Уральский государственный экономический университет
Опубликован: 27.05.2014 | Доступ: свободный | Студентов: 397 / 21 | Длительность: 11:44:00
Лекция 1:

Математические методы в моделировании экономики

Лекция 1: 1234 || Лекция 2 >
Аннотация: Лекция знакомит с основными понятиями и принципами экономико-математического моделирования. Важным этапом моделирования является решение математической модели. Показаны возможности программы Mathcad (с использованием символьного процессора) для проведения таких операций, как интегрирование и дифференцирование, решение уравнений, вычисление пределов, разложение функции в ряд Тейлора, исследование поведения функций.

Цель лекции. Дать понятие экономико-математической модели и изложить основные этапы моделирования. Показать средства программы Mathcad для проведения наиболее распространенных математических преобразований в процессе решения математических моделей.

Принципы экономико-математического моделирования

Экономико-математическое моделирование - эффективный метод исследования сложных социально-экономических объектов и процессов. Практическими задачами моделирования являются анализ экономических объектов; экономическое прогнозирование, предвидение развития хозяйственных процессов и выработка управленческих решений. на всех уровнях.

Экономико-математическое моделирование основывается на принципе аналогии. Объект исследуется и изучается через рассмотрение другого, подобного ему и более доступного объекта, его модели. Модель создается исследователем с целью получения новых знаний об объекте-оригинале и отражает существенные (с точки зрения разработчика) свойства оригинала. Математическая модель – математический образ исследуемой системы, описывающий ее в абстрактной форме и адекватно отражающий структуру, свойства и взаимосвязи. Использование математических моделей позволяет осуществить предварительный выбор оптимальных или близких к ним вариантов решений по определенным критериям. Экономико-математическая модель - это математическая модель, предназначенная для исследования экономической проблемы. В ней отражаются основные соотношения между экономическими показателями.

Моделирование задачи включает следующие этапы:

  1. Определение проблемы. Четкая формулировка цели.
  2. Постановка задачи. Отбор объектов и ситуаций, реализующих поставленную цель, их качественный и количественный анализ.
  3. Системный анализ. Выдвигаются гипотезы. Сложные объекты, разбиваются на части (элементы), определяются связи элементов, свойства, выражаемые в виде уравнений, неравенств и т.п. Объект представляется в виде системы.
  4. Системный синтез. Математическая постановка задачи, в процессе которой осуществляется построение математической модели объекта и определение методов (алгоритмов) получения решения задачи. Как правило, подбирается известная математическая модель и алгоритм ее решения. Важно выбрать наиболее подходящий метод.
  5. Выбор программного обеспечения. Разработка программы.
  6. Решение и тестирование модели, анализ выходных данных. Если полученные результаты не удовлетворяют исследователя, то следует выбрать другую математическую модель; либо поставить задачу более корректно;
  7. Применение результатов исследований.

Экономико-математическое моделирование требует от исследователя четкости формулировки исследовательской задачи, строгой логичности в построении гипотез и концепций, умения пользоваться инструментарием высшей математики. В процессе построения и решения модели необходимо проводить аналитические математические преобразования в общем виде: исследование функций, дифференцирование и интегрирование, нахождение пределов, решение различного вида уравнений и систем уравнений. Символьный процессор программы Mathcad обеспечивает выполнение сложных математических операций простыми доступными средствами. Методика работы в Mathcad изложена в пособии "Mathcad 14: Основные сервисы и технологии". В этой лекции представлены аналитические методы решения распространенных математических задач в среде с Mathcad 14.

Математические операции в задачах экономико-математического моделирования

Рассмотрим ряд часто используемых математических операций, которые необходимы в процессе математического моделирования.

Дифференцирование

Для проведения операции дифференцирования в Mathcad надо ввести функцию под знак \frac {d}{d\times}. (панель Calculus), щелкнуть оператор символьного вывода (панель Symbolic или Evaluation). В программе можно находить частные производные, производные второго, третьего, высоких порядков.

Дифференциальное исчисление часто применяется в процессе экономического анализа. При построении модели, анализе экономических показателей возникают вопросы: от каких факторов зависят показатели, каковы их оптимальные значения, какова степень зависимости. Задачи на нахождение экстремума, анализ системы на устойчивость, исследование взаимосвязи экономических показателей, скорости изменения решаются с использованием дифференциального исчисления.

Пример 1.1.

Рассмотрим пример исследования эластичности. Коэффициент эластичности E показывает относительное изменение исследуемого экономического показателя Y под действием единичного относительного изменения экономического фактора x, от которого зависит показатель. Функция имеет вид:

E=\frac {dy}{dx}\frac{x}{Y} ( 1.1)

где Y=F(x). В зависимости от вида функции эластичность по-разному зависит от фактора x.

Пусть зависимость экономического показателя Y от фактора x описывается функцией:

  1. показательной
  2. обратной Y(x)=\frac{1}{a+b\cdot x},
  3. линейной Y(x)=a+b\cdot x.

Определить вид зависимости коэффициента эластичности.

Решение показано на рисунке 1.1.

Листинг решения Примера 1.1. Расчет эластичности для разных функций зависимости экономического показателя от заданного фактора

Рис. 1.1. Листинг решения Примера 1.1. Расчет эластичности для разных функций зависимости экономического показателя от заданного фактора

E - коэффициент эластичности E=(dY/dxy) x/Y

a и b - параметры

  1. Показательная функция:

    Y(x,a):=a^X

    E1(x,a):=\frac{d}{dx}(Y(x,a))\cdot \frac{x}{Y(x,a)}\to x\cdot ln(a)

  2. Обратная функция:

    Y(x,a,b):=\frac{1}{a+b\cdot x}

    E2(x,a,b):=\frac{d}{dx}(Y(x,a,b))\cdot \frac{x}{Y(x,a,b)}\to -\frac{b\cdot x}{a+b\cdot x}

  3. Линейная функция:

    Y(x,a,b):=a+b\cdot x

    E3(x,a,b):=\frac{d}{dx}(Y(x,a,b))\cdot \frac{x}{Y(x,a,b)}\to \frac{b\cdot x}{a+b\cdot x}

Лекция 1: 1234 || Лекция 2 >
Юлия Давыдова
Юлия Давыдова
Россия, Краснодар
Наталья Санникова
Наталья Санникова
Россия, г. Краснодар