Опубликован: 05.08.2011 | Доступ: свободный | Студентов: 1407 / 57 | Оценка: 4.50 / 3.50 | Длительность: 18:52:00
ISBN: 978-5-9963-0014-3
Специальности: Математик, Экономист
Лекция 10:

Доходы аукционов с зависимыми ценностями

< Лекция 9 || Лекция 10: 123 || Лекция 11 >
Аннотация: В прошлой лекции мы начали рассматривать аукционы с зависимыми ценностями участников; оказалось, что в общем случае о них мало что можно сказать, но в случае аффилированных сигналов задача оказывается более разумно сформулированной.

Английский аукцион

Нам удалось доказать, что для аукциона второй цены равновесные стратегии задаются формулой \beta^{II}(x) = v(x,x), где

v(x,y) = \mathbf E\left[\vphantom{1^2}V_1|X_1 = x, Y_1 = y\right].

В этой лекции мы рассмотрим еще две модели аукционов — английский и первой цены — а затем сравним их друг с другом с точки зрения доходов. Наконец, в разделе "10.5" , мы посмотрим насколько эффективными будут аукционы с зависимыми ценностями (окажется, что крайне неэффективными, но мы, опять же, введем дополнительное условие, и жизнь станет проще).

Итак, английский аукцион. В английском аукционе дополнительным источником информации для агента является то, когда другие агенты выходят из игры. В зависимости от этого стратегии активных участников аукциона могут меняться по ходу его проведения.

В такой ситуации уже нет смысла говорить о единой оптимальной стратегии. Симметрическая равновесная стратегия превращается в набор

\bf beta = (\beta^N,\beta^{N-1},\ldots,\beta^2)

из N-1 функции. Каждая его компонента \beta^k представляет собой функцию N-k переменных \beta^k(x,p_{k+1},\ldots,p_N) — цену, на которой игрок 1 должен выйти из игры при условии, что его сигнал равен x, в игре остались еще k агентов, а цены остальных вышедших составляли p_{k+1}\ge p_{k+2}\ge\ldots\ge p_N.

Опишем следующую стратегию для агентов. Во-первых, вначале, когда все агенты еще активны, положим

\beta^N(x) = u(x,x,\ldots,x)

(напомним, что u — это ценность объекта, которая в случае аукционов с зависимыми ценностями оказывается функцией от всех сигналов). Заметим, что \beta^N непрерывна и возрастает.

Пусть агент N выходит из аукциона на цене p_N. Тогда положим

\beta^{N-1}(x,p_N) = u\left(x,\ldots,x,x_N\right),

где x_N — такое значение сигнала, что \beta^N(x_N)=p_N (оно всегда единственно, так как \beta^N непрерывна и возрастает).

По аналогичному принципу строятся и остальные \beta^k. А именно, если из игры уже вышли агенты с номерами N,\ldots,k+1, то

\beta^k\left(x,p_{k+1},\ldots,p_N\right) = u\left(x,\ldots,x,x_{k+1},\ldots,x_N\right),

где x_{k+1} определяется из условия

\beta^{k+1}\left(x_{k+1},p_{k+2},\ldots,p_N\right) = p_{k+1}.

Неформально смысл описанной стратегии очень прост. Всякий раз игрок определяет, стоит ли ему продолжать игру при текущей ставке p. Он спрашивает себя: "Что будет, если я сейчас выиграю аукцион?". Аукцион прямо сейчас выиграть возможно лишь в том случае, когда все остальные агенты прямо сейчас, на ставке p, решат выйти из игры. Предполагая, что они действуют по аналогичной стратегии, можно определить их скрытые сигналы y для такого случая из условия

\beta^{k}\left(y,p_{k+1},\ldots,p_N\right) = p.

А зная скрытые сигналы всех агентов, можно определить ценность объекта u\left(x,y,\ldots,y,x_{k+1},x_{k+2},\ldots,x_N\right). Очевидно, что продолжать игру стоит тогда и только тогда, когда эта ценность больше, чем p.

Теорема 10.1. Описанная выше стратегия \bf beta является симметричной равновесной для английского аукциона.

Доказательство. Пусть X_1=x, и все остальные агенты, кроме первого, играют по стратегии \bf beta. Рассмотрим значения Y_1,Y_2,\ldots,Y_{N-1}.

Пусть Y_j таковы, что агент 1 при следовании стратегии \bf beta выигрывает объект (то есть x>y_1 ). В этом случае цена, которую заплатит первый агент, — это цена, на которой из аукциона выходит агент с сигналом y_1, то есть u\left(y_1,y_1,y_2,\ldots,y_N\right). Так как x>y_1, то выгода игрока 1 будет положительной:

u\left(x,y_1,\ldots,y_N\right)-u\left(y_1,y_1,\ldots,y_N\right)>0.

Так как игрок 1 не может повлиять на цену, которую ему придется заплатить, то лучшего результата, чем от использования стратегии \bf beta, ему в этом случае все равно не добиться (классическое рассуждение, оно часто помогает в анализе аукционов).

Если же агент 1 не выигрывает вещь при использовании \bf beta (то есть если x<y_1 ), то в случае, если он все-таки решит выиграть аукцион, его доход будет отрицательным:

u\left(x,y_1,\ldots,y_N\right)-u\left(y_1,y_1,\ldots,y_N\right)<0.

Таким образом, игроку 1 никогда не выгодно отклоняться от \bf beta.

Особенность описанного выше равновесия заключается в том, что оно зависит только от оценочной функции u и никак не зависит от распределения сигналов f. Таким образом, для каждого конкретного u равновесие \bf beta не сместится, если изменить распределение сигналов.

Как мы уже обсуждали, в таком случае говорят, что стратегии \bf beta образуют равновесие ex post. Такое равновесие лучше, чем равновесия ex ante и interim; в частности, оно обеспечивает свойство отсутствия сожаления (no regret). Проще говоря, даже если после завершения торгов все агенты раскроют точные значения своих сигналов, то никто из них не будет жалеть о своем выборе стратегии: выигравший агент останется с положительной выгодой, а проигравшие поймут, что даже если бы они повысили ставку и выиграли аукцион, они остались бы в убытке.

< Лекция 9 || Лекция 10: 123 || Лекция 11 >
Юрий Тарасов
Юрий Тарасов
Россия, Мегион, средняя школа №1, 1993
Олег Корсак
Олег Корсак
Латвия, Рига