под нечеткой целью подразумевается цель, которую можно описать как нечеткое множество в соответствующем пространстве. Пусть X — заданное множество альтернатив. Тогда нечеткая цель, или просто цель, G будет определяться фиксированным нечетким множеством G в X.

При обычном подходе функция предпочтительности, используемая в процессе принятия решения, служит для установления линейной упорядоченности на множестве альтернатив. Очевидно, что функция принадлежности \(\mu _G (x)\) нечеткой цели выполняет ту же задачу и может быть получена из функции предпочтительности с помощью нормализации, сохраняющей установленную линейную упорядоченность.

Подобным же образом нечеткое ограничение C в пространстве X определяется как некоторое нечеткое множество в X. Важным моментом здесь является то, что и нечеткая цель, и нечеткое ограничение рассматриваются как нечеткие множества в пространстве альтернатив; это дает возможность не делать между ними различия при формировании решения.

Решение — это по существу выбор одной или нескольких из имеющихся альтернатив. Проблема принятия решения в нечетких условиях интерпретируется тогда как комплексное влияние нечеткой цели G и нечеткого ограничения C на выбор альтернатив и характеризуется пересечением G\cap C, которое и образует нечеткое множество решений D, т.е.

D = G\cap   C.

Функция принадлежности для множества решений задается соотношением

\mu _D (x) = \mu _G (x) \wedge \mu _C (x).

В общем случае, если имеется n нечетких целей и m нечетких ограничений, то результирующее решение определяется пересечением всех заданных целей и ограничений, т.е.

D = G_1  \cap \ldots \cap G_n  \cap C_1  \cap \ldots \cap
C_m
и, соответственно,
\mu _D (x) = \mu _{G_1 } (x) \wedge ... \wedge \mu _{G_n }
(x) \wedge \mu _{C_1 } (x) \wedge ... \wedge \mu _{C_m } (x).

В приведенном определении нечеткие цели и нечеткие ограничения входят в выражение D совершенно одинаковым образом. Такое определение решения как нечеткого множества в пространстве альтернатив может показаться несколько искусственным. На самом деле оно совершенно естественно, поскольку нечеткое решение может рассматриваться как некоторая "инструкция", неформальность которой является следствием неточности формулировки поставленных целей и ограничений.

Во многих случаях все же разумно выбирать те альтернативы, которые имеют максимальную степень принадлежности к D. Если таких элементов несколько, то они образуют обычное множество, которое называется оптимальным решением, а каждый элемент этого множествамаксимизирующим решением.

Для практики интересен более общий случай, когда нечеткие цели и нечеткие ограничения — нечеткие множества в разных пространствах.

Пусть fотображение из X в Y, причем переменная x обозначает входное воздействие, а y — соответствующий выход.

Предположим, что нечеткая цель задана как нечеткое множество G в Y, в то время как нечеткое ограничениенечеткое множество C в пространстве X. Имея нечеткое множество G в Y, можно найти нечеткое множество \(\bar G\) в X, которое индуцирует G в Y. Функция принадлежности \(\bar G\) в Y задается равенством

\mu _{\bar G} (x) = \mu _G (f(x)).

После этого решение D может быть выражено пересечением множеств \(\bar G\) и C. Используя предыдущее соотношение, можно записать

\mu _D (x) = \mu _G (f(x)) \wedge \mu _C (x).

Таким образом, случай, когда нечеткие цели и нечеткие ограничения задаются как нечеткие множества в разных пространствах, может быть сведен к случаю, когда они задаются в одном и том же пространстве.

< Лекция 12 || Лекция 13: 1234 || Лекция 14 >
Владимир Власов
Владимир Власов

Зачем необходимы треугольные нормы и конормы? Как их использовать? Имеется ввиду, на практике.
 

Владимир Васильев
Владимир Васильев
Россия, г. Липецк
Berkut Molodoy
Berkut Molodoy
Россия