Опубликован: 05.08.2011 | Доступ: свободный | Студентов: 1407 / 57 | Оценка: 4.50 / 3.50 | Длительность: 18:52:00
ISBN: 978-5-9963-0014-3
Специальности: Математик, Экономист
Лекция 7:

Двусторонняя торговля и теорема Вильямса

< Лекция 6 || Лекция 7: 12 || Лекция 8 >

Теорема Вильямса: общий случай

Итак, мы готовы сформулировать наш основной результат.

Теорема 7.3. (Вильямса) Рассмотрим проблему социального выбора с квазилинейными предпочтениями. Предположим также, что

  • множества типов \Theta_i представляют собой связные открытые подмножества \mathbb R^{n_i},
  • ожидаемые (interim) внутренние ценности агентов

    V_i(\theta^*_i\mid\theta_i)

    непрерывно дифференцируемы на \Theta_i\times\Theta_i в точках, в которых \theta^*_i=\theta_i.

Тогда механизмы VCG являются правдивыми и эффективными для этой задачи, и ожидаемые (interim) внутренние ценности агентов U_i(\theta^*_i\mid\theta_i) любого правдивого и эффективного механизма совпадают с ценностями одного из механизмов VCG.

Как обычно, a good formula stays for ever, и формула, которая получится по дороге, будет ничуть не менее важной, чем сама теорема классификации. Давайте ее тоже сформулируем.

Теорема 7.4. (Вильямса) В условиях теоремы 7.3 функция доходности любого правдивого эффективного механизма для любой пары типов \theta_i,\theta^*_i\in\Theta_i имеет вид

U_i(\theta_i) = U_i(\theta^*_i) + \int_{C}\left.D_{\theta_i}V_i(\theta^*_i\mid\theta_i)\vphantom{1^2}\right|_{\theta^*_i=\tau,\theta_i=\tau}d\tau,

где C — гладкая кривая от \theta^*_i к \theta_i внутри \Theta_i, \tau\in\mathbb R^{n_i}.

Доказательство. Обозначим через \bf{\rho}\in\mathbb R^{n_i} некоторый единичный вектор, через s\in\mathbb R — некоторое вещественное число. Правдивость гласит, что для всех \theta_i\in\Theta_i

U_i(\theta_i) &\ge& U_i(\theta_i+s\bf{\rho}\mid\theta_i),\\
U_i(\theta_i+s\bf{\rho}) &\ge& U_i(\theta_i\mid\theta_i+s\bf{\rho}).

Вычтем U_i(\theta_i) из обеих частей первого неравенства; получается:

U_i(\theta_i\mid\theta_i+s\bf{\rho})-U_i(\theta_i)\le \\
\le U_i(\theta_i+s\bf{\rho})-U_i(\theta_i)\le \\
\le U_i(\theta_i+s\bf{\rho})-U_i(\theta_i+s\bf{\rho}\mid\theta_i).

Сократим там P_i слева и справа (они не зависят от истинной ценности, а только от сообщаемой) и разделим на s:

\frac{V_i(\theta_i\mid\theta_i+s\bf{\rho})-V_i(\theta_i)}{s} \le \\ \le \frac{U_i(\theta_i+s\bf{\rho})-U_i(\theta_i)}{s}\le \\ \le\frac{V_i(\theta_i+s\bf{\rho})-V_i(\theta_i+s\bf{\rho}\mid\theta_i)}{s}.

Устремим теперь s\to0. По условию о дифференцируемости V_i, левая часть сходится к производной функции V_i(\tau^*_i\mid\tau_i) по направлению \bf{\rho} в точке \tau^*_i=\tau_i=\theta_i.

Правая часть раскладывается на

\frac{V_i(\theta_i+s\bf{\rho})-V_i(\theta_i)}{s} - \frac{V_i(\theta_i+s\bf{\rho}\mid\theta_i)-V_i(\theta_i)}{s}.

Первое слагаемое по тем же причинам сходится к производной V_i(\tau_i) по \tau_i по направлению \bf{\rho} в \tau_i=\theta_i, а второе слагаемое — к производной V_i(\tau^*_i\mid\tau_i) по \tau^*_i по направлению \bf{\rho} в \tau^*_i=\tau_i=\theta_i.

Таким образом, вся правая часть сходится к производной функции V_i(\tau^*_i\mid\tau_i) по \tau_i по направлению \bf{\rho} в точке \tau^*_i=\tau_i=\theta_i. Значит,

D_{\theta_i}U_i(\theta_i) = \left.\vphantom{1^2}D_{\theta_i}V_i(\theta^*_i\mid\theta_i)\right|_{\theta^*_i=\tau,\theta_i=\tau}.

Отсюда следует утверждение теоремы, потому что производная по предположению непрерывна.

Это весьма показательный метод доказательства. По сути это развитие исходной идеи Майерсона в максимальной (или близкой к тому) общности. Видно, что откуда берется во всех таких теоремах: нужно взять изменение (приращение s\bf{\rho} ) и посмотреть, что от него изменится; а затем устремить s (то есть длину вектора приращения) к нулю. В результате получится результат об исходных функциях; единственное, за чем нужно следить — это за тем, какие предположения о непрерывности и дифференцируемости использовались по дороге.

Рациональность

Давайте применим теорему Вильямса в контексте, обобщающем теорему 7.1. Мы бы хотели создавать рациональные механизмы. Посмотрим, когда это получится.

Теорема 7.5. Рассмотрим проблему социального выбора с квазилинейными предпочтениями. Предположим, что множества типов \Theta_i представляют собой интервалы: \Theta_i = [\underline{\theta}_i, \overline{\theta}_i]. Тогда в предположениях теоремы 7.3 минимальная субсидия, которая требуется рациональному, правдивому и эффективному механизму, равна

\min\left\{0, -(N-1)\mathbf E_\mathbf\theta\left[\sum\limits_{i=1}^Nv_i(a(\mathbf\theta),\theta_i)\right] + \sum\limits_{i=1}^NU_i(\underline{\theta}_i)\right\}.

Значит, рациональные, правдивые и эффективные механизмы со сбалансированным бюджетом существуют тогда и только тогда, когда

(N-1)\mathbf E_\mathbf\theta\left[\sum\limits_{i=1}^Nv_i(a(\mathbf\theta),\theta_i)\right] \le \sum\limits_{i=1}^NU_i(\underline{\theta}_i).

Доказательство. По теореме Вильямса, достаточно рассмотреть механизмы VCG. Для них ожидаемая сумма трансферов

\mathbf E_\mathbf\theta\left[\sum\limits_{i=1}^Np_i(\mathbf\theta)\right] = -\mathbf E_\mathbf\theta\left[\sum\limits_{i=1}^N\sum\limits_{j\neq i}v_j(a(\mathbf\theta),\theta_j)\right] + \sum\limits_{i=1}^Nk_i = \\ = -(N-1)\mathbf E_\mathbf\theta\left[\sum_{i=1}^Nv_i(a(\mathbf\theta),\theta_i)\right] + \sum\limits_{i=1}^Nk_i.

По рациональности, U_i(\underline{\theta}_i)\ge k_i для всех i. Отсюда и получается утверждение теоремы.

< Лекция 6 || Лекция 7: 12 || Лекция 8 >
Юрий Тарасов
Юрий Тарасов
Россия, Мегион, средняя школа №1, 1993
Олег Корсак
Олег Корсак
Латвия, Рига