Опубликован: 04.03.2008 | Доступ: свободный | Студентов: 1439 / 20 | Оценка: 4.56 / 3.67 | Длительность: 30:07:00
ISBN: 978-5-9556-0099-4
Специальности: Программист, Математик
Лекция 4:

Базисы Гребнера

Аннотация: В данной лекции рассматриваются вопросы, связанные с базисами Грёбнера. Приведены практические примеры и алгоритмы, а также предоставлены задачи для самостоятельного рассмотрения

Определение базисов Гребнера

Следующей рассматриваемой задачей будет задача выбора канонического представления для элементов кольца регулярных на некотором алгебраическом многообразии функций. Это кольцо представляет собой факторкольцо кольца многочленов R = K[x_1, \dots, x_n], где K - поле, по некоторому идеалу I. Предполагаем, что идеал I задан конечной системой образующих: I = (f_1, \dots, f_m). Теорема Гильберта о базисе утверждает, что таким образом может быть задан любой идеал кольца многочленов R. Любой элемент факторкольца R/I - это смежный класс элементов кольца R относительно идеала I. При фиксированном каноническом представлении элементов кольца R, задача о представлении элементов факторкольца R/I сводится к задаче выбора канонического представителя в смежном классе. Будем пытаться решить ее в следующей формулировке: в кольце многочленов R = K[x_1, \dots, x_n] дано конечное множество элементов \{f_1, \dots, f_m\}. Требуется построить алгоритм, который для любого многочлена g\in
R выбирал бы канонического представителя в соответствующем смежном классе по идеалу I.

Кольцо многочленов R можно рассматривать как бесконечномерное векторное пространство над полем K, базис которого образует счетное множество мономов T=\{x_1^{i_1}x_2^{i_2}\cdots x_n^{i_n} \mid
i_1\ge 0,\dots,i_n\ge 0\}. Идеал I, а, следовательно, и факторкольцо R/I, также являются векторными K -пространствами. Наша задача состоит в построении отображения i\colon R/I\to
R, правого обратного к каноническому гомоморфизму \pr \colon R
\to R/I, т. е. \pr i
(x) = x для любого x\in R/I, Таким образом, мы получаем разложение R в прямую сумму векторных пространств I и i(R/I). Задачу выбора канонического представления решает тогда отображение i\pr\colon R\to
R, получающееся проектированием прямой суммы векторных пространств на одно из слагаемых. Достаточно выбрать новый базис кольца R, рассматриваемого как векторное K -пространство, пересечение которого с идеалом I представляет базис векторного пространства I.

8.1. ПРИМЕР. Пусть идеал I является мономиальным, т. е. порожден мономами f_1,\dots, f_m. Тогда T\cap I является базисом векторного пространства I, а T
\setminus (T\cap I) - базисом факторкольца R/I, рассматриваемого как векторное пространство. Каноническое представление получается, если в разложении любого многочлена по базису T отбрасывать элементы, принадлежащие I.

Хотя только что рассмотренный пример носит частный характер, он указывает на общий подход к решению поставленной задачи: выбрать такой базис векторного пространства R, пересечение которого с идеалом I представляет собой базис векторного пространства I.

8.2. ПРЕДЛОЖЕНИЕ. Пусть M - векторное пространство (возможно, бесконечномерное) и M'\subseteq M - его подпространство. Предположим, что базис \Gamma векторного пространства M выбран таким образом, что \Gamma'=\Gamma\cap  M' представляет собой базис пространства M'. Тогда каноническое представление факторпространства M/M' в M получается, если базис пространства M/M' отождествить с \Gamma'' =\Gamma \setminus\Gamma'.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО получается немедленно из разложения векторного пространства M в прямую сумму векторных пространств с базисами \Gamma' и \Gamma'', которые изоморфны пространствам M' и M'' соответственно.

Пусть идеал I порожден многочленами f_1, \dots,
f_n. Обозначим F = \{f_1,
\dots, f_n\}. Тогда счетное множество многочленов T\times F =
  \{\theta\cdot f_i \mid \theta\in T,\ f_i\in F\} порождает векторное пространство I, однако эти многочлены не являются линейно независимыми. Наша ближайшая задача состоит в построении достаточно простого алгоритма выбора в множестве T\times F линейно независимого подмножества. Для этого построим отображение \phi: T\times
F \to T, такое, что прообразы различных элементов из T линейно независимы, и выберем в прообразе каждого элемента единственного представителя (если этот прообраз не пуст). Получим систему \Sigma линейно независимых векторов в идеале I, которая, однако, может не порождать идеал I как векторное пространство.

Следующими задачами являются: проверка, порождает ли получившееся линейно независимое множество векторное пространство I, и если ответ отрицательный, то пополнение его до базиса.

Предположим, что множество T упорядочено таким образом, что:

  1. 1 < \theta для любого монома \theta \ne 1 ;
  2. если \theta_1 < \theta_2, то \theta_1 t <
\theta_2 t для любого монома t.

Как уже сказано в параграфе 3.1, наиболее часто используются следующие три отношения порядка:

  • лексикографическое упорядочение мономов, получающееся из фиксированного порядка на множестве переменных;
  • упорядочение мономов по степеням, а мономы одной и той же степени упорядочиваются лексикографически;
  • упорядочение мономов по степеням, а мономы одной и той же степени упорядочиваются в обратном лексикографическом порядке.

Отображение \phi ставит в соответствие любому многочлену f его старший моном (присутствующий в f с ненулевым коэффициентом).

8.3. УПРАЖНЕНИЕ. Показать, что многочлены с различными старшими мономами линейно независимы.

8.4. УПРАЖНЕНИЕ. Показать, что свойство системы \Sigma порождать или не порождать векторное пространство I не зависит от выбора представителей в прообразах элементов из T.

8.5. УПРАЖНЕНИЕ. Показать, что система \Sigma порождает векторное пространство I тогда и только тогда, когда полугруппа, порожденная в T старшими мономами элементов множества F, совпадает с полугруппой старших мономов элементов идеала I.

8.6. УПРАЖНЕНИЕ. Показать, что система \Sigma порождает векторное пространство I тогда и только тогда, когда идеал, порожденный старшими мономами элементов множества F, совпадает с ассоциированным градуированным идеалом идеала I (относительно фильтрации с одномерными факторами, определяемой введенным отношением порядка).

Рассматриваемая ситуация укладывается в следующую более общую схему: имеется градуированное некоторым вполне упорядоченным множеством векторное пространство \gr M с одномерными однородными компонентами. Фиксирован базис \Gamma этих компонентов. На пространстве M рассматривается фильтрация, совместная с градуировкой. Выбирается множество \Gamma' элементов фильтрованного пространства M, такое, что при переходе к градуированному пространству \gr M различные элементы множества \Gamma' переходят в различные элементы множества \Gamma. Тогда множество \Gamma'\cup(\Gamma \textrm{gr}\Gamma') является базисом пространства M и определяет разложение пространства M в прямую сумму подпространств M' и M'', где M' - пространство с базисом \Gamma', а пространство M'' изоморфно факторпространству M/M' и, следовательно, определяет каноническое представление пространства M/M' в M.

В случае кольца многочленов градуировка осуществляется полугруппой \mathbb N_0^n, где \mathbb N_0 - множество неотрицательных целых чисел. В дальнейшем мы будем рассматривать также градуировку множеством \mathbb N_0^n\times (\mathbb Z/k \mathbb Z), где к свободной коммутативной полугруппе добавляется конечная. Такое множество соответствует, например, свободному конечнопорожденному модулю над кольцом многочленов (не обязательно коммутативных). Конечная компонента соответствует образующим свободного модуля. Примеры упорядочений рассматривались в пункте 3.1.

Вернемся к рассмотрению полиномиальных идеалов. Как уже отмечалось, в качестве базиса \Gamma выбирается множество мономов T. Утверждение о том, что R является градуированным векторным пространством с базисом T, означает, что любой многочлен можно записать в виде f = a_0m_0+\sum\limits_j
a_jm_j, j\ge1, где m_0>
m_j для всех j\ge1. Переход от фильтрации к градуировке означает выделение старшего одночлена: \gr(f) = a_0m_0.

В частности, такое представление имеет место для всех образующих f_i идеала I, причем мы можем выбрать эти образующие так, чтобы старшие коэффициенты у них были равны 1, так как мы предполагаем, что K - поле:

\begin{equation}
  f_i=m_{i0}+\sum_ja_{ij}m_{ij},\qquad i = 1..m.
\end{equation} ( 8.1)

В качестве \Gamma' можно выбрать любое подмножество \Sigma\subset T\times F, где F=\{f_1, \dots,
f_m\} - произвольная система образующих идеала I, руководствуясь двумя требованиями: во-первых, различные элементы множества \Sigma должны иметь разные старшие мономы; во-вторых, система \Sigma должна быть максимальна в том смысле, что для любого элемента \xi\in T\times F существует элемент \sigma\in\Sigma с таким же старшим мономом. Например, можно включить в \Sigma множество T\cdot f_1, далее добавить к нему те элементы множества T\cdot f_2, старшие мономы которых отличаются от старших мономов всех элементов, уже включенных в множество \Sigma и т.д.

8.7. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Систему образующих F идеала I назовем базисом Гребнера этого идеала, если подмножество \Sigma, введенное выше, образует базис векторного пространства I.

Из сформулированных выше упражнений следует корректность определения базиса Гребнера, т.е. независимость его от конкретного выбора множества \Sigma.

8.8. ПРИМЕР. Пусть I - главный идеал, порожденный многочленом f. Тогда f является базисом Гребнера идеала I.

8.9. ПРИМЕР. Многочлены f_1= x^2- 1 и f_2= x^3- 1 не составляют базис Гребнера порождаемого ими идеала в кольце \mathbb Q[x]. Доказать.

В следующих примерах рассматривается кольцо многочленов K[x_1,
\dots,
x_n], которое содержит идеал I, заданный множеством образующих F=\{f_1, \dots,
f_m\}. Предполагается, что одночлены в записи элементов f_i упорядочены в соответствии с одним из введенных выше отношений порядка и нормированы таким образом, что их старшие коэффициенты равны 1.

8.10. ПРИМЕР. Если I = K[x_1, \dots, x_n], то F является базисом Гребнера идеала I тогда и только тогда, когда 1\in F.

8.11. ПРИМЕР. Если поле K алгебраически замкнуто и I - максимальный идеал, то F\subset I является базисом Гребнера идеала I тогда и только тогда, когда для любой переменной x_i найдется элемент f(i)\in F со старшим мономом x_i.

8.12. ПРИМЕР. Если поле K не является алгебраически замкнутым, то утверждение предыдущего примера неверно.

Следует заметить, что введенное выше определение базиса Гребнера не является конструктивным: не указано алгоритма для проверки, что некоторая система многочленов представляет базис Гребнера порождаемого ими идеала, и тем более не дан алгоритм, позволяющий для идеала, заданного некоторой системой образующих, построить его базис Гребнера.

В следующем параграфе определение базиса Гребнера будет дано в более общей ситуации, а также будут приведены алгоритмы проверки, является ли данная система образующих идеала его базисом Гребнера, и, в случае отрицательного ответа, - алгоритм, позволяющий пополнить эту систему до базиса Гребнера.

Владислав Кияновский
Владислав Кияновский
Израиль, Ашдод
Олег Корсак
Олег Корсак
Латвия, Рига