Опубликован: 18.05.2011 | Доступ: свободный | Студентов: 874 / 67 | Оценка: 4.40 / 4.20 | Длительность: 12:30:00
Лекция 15:

Приближение многочленами

< Лекция 14 || Лекция 15 || Лекция 16 >
Аннотация: Лекция посвящена вопросам приближения числовых функций полиномами. Рассмотрены вопросы построения полиномов Лагранжа и Ньютона.

Цель лекции: Рассмотреть основные методы аппроксимации числовых функций полиномами. Описать методы полиномиальной интерполяции функций.

Довольно часто возникает задача восстановление значений функции, которая задана лишь в некоторых точках. Совершенно очевидно, что если мы знаем значения функции лишь в некоторых фиксированных точках, то значения функции в промежуточных значениях аргумента могут быть любыми. Однако часто имеется некоторая априорная информация о свойствах функции, с помощью которой удается найти приемлемое значение функции.

Пусть на отрезке [a,b] задана некоторая числовая функция f(x). Разбиением отрезка [a,b] называется конечное множество точек \{x_n\}_{n=0}^N таких, что

0=x_0<x_1<\dots<x_N=b.
Точки x_n мы будем называть узловыми точками. Пусть также на ряду с разбиением отрезка нам дан набор чисел \{f_n\}_{n=0}^N, который имеет смысл значений функции в узловых точках f(x_n)=f_n,\quad n=0,\dots,N. Задача интерполяции состоит в том, чтобы найти значение функции f в произвольной точке x\in[a,b]. Несколько реже возникает задача экстраполяции состоящей в том, чтобы найти значение функции f в точке x\notin[a,b]. Мы будем в основном рассматривать задачу интерполяции.

Решение задачи интерполяции может быть представлено в виде функции (алгоритма)

R(x,x_0,\dots,x_N,f_0,\dots,f_N):\Bbb{R}\times\Bbb{R}^{n+1}\times\Bbb{R}^{n+1}\to\Bbb{R}.
Однако чаще под решением задачи интерполяции понимают построение такой функции \tilde f_N(x), которая определена на всем отрезке [a,b]. Эта функция называется интерполяционной.

Классическим методом построения интерполяционной функции является построение многочлена степени N

P_N(x)=a_Nx^N+a_{N-1}x^{N-1}+\dots+a_1x+a_0
такого, что
P_N(x_n)=f_n,\quad n=0,1,\dots,N.
Очевидно, что для определения этого многочлена необходимо и достаточно найти значения \{a_n\}_{n=0}^N.

Покажем, что такой многочлен всегда можно построить. Точнее мы предъявим формулу, которая даст нам этот интерполяционный многочлен.

Введем функции:

p_N^i(x)=\frac{(x-x_0)\cdots(x-x_{i-1})(x-x_{i+1})\cdots(x-x_N)}
{(x_i-x_0)\cdots(x_i-x_{i-1})(x_i-x_{i+1})\cdots(x_i-x_N)}.
Видно, что эти функции сами являются многочленами порядка N. Непосредственно из этой формулы мы имеем следующие соотношения
p_N^i(x_j)=0,\quad j\neq i
и
p_N^i(x_i)=1.
Тогда искомый интерполяционный многочлен может быть найден по формуле
P_N(x)=\sum\limits_{i=0}^Np_N^i(x)f_i. ( 14.1)

Можно убедиться также в том, что этот многочлен единственный. Действительно, для любого другого многочлена, для которого

Q_N(x_i)=f_i,\quad i=0,\dots,N
мы имеем, что Q_N(x_i)=P_N(x_i),\quad i=0,\dots,N. Тогда многочлен L_N(x)=P_N(x)-Q_N(x) имеет степень не большую, чем N, а также имеет N+1 корней. По основной теореме алгебры этот многочлен L_N(x)\equiv0.

Многочлен, заданный по формуле 14.1 называется интерполяционным многочленом в форме Лагранжа.

Лагранжева форма интерполяционного многочлена является не единственной формой интерполяционного многочлена. Более удобной для практических расчетов является интерполяционный многочлен в форме Ньютона. Для заданного разбиения отрезка и значений функции в этих узлах введем понятие раздельной разности. Раздельной разностью первого порядка называется число

f(x_0;x_1)=\frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}.
Раздельная разность N -го порядка определяется по рекуррентной формуле
f(x_0;x_1;\dots;x_N)=\frac{f(x_1;x_1;\dots;x_N)-f(x_0;x_1;\dots;x_{N-1})}{x_N-x_0}.
Теперь мы можем определить интерполяционный многочлен в форме Ньютона по формуле
Q_N(x)=f_0+f(x_0;x_1)(x-x_0)+\dots
+f(x_0;x_1;\dots;x_N)(x-x_0)(x-x_1)\dots(x-x_{N-1}).
Разумеется, интерполяционный многочлен в форме Ньютона совпадает с интерполяционным многочленом в форме Лагранжа.

Хотя формулы для построения интерполяционных многочленов выглядят просто, метод интерполяции функций многочленами имеет серьезные недостатки для больших значений N. Во-первых, работа с многочленами большой степени, как правило, сопряжено с вычислительной неустойчивостью. Во-вторых, как было показано К.Рунге в своей знаменитой работе 1901 года, существует такая бесконечно гладкая функция, для которой интерполяционный многочлен, построенный на равномерной сетке может иметь бесконечно большое отклонение с увеличением количества узловых точек.

Рассмотрим этот пример. Пусть функция

f(x)=\frac{1}{1+25x^2},
заданная на [-1,1]. Это функция обладает почти всеми "хорошими" свойствами. Для каждого N введем узловые точки по формуле
x_i=-1+i\frac{2}{N},\quad i=0,1,\dots,N.
Через P_N(x) введем интерполяционный многочлен, построенный по формуле 14.1. К.Рунге было показано, что для этого случая имеет место
\lim\limits_{N\to\infty}\max\limits_{x\in[-1,1]}|f(x)-P_N(x)|=\infty.

Ключевые термины

Разбиение отрезка - конечное множество точек, принадлежащих заданному отрезку.

Узловые точки - элементы из множества разбиения отрезка.

Интерполяция - процедура приближенного вычисления значений функции по заданным значениям функции в узловых точках.

Экстраполяция - процедура вычисления значений функции вне отрезка, на котором задана функция.

Интерполяционная функция - функция, которая реализует интерполяцию.

Краткие итоги: Рассмотрены методы интерполяции функции на основе приближения полиномами. Приведены методы построения интерполяционных полиномов в форме Лагранжа и в форме Ньютона.

< Лекция 14 || Лекция 15 || Лекция 16 >
Олег Корсак
Олег Корсак
Латвия, Рига
Дмитрий Кифель
Дмитрий Кифель
Казахстан, Темиртау