Опубликован: 26.07.2006 | Доступ: свободный | Студентов: 2742 / 421 | Оценка: 4.00 / 3.77 | Длительность: 15:27:00
ISBN: 978-5-94774-818-5
Специальности: Программист, Математик
Лекция 10:

Теория приближенных рассуждений

< Лекция 9 || Лекция 10: 1234 || Лекция 11 >
Аннотация: В лекции рассматривается композиционное правило вывода — главное понятие теории приближенных рассуждений. Описывается работа нечеткой экспертной системы, основанной на принципах теории приближенных вычислений.

Под приближенными рассуждениями понимается процесс, при котором из нечетких посылок получают некоторые следствия, возможно, тоже нечеткие. Приближенные рассуждения лежат в основе способности человека понимать естественный язык, разбирать почерк, играть в игры, требующие умственных усилий, в общем, принимать решения в сложной и не полностью определенной среде. Эта способность рассуждений в качественных, неточных терминах отличает интеллект человека от интеллекта вычислительной машины.

Основным правилом вывода в традиционной логике является правило modus ponens, согласно которому мы судим об истинности высказывания B по истинности высказываний A и A\to B. Например, если Aвысказывание "Джон в больнице", Bвысказывание "Джон болен", то если истинны высказывания "Джон в больнице" и "Если Джон в больнице, то он болен", то истинно и высказывание "Джон болен".

Во многих привычных рассуждениях, однако, правило modus ponens используется не в точной, а в приближенной форме. Так, обычно мы знаем, что A истинно и что A^{*}\to B, где A^{*} есть, в некотором смысле, приближение A. Тогда из A^{*}\to B мы можем сделать вывод о том, что B приближенно истинно.

Далее мы обсудим способ формализации приближенных рассуждений, основанный на понятиях, введенных нами на предыдущей лекции. Однако, в отличие от традиционной логики, нашим главным инструментом будет не правило modus ponens, а так называемое композиционное правило вывода, весьма частным случаем которого является правило modus ponens.

Композиционное правило вывода

Композиционное правило вывода — это всего лишь обобщение следующей знакомой процедуры. Предположим, что имеется кривая y=f(x) (см. рис. 10.1(А)) и задано значение x=a. Тогда из того, что y=f(x) и x=a, мы можем заключить, что y=b=f(a).

Обобщим теперь этот процесс, предположив, что aинтервал, а f(x)функция, значения которой суть интервалы, как на рисунке 10.1(Б). В этом случае, чтобы найти интервал y=b, соответствующий интервалу a, мы сначала построим цилиндрическое множество \(\bar a\) с основанием a и найдем его пересечение I с кривой, значения которой суть интервалы. Затем спроектируем это пересечение на ось OY и получим желаемое значение y в виде интервала b.


Рис. 10.1.

Чтобы продвинуться еще на один шаг по пути обобщения, предположим, что A — нечеткое подмножество оси OX, а F — нечеткое отношение в OX  \times OY (см. рис. 10.1(В)). Вновь образуя цилиндрическое нечеткое множество \(\bar A\) с основанием A и его пересечение с нечетким отношением F, мы получим нечеткое множество \(\bar A \cap F\), которое является аналогом точки пересечения I на рис. 10.1(А). Таким образом, из того, что y=f(x) и x=A — нечеткое подмножество оси OX, мы получаем значение y в виде нечеткого подмножества B оси OY.

Правило. Пусть U и V — два универсальных множества с базовыми переменными u и v, соответственно. Пусть A и F — нечеткие подмножества множеств U и U\times V. Тогда композиционное правило вывода утверждает, что из нечетких множеств A и F следует нечеткое множество \(B = A \circ F\). Согласно определению композиции нечетких множеств, получим

\mu _B (v) = \mathop  \vee \limits_{u \in U} \left( {\mu _A
(u) \wedge \mu _F (u,v)} \right).

Пример. Пусть U=V=\{1,2,3,4\},

A = МАЛЫЙ =\{\left\langle 1|1\right\rangle, \left\langle
0,6|2\right\rangle, \left\langle 0,2|3\right\rangle,
\left\langle 0|4\right\rangle\},

\begin{center}
 F=ПРИМЕРНО РАВНЫ =
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
\hline
&1&2&3&4\\
\hline
1&1&0,5&0&0\\
\hline
2&0,5&1&0,5&0\\
\hline
3&0&0,5&1&0,5\\
\hline
4&0&0&0,5&1\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

Тогда получим

B = [1\quad 0,6\quad 0,2\quad 0] \circ \left[
{\begin{array}{*{20}c}
   1 & {0,5} & 0 & 0  \\
   {0,5} & 1 & {0,5} & 0  \\
   0 & {0,5} & 1 & {0,5}  \\
   0 & 0 & {0,5} & 1  \\
\end{array} } \right] = [1\quad 0,6\quad 0,5{\kern 1pt} {\kern 1pt} \quad
0,2],
что можно проинтерпретировать следующим образом:

B = БОЛЕЕ ИЛИ МЕНЕЕ МАЛЫЙ,

если терм БОЛЕЕ ИЛИ МЕНЕЕ определяется как оператор увеличения нечеткости.

Словами этот приближенный вывод можно записать в виде

\begin{array}{*{20}c}
   {} & {u\quad  -
\;\t{\char204}\t{\char192}\t{\char203}\t{\char219}\t{\char201}} & {} &
{\t{\char239}\t{\char240}\t{\char229}\t{\char228}\t{\char239}\t{\char238}\t{\char241}\t{\char251}\t{\char235}\t{\char234}\t{\char224}}  \\
   {} & {\underline {u,v\quad  -
\;\t{\char207}\t{\char208}\t{\char200}\t{\char204}\t{\char197}\t{\char208}\t{\char205}\t{\char206}\;\t{\char208}\t{\char192}\t{\char194}\t{\char205}\t{\char219}} } & {} & {\t{\char239}\t{\char240}\t{\char229}\t{\char228}\t{\char239}\t{\char238}\t{\char241}\t{\char251}\t{\char235}\t{\char234}\t{\char224}}  \\
   {} & {v\quad  -
\;\t{\char193}\t{\char206}\t{\char203}\t{\char197}\t{\char197}\;\t{\char200}\t{\char203}\t{\char200}\;\t{\char204}\t{\char197}\t{\char205}\t{\char197}\t{\char197}\;\t{\char204}\t{\char192}\t{\char203}\t{\char219}\t{\char201}} & {} & {\t{\char239}\t{\char240}\t{\char232}\t{\char225}\t{\char235}\t{\char232}\t{\char230}\t{\char229}\t{\char237}\t{\char237}\t{\char251}\t{\char233}\;\t{\char226}\t{\char251}\t{\char226}\t{\char238}\t{\char228}}  \\
   {} & {} & {} & {}  \\
\end{array}

< Лекция 9 || Лекция 10: 1234 || Лекция 11 >
Владимир Власов
Владимир Власов

Зачем необходимы треугольные нормы и конормы? Как их использовать? Имеется ввиду, на практике.