Опубликован: 05.08.2011 | Доступ: свободный | Студентов: 1407 / 57 | Оценка: 4.50 / 3.50 | Длительность: 18:52:00
ISBN: 978-5-9963-0014-3
Специальности: Математик, Экономист
Лекция 9:

Аукционы с зависимыми ценностями

< Лекция 8 || Лекция 9: 123 || Лекция 10 >
Аннотация: Можно еще долго рассуждать о том, что нельзя сделать; в предыдущих лекциях мы об этом много говорили. Но, кажется, пора двигаться дальше и попытаться все же продвинуть наши знания о том, что сделать можно, а также понимание того, что уже делается.

Введение

Отныне и до конца курса мы будем рассматривать аукционы в том виде, в котором мы это делали в лекциях "3" - "5" . Напомним вкратце классическую постановку задачи дизайна аукционов. Имеется некоторый лот, который выставляется на торги продавцом. В торгах участвуют N агентов, каждый из которых хочет приобрести лот за как можно меньшую цену. При этом победа в аукционе приносит агенту i пользу v_i — это так называемая внутренняя ценность для агента i. В лекциях "3" - "5" внутренняя ценность была функцией исключительно от его собственной полезности x_i, распределенной по некоторому заранее известному распределению X_i, а также от цены, которую ему нужно было заплатить (и уже эта цена зависела от ставок, а значит, и от внутренних ценностей других агентов).

В лекции "5" мы доказали теорему об эквивалентности доходности (теорему 4.1): если скрытые значения агентов x_i распределены одинаково и независимо и все агенты нейтральны к риску, то любое симметричное равновесие любого аукциона дает продавцу один и тот же доход. Иначе говоря, продавцу можно не затруднять себя сложным выбором между, скажем, аукционом второй цены, первой цены и английским аукционом: все равно его доход от формы аукциона не изменится. Конечно, в разделе 4.5 мы немножко оговорились, что могут появиться психологические причины предпочесть один формат другому, да и просто — в аукционе второй цены оптимальная стратегия самоочевидна, а в аукционе первой цены ее нужно вычислять сложным образом, поэтому аукцион второй цены можно применять шире. Но все-таки математически все аукционы были для продавца одинаковы.

Однако в реальной жизни далеко не всегда скрытые значения агентов представляют собой независимые случайные величины. Рассмотрим следующее обобщение: пусть теперь каждый агент не знает точного значения своей ценности, но знает ее примерно. А именно, агент i теперь знает значение некоторого случайного неточного сигнала (noisy signal) X_i из диапазона [0,\omega_i]. Ценность лота для агента i является некоторой функцией от сигналов всех агентов:

V_i = v_i(X_1, X_2, \ldots, X_N).

При этом она также является случайной величиной (так как случайными являются все сигналы X_i ).

Таким образом, теперь цености всех агентов оказываются связанными друг с другом посредством неточных сигналов. Такая постановка задачи называется аукционом с зависимыми ценностями. Существует также модификация аукциона с зависимыми ценностями, в которой кроме неточных сигналов агентов x_i есть еще неточный сигнал S, известный только продавцу (у продавца есть уникальная информация об объекте продажи). При этом

v_i(x_1,\ldots,x_N) = \mathbf E_S\left[\vphantom{1^2}V_i|X_1=x_1,\ldots, X_N=x_N\right].

В таком случае интересен вопрос о том, имеет ли смысл (для увеличения матожидания своего дохода) продавцу сообщать известный ему неточный сигнал S агентам или нет.

Далее мы будем рассматривать первый, более простой случай. Будем по умолчанию полагать, что v_i(0,0,\ldots,0)=0 и что E[V_i] < \infty. Кроме того, будем считать, что агенты нейтральны к риску, то есть каждый из них хочет максимизировать матожидание величины V_i-p_i, где p_i - цена, которую придется заплатить за обладание лотом.

Частным случаем аукционов с зависимыми ценностями являются аукционы, в которых существует некоторая общечеловеческая ценность V = v(X_1,\ldots, X_N), а сигналы отдельных агентов X_i распределены вокруг нее (то есть \mathbf E[X_i|V=v] = v ). Типичный жизненный пример такой ситуации — аукционы по разработке месторождений: точный доход от разработки некоторого месторождения примерно одинаковый для всех и никому заранее не известен, но у потенциальных покупателей могут быть примерные его оценки. Поэтому такая модель часто называется "mineral rights model".

К чему приводят зависимые ценности

Рассмотрим для примера модель с общечеловеческой ценностью (mineral rights model). В описанной выше ситуации возникает так называемое проклятие победителя (winner' curse; вспомните раздел "2.2" ). Так как V — это, грубо говоря, среднее значение среди всех X_i, то наибольшее из X_i неизбежно будет переоценивать V!

Возьмем для примера аукцион первой цены. Как только агенту сообщают, что он выиграл аукцион, он понимает, что скорее всего переоценивал значение V (так как остальные агенты в таком случае, очевидно, оценивали его меньшим значением). Возможно, что стоимость, которую заплатит агент-победитель, будет даже превышать значение V, то есть в итоге он останется в убытке.

Пример 9.1. Рассмотрим простейшую (и самую, наверное, разумную для моделирования реальности) ситуацию, когда оценки агентов распределены нормально и независимо вокруг общечеловеческой ценности V. Может показаться, что здесь оценки агентов распределены независимо, и мы возвращаемся в ситуацию аукционов с независимыми ценностями. Но на самом деле это не так: они независимы только при условии известной ценности V, а вся соль ситуации как раз в том, что никто эту ценность не знает.

Так вот, предположим, что N агентов участвуют в аукционе первой цены, и оценка стоимости лота у каждого агента представляет собой нормальное распределение со средним, равным истинной ценности v и дисперсией \sigma^2. Тогда функция распределения наивысшей оценки стоимости из N агентов будет равна не

F_{N(v,\sigma^2)}(x) = \frac1{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(x-v)^2}{2\sigma^2}},

а ее N -й степени F(x) = F^N_{N(v,\sigma^2)}(x), что, конечно, гораздо меньше. Вот как растет математическое ожидание максимальной оценки из десяти участвующих агентов для вещи с ценностью 1 и дисперсией 1:

\mathbf E\left[\max\limits_{i=1..2}\{X_i\}\right] &=& \int_{-\infty}^{\infty}xNf_{N(1,1)}(x)F_{N(1,1)}(x)dx\approx 1.56419,\\ \mathbf E\left[\max\limits_{i=1..3}\{X_i\}\right] &=& \int_{-\infty}^{\infty}xNf_{N(1,1)}(x)F^2_{N(1,1)}(x)dx\approx 1.84628,\\ \mathbf E\left[\max\limits_{i=1..5}\{X_i\}\right] &=& \int_{-\infty}^{\infty}xNf_{N(1,1)}(x)F^4_{N(1,1)}(x)dx\approx 2.16296,\\ \mathbf E\left[\max\limits_{i=1..10}\{X_i\}\right] &=& \int_{-\infty}^{\infty}xNf_{N(1,1)}(x)F^9_{N(1,1)}(x)dx\approx 2.53875,\\ \mathbf E\left[\max\limits_{i=1..1000}\{X_i\}\right] &=& \int_{-\infty}^{\infty}xNf_{N(1,1)}(x)F^{999}_{N(1,1)}(x)dx\approx 4.24144.\\

В аукционе с тысячей участников победитель рискует переплатить более чем вчетверо!

Конец примера 9.1.

По этой причине в аукционе первой цены участники должны делать определенную поправку и немного занижать заявляемую стоимость лота. Мы ниже обсудим этот вопрос подробнее и покажем конкретные стратегии для различных типов аукционов.

Стоит также отметить, что "проклятие победителя" зависит от количества участников N. Чем больше агентов участвуют в аукционе, тем больше ожидание максимума среди всех оценок стоимости лота, и тем хуже в среднем приходится победителю.

Но это не единственный (и даже не главный) эффект, который появляется в аукционах с зависимыми ценностями. Главным для нас следствием зависимости сигналов является тот факт, что теперь теорема об эквивалентности доходности перестает работать. Причем не просто перестает работать доказательство, а теорема становится по сути неверной. Мы будем обсуждать, как подправить теорему, чтобы суметь хоть что-то сказать в случае зависимых ценностей.

Более того, в 3.2 мы рассказывали о том, каким образом различные модели аукционов оказываются эквивалентными друг другу. Для двух основных моделей аукционов с открытыми ставками — голландского и английского — мы нашли их эквиваленты в терминах закрытых ставок — аукционы первой и второй цены соответственно.

Так вот, в ситуации с зависимыми ценностями аукцион второй цены и английский (восходящий) аукцион перестают быть эквивалентными! Это связано с тем, что в восходящем аукционе у участников, которые остаются активными, по ходу проведения аукциона появляется новая информация — ставки участников, выходящих из аукциона (точнее говоря, значения стоимости лота в те моменты времени, когда эти участники говорили "пас"). Исходя из этих ставок, активные участники могут пытаться оценить скрытые сигналы пасующих агентов. Если в случае аукциона с частными независимыми ценностями они не играли никакой роли, то теперь эти значения могут повлиять на собственные оценки ценности лота оставшихся в игре агентов.

Замечание. С голландским (нисходящим) аукционом все остается эквивалентным: поскольку лот отдают тому агенту, который первым поднял руку, у него по определению не появляется никакой дополнительной информации от ставок других агентов (он ничего не узнает о них).

В дальнейшем мы проведем подробный анализ двух аукционов с закрытыми ставками — первой и второй цены — и английского аукциона с открытыми ставками. Этот анализ позволит нам установить, какой из них лучше с точки зрения продавца и с точки зрения агентов-покупателей. Иными словами, раз уж эквивалентность не выполняется, нужно хотя бы понять, в какую сторону тут все неэквивалентно. Но сначала нам предстоит рассмотреть несколько важных понятий из теории вероятностей, без которых ничего у нас насчет аукционов с зависимыми ценностями доказать не получится.

< Лекция 8 || Лекция 9: 123 || Лекция 10 >