Опубликован: 18.05.2011 | Доступ: свободный | Студентов: 874 / 67 | Оценка: 4.40 / 4.20 | Длительность: 12:30:00
Лекция 8:

Объектно-ориентированная реализация действительных чисел

< Лекция 7 || Лекция 8 || Лекция 9 >
Аннотация: Рассмотрены вопросы, связанные с конструктивными действительными числами. С помощью объектно-ориентированного подхода реализованы различные конструктивные действительные числа.

Цель лекции: Дать объектно-ориентированную трактовку конструктивных действительных чисел. Показать важность данного понятия для конструирования вычислительных процедур.

Основным понятием вычислительной математики и математики вообще является понятие числа. Способность к счету является фундаментальным свойством человека. Проблема, впрочем, состоит в том, что большинство разделов математики оперирует понятием действительного числа. Однако мы исходим из того, что механически можно выполнять лишь операции с целыми числами (\Bbb{N}). Под операциями мы понимаем операцию сложения, умножения на -1, а также сравнения двух целых чисел. Поскольку рациональное число представляет собой пару целых чисел (числитель/знаменатель), то эти же операции можно считать механическими и для рациональных чисел (\Bbb{Q}). Драма человечества состояла в открытии несоизмеримости некоторых величин. С этого момента нам потребовались числа, которые не являются механически обозримыми. С древности были известны некоторые иррациональные числа, такие как \sqrt{2}, \pi, e. Полноценная теория действительных чисел требует применения методов математического анализа. Наиболее ясное построение действительных чисел основано на пополнении метрического пространства рациональных чисел. Идея этого пополнения состоит в том, что все фундаментальные последовательности рациональных чисел разбиваются на классы эквивалентности. Две фундаментальные последовательности рациональных чисел \{a_n\} и \{b_n\} объявляются эквивалентными если для любого \varepsilon>0 существуют такое N=N(\varepsilon), что для всех p,q>N выполнено неравенство

|a_p-b_q|<\varepsilon.
Теперь с каждым классом эквивалентности фундаментальных последовательностей рациональных чисел связывается некоторый идеальный элемент, называемым действительным (или вещественным) числом.

Прежде чем продолжить рассмотрение действительных чисел, введем формально важнейшее понятие - понятие алгоритма. Интуитивно алгоритм понимается, как однозначное предписание элементарных действий. Согласно тезису Черча-Тьюринга любая интуитивно вычислимая функция может быть вычислена с помощью машины Тьюринга. Есть и другие эквивалентные формальные определения алгоритма на основе нормальных алгорифмов Маркова, частично вычислимых функций, структурных программ и др. Машина Тьюринга эквивалентна более простой машине Поста.

Гипотетическая машина Поста состоит из бесконечной ленты, разбитой на отельные ячейки. Каждая ячейка может быть помечена либо 0, либо 1. Также у машины Поста есть воображаемая каретка, которая в каждый момент может находиться только над одной из ячеек. Каретка управляется согласно программе, которая состоит из шести команд:

  • \longrightarrow сдвиг каретки вправо
  • \longleftarrow сдвиг каретки влево
  • 0 записать в текущую ячейку 0
  • 1 записать в текущую ячейку 1
  • ?(I_1,I_2) если в текущей ячейке записано 1, то I_1 -ой строке программы, иначе к строке I_2
  • Stop остановка

Работа машины Поста задается программой, содержащей конечное число команд, и начальной конфигурацией (состояние ленты и положение каретки). Начальная конфигурация должна содержать лишь конечное число ячеек, содержащих 1. Мы будем говорить, что функция f(n) натурального аргумента и принимающая натуральное значение, алгоритмически вычислима или просто вычислима для аргумента n, если существует какая-нибудь машина Поста, что если начальная конфигурация содержит ровно n ячеек, содержащих 1, то работа машина обязательно закончится командой Stop и в момент остановки на ленте будет ровно f(n) ячеек, содержащих 1.

Программирование даже простейших функций на машине Поста очень громоздко и сложно, поэтому мы будем обращаться к машине Поста лишь как к формальному определению алгоритма. Заметим еще, что поскольку можно построит алгоритм (и соответственно машину Поста), которая однозначно сопоставляет каждому натуральному числу --- рациональное число, то мы будем рассматривать алгоритмически вычислимые функции и рациональных аргументов, и принимающие рациональные значения. И даже функции отображающую любое счетное множество в другое счетное множество.

Мы часто будем говорить, что последовательность рациональных чисел a_n является вычислимой, если существует такая вычислимая функция f:\Bbb{N}\to\Bbb{Q}, что

a_n=f(n).

Вернемся к вещественным числам. Данное выше определение (и любое другое) вызывает ряд вопросов. В самом деле, любое вещественное число - это класс эквивалентности фундаментальных последовательностей. Во-первых, для любого ли вещественного числа можно построить вычислимую фундаментальную последовательность? Ответ, очевидно, нет! Почему? Потому что множество вещественных чисел имеет мощность континуума, а количество всех алгоритмов (машин Поста) счетно. Во-вторых, даже если у нас есть вычислимая фундаментальная последовательность, то это еще не означает, что мы можем узнать предел этой последовательности.

Введем понятие вычислимой сходимости последовательности. Последовательность a_n называется вычислимо сходящейся к числу \alpha, если существует такая вычислимая функция \xi:\Bbb{Q}\to\Bbb{N}, что для любого рационального \varepsilon>0 выполнено

|\alpha-a_n|<\varepsilon,
для любого n>\xi(\varepsilon).

Число \alpha называется конструктивным действительным числом, если существует вычислимая последовательность рациональных чисел, которая вычислимо сходиться к \alpha. Можно сказать, что конструктивное действительное число это пара вычислимых функций \{a(n),\xi(\varepsilon)\}. Можно конструктивное действительное число представить в виде одной вычислимой функции: A:\Bbb{Q}\to\Bbb{Q}, которая по заданному \varepsilon>0 вычисляет рациональное число такое, что:

|\alpha-A(\varepsilon)|<\varepsilon.
Именно в таком виде мы и реализуем класс для конструктивного действительного числа.

Реализуем абстрактный класс, который будет заготовкой для классов различных конструктивных действительных чисел.

\begin{verbatim}
    abstract class TCR
    {
        public TCR()
        {
        }

        public abstract double A(double prec);
    }
\end{verbatim}

Разумеется, на компьютере мы можем реализовать лишь некоторое приближение к конструктивному действительному числу. Действительно, переменная prec, во-первых, не может быть произвольным рациональным числом, а, во-вторых, не с любой точностью мы можем проводить вычисления. И еще заметим, что переменные типа double представляют собой некоторое подмножество рациональных чисел.

Возникает естественный вопрос - а какие есть примеры конструктивных действительных чисел, не являющихся рациональными? Конструктивными действительными числами являются, например, \sqrt{2}, \pi, e, \sin(1). Для примера реализуем первые два из этих конструктивных чисел. Для вычисления числа \pi мы воспользуемся рядом Лейбница:

\frac{1}{1} - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} +
\frac{1}{9} - \cdots = \frac{\pi}{4}
Конечно, есть ряды, которые значительно быстрее сходятся к числу \pi, но мы выбрали ряд Лейбница по причине, что для знакопеременного ряда остаток ряда оценивается через модуль последнего слагаемого частичной суммы.
\begin{verbatim}
    class TCPi : TCR
    {
        public override double A(double prec)
        {
            int n = 1;
            double res = 0;
            double an = -1.0;

            double l = 1.0;

            do
            {
                an = 4.0 / (double)n * l;
                res += an;
                l = -l;
                n += 2;
            }
            while (Math.Abs(an) > prec);

            return res;
        }
    }
\end{verbatim}

Для построение конструктивного действительного числа \sqrt{2} мы реализуем метод дихотомии для решения уравнения

x^2-2=0,\quad x\in[1,2].
Вот этот класс.
\begin{verbatim}
    class TCSQRT2 : TCR
    {
        public override double A(double prec)
        {
            double a = 1;
            double b = 2;
            double c;

            while ((b - a) > prec)
            {
                c = a + (b - a) / 2.0;

                if (f(c) > 0)
                {
                    b = c;
                }
                else
                {
                    a = c;
                }
            }

            return a;
        }

        double f(double x)
        {
            return x * x - 2.0;
        }
    }
\end{verbatim}

Возникает еще один вопрос, если среди действительных чисел не конструктивные действительные числа, то значит есть (и их континуум!) неконструктивных действительных чисел. А есть ли пример такого числа? Но на бумаге невозможно описать неконструктивный объект - можно лишь доказать (неконструктивно) его существование.

Заметим, что в рамках конструктивной математики работать с конструктивными действительными числами весьма сложно. Например доказывается теорема о том, что для произвольного конструктивного действительного числа нет алгоритма, позволяющего определить равно это число нулю или нет. В частности, в рамках конструктивных действительных чисел простейшее линейное уравнение

ax=b
неразрешимо.

Однако есть операции для конструктивных действительных чисел, которые являются алгоритмически разрешимыми, например сложение двух конструктивных чисел. Реализуем соответствующий класс

\begin{verbatim}
    class TCRAdd : TCR
    {
        TCR CR1, CR2;

        public TCRAdd(TCR CR1, TCR CR2) : base()
        {
            this.CR1 = CR1;
            this.CR2 = CR2;
        }

        public override double A(double prec)
        {
            return CR1.A(prec / 2.0) + CR2.A(prec / 2.0);
        }
    }
\end{verbatim}

Ключевые термины

Вычислимая последовательность чисел - числовая последовательность, каждый элемент которой может быть получен с помощью вычислимой функции по номеру.

Конструктивное действительное число - число, являющееся вычислимым пределом вычислимой последовательности рациональных чисел.

Машина Поста - гипотетическая вычислительная машина, эквивалентная машине Тьюринга.

Тезис Черча-Тьюринга - утверждение, что любая интуитивно вычислимая функция может быть вычислена с помощью машины Тьюринга.

Краткие итоги: Введено фундаментальное понятие конструктивного действительного числа. Дано уточнение понятия алгоритма с помощью машины Поста. С помощью объектно-ориентированного подхода реализованы классы конструктивных действительных чисел.

< Лекция 7 || Лекция 8 || Лекция 9 >
Олег Корсак
Олег Корсак
Латвия, Рига
Дмитрий Кифель
Дмитрий Кифель
Казахстан, Темиртау