Опубликован: 18.05.2011 | Доступ: свободный | Студентов: 871 / 65 | Оценка: 4.40 / 4.20 | Длительность: 12:30:00
Лекция 9:

Oбъектно-ориентированная реализация числовых функций

< Лекция 8 || Лекция 9: 123 || Лекция 10 >

Практическое занятие "Конструктивные действительные числа"

Цель занятия

Научится работать с конструктивными действительными числами. Рассмотреть вопросы о реализации конкретных конструктивных действительных чисел.

Практическая задача

Как мы уже отмечали в соответствующей лекции, конструктивное действительное число состоит из двух алгоритмов: алгоритма позволяющего вычислять рациональное приближение конструктивного действительного числа и оценку погрешности для этого приближения.

При рассмотрении конкретных конструктивных действительных чисел, как правило, более менее легко строится алгоритм для построения рациональных приближений, с другой стороны конструктивное вычисление погрешности рациональных приближений часто оказывается более сложной задачей.

Рассмотрим наиболее часто применяемые методы получения гарантированных оценок погрешности рациональных приближений конструктивных действительных чисел.

Частым примером конструктивного действительного числа являются числа x=a^p, где a>0, p>0. Для построения рационального приближения этого числа с гарантированной оценкой погрешности мы будем применять метод деления отрезка пополам. Для этого заметим, что наше число x будет корнем решения уравнения

x^{1/p}-a=0.
Для применения метода деления пополам следует выбрать такой отрезок [x_1,x_2], чтобы
x_1^{1/p}-a<0
и
x_2^{1/p}-a>0.
Поскольку a>0, то такой интервал всегда можно найти.

Метод дихотомии или половинного деления, который мы рассматривали в лекции, позволяет получать решение с гарантированной точностью. Дело в том, что на каждом шаге мы имеем отрезок, длина которого уменьшается в двое. При этом нужное нам число содержится в этом отрезке. Следовательно, всегда можно вычислить рациональное приближение с конструктивной оценкой точности.

В качестве примера рассмотрим конструктивное действительное число - 3^{3/2}. Для нахождения рациональных аппроксимаций с гарантированной оценкой погрешности нужно рассмотреть уравнение

x^{2/3}-3=0,\quad x\in[0,9].

Другим методом для получения оценки точности рационального приближения конструктивного действительного числа, является использование рядов Лейбница. Рядом Лейбница называется числовой ряд следующего вида

\sum\limits_{k=0}^\infty (-1)^ka_k,
где a_k все одного знака и стремятся к нулю. Известно, что такой ряд сходится, при этом остаток ряда может быть оценен следующим образом
\left|\sum\limits_{k=N+1}^\infty a_k\right|\le|a_N|.

Продемонстрируем применение рядов Лейбница для построения конструктивных действительных чисел. Рассмотрим конструктивное действительное число \sin 1. Согласно ряду Тейлора для функции \sin x, это число является суммой ряда

\sin 1=\sum\limits_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k}{(2k+1)!}.
Если в качестве рациональных приближений взять числа
a_N=\sum\limits_{k=0}^N\frac{(-1)^k}{(2k+1)!},
то для точность этих приближений можно оценить следующим образом
|\sin
1-a_N|=\left|\sum\limits_{k=N+1}^\infty\frac{(-1)^k}{(2k+1)!}\right|
\le\frac{1}{(2N+1)!}.

< Лекция 8 || Лекция 9: 123 || Лекция 10 >
Олег Корсак
Олег Корсак
Латвия, Рига
Дмитрий Кифель
Дмитрий Кифель
Казахстан, Темиртау