Нижегородский государственный университет им. Н.И.Лобачевского
Опубликован: 27.09.2006 | Доступ: свободный | Студентов: 3533 / 125 | Оценка: 4.44 / 4.11 | Длительность: 13:45:00
Специальности: Программист, Математик
Лекция 2:

Маршруты, связность, расстояния

< Лекция 1 || Лекция 2: 123 || Лекция 3 >

Связность и компоненты

Граф называется связным, если в нем для любых двух вершин имеется маршрут, соединяющий эти вершины. Заметим, что ввиду теоремы 1 можно в этом определении заменить слово "маршрут" словами "простой путь".

Для произвольного графа определим на множестве вершин отношение соединимости: вершина a соединима с вершиной b, если существует соединяющий их маршрут. Легко видеть, что это отношение рефлексивно, симметрично и транзитивно, то есть является отношением эквивалентности. Классы эквивалентности называются областями связности, а порождаемые ими подграфы - компонентами связности графа. В связном графе имеется только одна компонента связности - весь граф. Компоненты связности можно определить также как максимальные по включению связные подграфы данного графа.

У графа на рис. 2.2 имеется четыре области связности - \{1, 2, 9\}, \{3, 10,
11\}, \{4\}, \{5, 6, 7, 8, 12, 13, 14,
15\}.


Рис. 2.2.

Вершина называется шарниром (или точкой сочленения ), если при ее удалении число компонент связности увеличивается. У графа на рис. 2.2 имеется четыре шарнира - это вершины 3, 6, 7, 8.

Ребро, при удалении которого увеличивается число компонент связности, называется перешейком. Перешейками графа, изображенного на рис. 2.2, являются ребра (3, 10), (3, 11), (6,
7), (7, 8), (7, 13).

Легко доказываются следующие свойства шарниров и перешейков:

Теорема 3.Вершина a является шарниром тогда и только тогда, когда в графе имеются такие отличные от a вершины b и c, что любой путь, соединяющий b и c, проходит через a.

Теорема 4. Ребро является перешейком в том и только том случае, если в графе нет простого цикла, содержащего это ребро.

Метрические характеристики графов

Расстоянием между двумя вершинами графа называется наименьшая длина пути, соединяющего эти вершины. Расстояние между вершинами a и b обозначается через d\left(a,b\right). Если в графе нет пути, соединяющего a и b, то есть эти вершины принадлежат разным компонентам связности, то расстояние между ними считается бесконечным.

Функция d\left(x,y\right) обладает следующими свойствами:

  1. d\left(x,y\right)\ge 0, причем d\left(x,y\right)=0 тогда и только тогда, когда x=y ;
  2. d\left(x,y\right)=d\left(y,x\right) ;
  3. d\left(x,y\right)+d\left(y,z\right)\ge d\left(x,z\right) (неравенство треугольника).

В математике функцию двух переменных, определенную на некотором множестве и удовлетворяющую условиям 1 - 3, называют метрикой, а множество, на котором задана метрика, - метрическим пространством. Таким образом, множество вершин любого графа можно рассматривать как метрическое пространство.

Расстояние от данной вершины a до наиболее удаленной от нее вершины называется эксцентриситетом вершины a и обозначается через \ecc\left(a\right). Таким образом,

ecc(a)=\max_{x\in VG} d(a,x).

Вершину с наименьшим эксцентриситетом называют центральной, а вершину с наибольшим эксцентриситетом - периферийной. Множество всех центральных вершин называется центром графа. Сама величина наименьшего эксцентриситета называется радиусом графа и обозначается через rad(G), а величина наибольшего - диаметром и обозначается diam(G). Иначе говоря,

rad(G)=\min_{x\in VG} \max_{y\in VG} d(x,y),\\
diam(G)=\max_{x\in VG} \max_{y\in VG} d(x,y).

Наименьший диаметр имеет полный граф - его диаметр равен 1. Среди связных графов с n вершинами наибольший диаметр, равный n-1, имеет цепь P_{n}.

Если расстояние между двумя вершинами равно диаметру графа, то кратчайший путь, соединяющий эти вершины, называется диаметральным путем, а подграф, образованный вершинами и ребрами этого пути, - диаметральной цепью.

Для графа, изображенного на рис. 2.3, эксцентриситеты вершин приведены в следующей таблице:

x 1 2 3 4 5 6 7 8 9
\ecc(x) 5 4 4 3 5 3 3 4 5

Центр этого графа составляют вершины 4, 6, 7 ; периферийные вершины - 1, 5 и 9 ; радиус его равен 3, а диаметр 5. Одна из диаметральных цепей порождается множеством вершин \{1, 3, 6, 7, 8, 9\}.


Рис. 2.3.
< Лекция 1 || Лекция 2: 123 || Лекция 3 >
Петр Петров
Петр Петров

произведение графов К(2)*О(4) фактически 4 отдельных графа К(2)?

Александр Лаврентьев
Александр Лаврентьев

много инструкций вида if - then - else

Например Procedure DFS(a) опишите каким образом следует понимать вложенность инструкций. Как в языке С ? 

т.е. следующее 

if (...) then (...)

if (...) then (...)

else(...)

 

раскрывается как 

if (...) then (...)

if (...) then (...)

         else(...)

или так :

if (...) then

 {  (...)

     if (...) then (...)

              else(...)

}

обьясните пожалуйста.

 

 

Дмитрий Крюков
Дмитрий Крюков
Россия, Москва
Андрей Посохов
Андрей Посохов
Россия, Санкт-Петербург