Опубликован: 18.05.2011 | Доступ: свободный | Студентов: 874 / 67 | Оценка: 4.40 / 4.20 | Длительность: 12:30:00
Лекция 17:

Обыкновенные дифференциальные уравнения

< Лекция 16 || Лекция 17: 123 || Лекция 18 >
Аннотация: Рассматриваются вопросы, связанные с приближенным решением задачи Коши для дифференциальных уравнений. Рассмотрены численные методы решения задачи Коши для дифференциальных уравнений: метод Эйлера и метод Рунге-Кутта. Эти методы реализованы на основе объектно-ориентированного подхода и проведены сравнительные эксперименты.

Цель лекции: Показать эффективность объектно-ориентированного подхода к задаче нахождения численных решений задачи Коши для дифференциальных уравнений. Провести вычислительные эксперименты и сравнить различные методы.

В настоящей лекции мы будем рассматривать задачу Коши для довольного широкого класса обыкновенных дифференциальных уравнений.

Сначала перейдем к формальному определению постановки задачи Коши. Пусть D\subset\Bbb{R}^n - область (ограниченная или нет) в n -мерном пространстве. Пусть также задан отрезок [0,\Bbb{T}], здесь \Bbb{T}>0 может быть и бесконечностью. Введем обозначение

D_\Bbb{T}=\{(x,t):x\in\overline D,t\in[0,\Bbb{T}]\}.
Пусть в D_\Bbb{T} задана функция f(x,t) тогда можно рассматривать обыкновенное дифференциальное уравнение
y'(t)=f(y(t),t),\ t\in[0,\Bbb{T}]. ( 16.1)
С этим уравнением связывается начальное условие
y(0)=y^0,\ y_0\in D. ( 16.2)
Задача нахождения функции y(t) такой, что на некотором интервале [0,T] функция y(t) имеет непрерывную производную при t\in[0,T] имеет место y(t)\in\overline{D}, и функция y(t) удовлетворяет уравнению 16.1 и начальному условию 16.2.

В теории обыкновенных дифференциальных уравнений доказываются следующие теоремы.

Теорема 16.1. Пусть функция f(x,t) является непрерывной в D_\Bbb{T}, тогда существует такое T>0, что на [0,T] существует по крайней мере одно решение задачи 16.1-16.2.

В условиях теоремы существуют примеры задач Коши, которые имеют более одного решения. Действительно, если взять D=\Bbb{R}, \Bbb{T}=\infty, а в качестве функции f

f(x,t)=\sqrt{x},
то задачка Коши
y'(t)=\sqrt{y(t)},
y(0)=0
имеет бесконечное число решений:
y(t)=\left\{%
\begin{array}{ll}
    0, & t\le\alpha, \\
    \frac{(t-\alpha)^2}{4}, & t\ge\alpha, \\
\end{array}%
\right.
где \alpha\ge0 - параметр семейства решений.

Чтобы гарантировать единственность решения задачи Коши, необходимо накладывать большие условия на функцию f.

Теорема 16.2. Пусть функция f(x,t) является непрерывной в D_\Bbb{T}, и существует такая положительная константа L>0, зависящая только от \tau>0 что для любого отрезка [0,\tau]\subset[0,\Bbb{T}] выполнено неравенство

|f(x',t)-f(x'',t)|\le L|x'-x''|, ( 16.3)
для всех x',x''\in D и t\in[0,\tau].

Тогда существует такое T>0, что на [0,T] существует единственное решение задачи 16.1-16.2.

Условие 16.3 называется условием Липшица. Это условие будет заведомо выполнено, если непрерывная функция f имеет ограниченные и непрерывные производные по x в D.

Приведенные выше теоремы гарантируют только локальную разрешимость задачи Коши. Действительно, следующий пример задачи Коши не имеет решения на любом отрезке [0,T], где T\ge\frac{\pi}{2}. Пусть снова D=\Bbb{R}^n, функция f(x,t) имеет вид

f(x,t)=x^2+1,
тогда задача Коши
y'(t)=y^2(t)+1
y(0)=0,
имеет единственное решение
y(t)=\tg t,
которое не продолжается вне интервала [0,\frac{\pi}{2}).

Чтобы гарантировать существование глобального по времени решения, необходимо накладывать дополнительные условия на рост правой части.

Теорема 16.3. Пусть выполнены все условия теоремы 16.2 и дополнительно функция f(x,t) удовлетворяет условию в области D=\Bbb{R}^n

|f(x,t)|\le M(|x|+1),
где константа M>0 не зависит ни от x, ни от t, тогда задача Коши имеет единственное решение на отрезке [0,\infty).

В курсах по обыкновенным дифференциальным уравнениям проходят разнообразные методы нахождения точных решений дифференциальных уравнений. Однако, во-первых, случаи, когда можно найти точные решения являются исключительными случаями и для многих уравнений доказано, что найти решение в квадратурах невозможно. Во-вторых, даже если удалось найти точное решение, то это решение может быть выражено в неявном виде, либо в виде квадратур, которые в свою очередь могут не выражаться в элементарных случаях. В-третьих, во многих задачах правые части могут не быть заданы элементарными функциями. Наконец, во многих случаях построение приближенного решения с достаточной точностью является значительно более простым и эффективным, чем нахождение точного решения.

< Лекция 16 || Лекция 17: 123 || Лекция 18 >
Олег Корсак
Олег Корсак
Латвия, Рига
Дмитрий Кифель
Дмитрий Кифель
Казахстан, Темиртау