Авторы: Алексей Лобанов, Игорь Петров | Московский физико-технический институт
Форма обучения:
дистанционная
Стоимость самостоятельного обучения:
бесплатно
Стоимость обучения с персональным тьютором:
500 руб. [?]
Доступ:
свободный
Документ об окончании:
 
Уровень:
Специалист
Длительность:
24:00:00
Студентов:
2375
Выпускников:
324
Качество курса:
4.50 | 4.33
В курсе лекций рассматриваются основные понятия и методы вычислительной математики.
Курс содержит как лекции, посвященные классическим численным методам анализа и линейной алгебры, так и решению дифференциальных уравнений.
Специальности: Программист, Математик
ISBN: 978-5-9556-0065-9
 

План занятий

Занятие
Заголовок <<
Дата изучения
Лекция 2
1 час 6 минут
Предмет вычислительной математики. Обусловленность задачи, устойчивость алгоритма, погрешности вычислений. Задача численного дифференцирования
Первая лекция носит вводный характер. На простейших примерах иллюстрируются понятия численного алгоритма, устойчивость и обусловленность задачи. На примере задачи численного дифференцирования вводится метод неопределенных коэффициентов для получения приближенных формул. Рассматривается некорректность задачи численного дифференцирования.
-
Лекция 3
3 часа 5 минут
Численное решение систем линейных алгебраических уравнений
Рассматриваются наиболее употребительные приближенные методы решения систем линейных алгебраических уравнений. Вводятся согласованные нормы векторов и матриц. Вычисляется число обусловленности в различных нормах. Анализируется влияние ошибок округления на погрешность результата. Дается понятие о спектральных задачах. Для самосопряженной матрицы рассматривается метод вращений поиска собственных значений
-
Лекция 4
54 минуты
Численное решение переопределенных СЛАУ. Метод наименьших квадратов
В лекции рассматриваются методы решения переопределенных систем уравнений. Обсуждается вопрос о выборе базиса на погрешность результата. Вкратце описываются итерационные методы решения плохо обусловленных систем линейных уравнений.
-
Лекция 6
1 час 57 минут
Численное решение нелинейных алгебраических уравнений и систем
Рассматриваются численные методы решения нелинейных уравнений и систем. На основе принципа сжимающих отображений рассматриваются условия сходимости итерационных методов. Доказывается квадратичная сходимость метода Ньютона. Рассматривается задача о динамике простейшего нелинейного дискретного отображения - логистического. Дается понятие о бифуркациях дискретного отображения.
-
Лекция 7
2 часа 5 минут
Интерполяция функций
Рассматривается задача алгебраической интерполяции. Обусловленность задачи исследуется на основе рассмотрения константы Лебега. Доказывается теорема об остаточном члене интерполяции. Выводятся формулы алгебраической интерполяции с кратными узлами. Рассматривается задача гладкого восполнения функции (локальными и нелокальными сплайнами, а также естественный базис в пространстве сплайн - функций — B - сплайны.
-
Лекция 8
1 час 7 минут
Численное интегрирование
Исследуются простейшие квадратурные формулы интерполяционного типа — прямоугольников, трапеций, Симпсона. Для оценки реальной погрешности формул используется правило Рунге. Дается понятие о квадратурных формулах Гаусса. Рассматриваются методы вычисления многомерных интегралов.
-
Лекция 9
2 часа 59 минут
Численные методы решения задачи Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений
Подробно рассматриваются методы типа Рунге - Кутты, менее подробно — Адамса. Формулируются и доказываются утверждения об устойчивости методов Рунге - Кутты на устойчивых и нейтральных по устойчивости траекториях.
-
Лекция 11
1 час 44 минуты
Численное решение краевых задач для систем обыкновенных дифференциальных уравнений
Рассматриваются численные методы решения краевых задач. На примере линейных краевых задач иллюстрируется применение различных вариантов метода прогонки — дифференциальной прогонки, разностной трехточечной прогонки, пятиточечной прогонки, матричной прогонки, периодической прогонки. Для нелинейных краевых задач рассмотрены методы стрельбы и квазилинеаризации. Дается представление о методах решения спектральных задач (задач на собственные значения). Обсуждается вопрос о применении метода Фурье при решении краевых задач для разностных уравнений, аппроксимирующих исходную дифференциальную задачу.
-
1 час 40 минут
-