Автор: Александр Абрамов | Московский физико-технический институт
Форма обучения:
дистанционная
Стоимость самостоятельного обучения:
бесплатно
Доступ:
свободный
Документ об окончании:
 
Уровень:
Специалист
Длительность:
45:23:00
Студентов:
1637
Выпускников:
10
Курс содержит основные сведения, которые используются далее в теории уравнений математической физики и непосредственно при решении конкретных задач математики, физики и различных прикладных областей.
В курсе излагаются основы теории обыкновенных дифференциальных уравнений и методы решения основных типов уравнений. Курс включает также некоторые начальные сведения из вариационного исчисления.
Специальности: Математик
 

План занятий

Занятие
Заголовок <<
Дата изучения
Лекция 1
1 час 23 минуты
Простейшие типы уравнений
В лекции даются основные понятия теории дифференциальных уравнений. Вводятся уравнения первого порядка, уравнения в полных дифференциалах и уравнения с разделяющимися переменными.
Оглавление
-
Тест 1
24 минуты
-
Лекция 2
1 час 35 минут
Уравнения в полных дифференциалах
Лекция посвящена уравнениям в полных дифференциалах. В ней даются условие интегрируемости Клеро-Эйлера, метод лагранжа вариации постоянных. Рассказывается о решениях в квадратурах, задаче Коши и методе введения параметра.
Оглавление
-
Тест 2
24 минуты
-
Лекция 3
1 час 24 минуты
Уравнения высших порядков
В лекции рассказывается об использование инвариантности уравнения относительно группы преобразований для понижения порядка уравнения. Изучаются некоторые конкретные типы уравнений, допускающих понижение порядка.
-
Тест 3
24 минуты
-
Лекция 4
1 час 29 минут
Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами
В лекции рассказывается о линейных дифферециальных уравнения с постоянными коэффициентами, квазимногочленах и их свойствах, даются определение характеристического многочлена и постановка задачи Коши.
Оглавление
-
Лекция 5
1 час 44 минуты
Однородные и неоднородные линейные дифференциальные уравнения
Лекция посвящена решениям однородных и неоднородных уравнения, в правой части которых квазимногочлен. Рассказывается о вещественной форме записи вещественного решения уравнения с вещественными коэффициентами.
Оглавление
-
Лекция 6
1 час 35 минут
Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами
Первая краевая задача для линейного уравнения второго порядка. Простейшие задачи с сингулярно входящим малым параметром.
Оглавление
-
Тест 4
24 минуты
-
Лекция 7
1 час 31 минута
Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
Общие сведения о системах уравнений. Нормальная система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, общий метод решения.
Оглавление
-
Лекция 8
1 час 30 минут
Поиск решения методом неопределенных коэффициентов
Однородные системы. Неоднородные системы, в правой части которых квазимногочлен. Вещественная форма записи вещественного решения системы с вещественными коэффициентами.
Оглавление
-
Лекция 9
1 час 36 минут
Матричные формулы
Экспонента от матрицы и ее вычисление. Матричная формула решения нормальной системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
Оглавление
-
Тест 5
24 минуты
-
Лекция 10
1 час 24 минуты
Преобразование Лапласа
Свойства преобразования Лапласа, теоремы о представлении оригинала в виде интеграла от изображения, об однозначном восстановлении оригинала и об отображении множеств квазимногочленов и правильных рациональных дробей.
Оглавление
-
Лекция 11
1 час 24 минуты
Применение преобразования Лапласа к решению дифференциальных уравнений
Применение преобразования Лапласа к решению линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и систем таких уравнений. Операционный метод решения для систем.
Оглавление
-
Тест 6
24 минуты
-
Лекция 12
1 час 27 минут
Простейшая задача вариационного исчисления. Уравнение Эйлера
В лекции рассматривается простейшая задача вариационного исчисления, даются основные результаты. Рассматривается уравнение Эйлера и его применение для определения экстремального функционала.
-
Лекция 14
1 час 29 минут
Функционалы, зависящие от нескольких функций
Функционалы, зависящие от нескольких функций. Функционалы, зависящие от от старших производных. Задача со свободным концом.
Оглавление
-
Лекция 18
1 час 23 минуты
Теорема об уравнении в вариациях и дифференцируемости решения по параметру задачи Коши
Зависимость решения задачи Коши от параметров, входящих в уравнение, и от начальных данных (непрерывность, дифференцируемость, уравнение в вариациях).
-
Лекция 19
1 час 34 минуты
Уравнения неразрешенные относительно старшей производной
Уравнение первого порядка, не разрешенное относительно производной, постановка задачи Коши. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Особые решения.
-
Тест 8
24 минуты
-
Лекция 20
1 час 29 минут
Автономные системы дифференциальных уравнений
Основные свойства автономных систем. Положение равновесия. Классификация положений равновесия линейной автономной системы второго порядка.
Оглавление
-
Лекция 21
1 час 33 минуты
Устойчивость по Ляпунову и первые интегралы
-
Тест 9
24 минуты
-
Лекция 22
1 час 33 минуты
Первые интегралы
Связь теории первых интегралов с теорией линейных однородных уравнений с частными производными первого порядка. Независимые первые интегралы. Теорема о максимальном числе независимых первых интегралов.
-
Лекция 23
1 час 28 минут
Линейные однородные уравнения с частными производными первого порядка
Связь теории первых интегралов с теорией линейных однородных уравнений с частными производными первого порядка. Независимые первые интегралы. Теорема о максимальном числе независимых первых интегралов.
-
Тест 10
24 минуты
-
Лекция 24
1 час 20 минут
Фундаментальные системы решений
Уточнение теоремы существования и единственности решения задачи Коши. Однородные нормальные системы. Фундаментальные системы решений. Теорема Лиувилля-Остроградского.
Оглавление
-
Лекция 25
1 час 35 минут
Неоднородные нормальные системы. Метод вариации постоянных
Неоднородные нормальные системы. Метод вариации постоянных. Следствия для одного уравнения (однородного и неоднородного) n-го порядка.
Оглавление
-
Тест 11
24 минуты
-
Лекция 27
1 час 36 минут
Доказательство теоремы Жордана
Доказательство теоремы о возможности приведения матрицы линейного преобразования к жордановой форме; теорема была использована в конструкциях, рассмотренных в лекции 9.
Оглавление
-
1 час 40 минут
-
Гузель Курбанова
Гузель Курбанова
Алексей Абрамов
Алексей Абрамов
Россия