Уральский государственный экономический университет
Опубликован: 27.05.2014 | Доступ: свободный | Студентов: 388 / 19 | Длительность: 11:44:00
Лекция 2:

Финансово-экономические модели

Аннотация: Лекция знакомит с методами финансово-экономического моделирования средствами программы Mathcad. Описаны денежные потоки разного вида: элементарный (простейший) поток, состоящий из одной выплаты и последующего поступления, постоянная финансовая рента, регулярный поток. Приведены математические выражения для основных показателей финансовых потоков, которые лежат в основе финансовых функций. На примерах показано проведение финансовых расчетов двумя способами: по математическим формулам и с использованием встроенных финансовых функций. Все задачи решаются в матричном виде. Результаты представляются в виде графиков.

Цель лекции. Показать построение финансовой модели: как выделить данные и как построить решение. Научить работать с данными и функциями в матричном виде, использовать финансовые функции для индексных переменных. Продемонстрировать представление результатов в виде графиков.

2.1. Постановка финансовой задачи

Финансовая математика изучает соотношения между размерами платежей, сроками выплат и процентными ставками, возникающими в коммерческих сделках и финансово-банковских операциях [8,9,10]. Начиная с версии системы Mathcad 2001 PRO/Premium, в программу введен пакет финансовых функций. Любая из финансово-экономических функций предназначена для вычисления значения одного из финансовых параметров -экономических расчетов по заданным значениям других параметров Расчеты будем производить, используя математические формулы и встроенные финансовые функции. Проведем финансовые расчеты с использованием программы Mathcad [11,12].

Простейшей финансовой операцией является предоставление в долг в некоторый начальный момент суммы pv с условием, что будет возвращена сумма fv. Эффективность такой операции определяется процентной ставкой r=(fv– pv)/pv. Доходность денег зависит от длительности их использования. Время в финансовых вычислениях измеряется в периодах.

Основные финансовые параметры:

  • pv (present value) – текущая стоимость– исходная сумма долга или оценка современной величины денежной суммы, поступление которой ожидается в будущем, в пересчете на более ранний момент времени.
  • fv (future value) – будущая стоимость – сумма долга с начисленными процентами в конце срока.
  • r – процентная ставка - относительный показатель эффективности вложений (норма доходности), характеризует темп прироста стоимости за период.
  • nper (number of periods) –число расчетных периодов – равных по длине подынтервалов времени, в конце которых регулярно начисляются проценты.
  • n – срок, по истечении которого сумму долга и проценты нужно вернуть, измеряется, как правило, в годах. Если m –число раз начисления процентов в году, nper  =m n,
  • pmt – периодический платеж ренты.

В финансовой практике используются различные схемы. Схема простых процентов предполагает начисление процентов к базовому капиталу pv за срок nper . Будущая стоимость составляет

fv=pv\cdot (1+r\cdot nper) ( 2.1)

Наращенная стоимость является линейной функцией от ставки. Вычисления в схеме простых процентов элементарны. Простые проценты используются при краткосрочных операциях.

Сложные проценты начисляются по ставке r на сумму, которая растет. После каждого начисления процентов осуществляется их капитализация, то есть на следующий период проценты начисляются к наращенной сумме. Математические выражения имеют вид степенных функций, вычисления по схеме сложных процентов более сложные. Разработана целая серия финансовых функций. В них заложен алгоритм схемы сложных процентов. Любая из финансово-экономических функций предназначена для вычисления значения одного из финансовых параметров экономических расчетов по заданным значениям других параметров. Некоторые финансовые функции, используемые в задачах, приведены в приложении. Рассмотрим расчеты финансовых параметров для разных видов денежных потоков по схеме сложных процентов.

2.2. Элементарный денежный поток

Элементарный денежный поток - денежный поток без дополнительных или периодических выплат. Рассматриваем схему сложных процентов[[8,9]. Пусть проценты начисляются раз в год. Поскольку начисление процентов идет на наращенную сумму, будущая стоимость за n лет составит.

fv=pv(1+r)^n ( 2.2)

Сумма растет по закону геометрической прогрессии с постоянным знаменателем (1+r). Пусть сумма pv вложена на n лет с начислением процентов m раз в год. Чем больше количество начислений m, тем больше наращенная стоимость fv. Проделав несложные преобразования, получаем выражения для других финансовых величин:

fv=pv(1+r/m)^{nm} ( 2.3)

pv=fv/(1+r/m)^{mn} ( 2.4)

r=m[(fv/pv)^{1/mn}-1] ( 2.5)

nper =\ln(fv_n/pv)/\ln(1+r/m) ( 2.6)

Вычислению каждой финансовой величины соответствует соответствующая финансовая функция.

Эффективная процентная ставка

Годовая ставка, обеспечивающая то же значение наращенной суммы fv  при одноразовом в течение года начислении процентов, что и m - разовое с периодической ставкой r/m называется эффективной ставкой. Вкладывая одну денежную единицу pv=1 на 1 год (n=1) при частоте начисления m раз в год получаем

r=(fv-1)/1=1\cdot(1+r/m)^{1\cdot m}-1=(1+r/m)^m-1=r_{eff} ( 2.7)

r_{eff}=(1+r/m)^m ( 2.8)

r_{eff} - эффективный годовой процент, получаемый при вложении за один год.

С введенной эффективной ставкой формулы ( 2.3-2.6) имеют вид

fv=pv(1+r_{eff})^n ( 2.9)
pv=fv_n/(1+r_{eff})^n ( 2.10)
r=m[(fv/pv)^{\frac{1}{mn}}-1] ( 2.11)
n=\log(fv_n/pv)/\log(1+r_{eff}) ( 2.12)

Непрерывное наращение

Проценты могут начисляться даже чаще, чем один раз в день. При бесконечно частом m\to \infty) дроблении года на малые процентные периоды, то есть при непрерывном наращении сложных процентов получается показательный закон роста

fv=pv \lim_{m \to \infty}(1+r/m)^m=pv\cdot e^r ( 2.13)

Процентную ставку r, являющуюся показателем степени в формуле множителя непрерывного наращения, называют интенсивностью или силой роста. Она связана с годовой эффективной ставкой процента r_{eff} соотношением

e^r=r_{eff} ( 2.14)

Примеры решения задач

Проведем ряд финансовых расчетов двумя способами: по математическим формулам, приведенным выше, и с использованием встроенных финансовых функций. Проанализируем, как работают финансовые функции в MathCAD. Если входные величины даны в виде ряда значений, представляем их векторами. Рассчитанные финансовые величины также имеем также в виде векторов. Альтернативно используем встроенные финансовые функции. Результаты демонстрируем в графическом виде.

Кавиткумар Вавулин
Кавиткумар Вавулин
Россия
Анжрей Жалеян
Анжрей Жалеян
Россия