Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова
Опубликован: 09.09.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 4511 / 443 | Оценка: 4.35 / 3.78 | Длительность: 13:51:00
ISBN: 978-5-9556-0038-3
Специальности: Математик
Лекция 6:

Комплексные корни n-й степени из единицы и решение уравнений

< Лекция 5 || Лекция 6: 123 || Лекция 7 >
Аннотация: В данной лекции рассматриваются комплексные корни n-й степени из единицы. Приведены формулы для решения уравнений третьей и четвертой степеней, доказан ряд теорем. Рассмотрен ряд характерных задач, а также приведены задачи для самостоятельного рассмотрения

Комплексные корни n-й степени из единицы

Так как 1=1(\cos 0+i\sin 0), r=1, \varphi=0, то формула для корней n -й степени из 1 принимает вид

w_k=\cos \frac{2\pi k}{n}+i\sin\frac{2\pi k}{n},\quad k=0,1,2,...,n-1.
Точки wk являются вершинами правильного n -угольника, вписанного в окружность единичного радиуса с центром в начале координат, при этом одной из вершин этого многоугольника является 1. Например, при n=8

Теорема 2.9.1. Совокупность T_n=\{w\in C\mid w^n=1\} всех n корней n -й степени из 1 с операцией умножения является коммутативной группой (подгруппой в T=\{z\mid |z|=1\}\subset C^*= C\setminus \{0\} ).

Доказательство.

  1. Если w,z\in T_n, т. е. wn=1, zn=1, то (wz)^n=w^nz^n=1\cdot 1=1, поэтому wz\in T_n. Таким образом, на Tn определена операция умножения (очевидно, коммутативная и ассоциативная).
  2. Ясно, что 1n=1, т. е. 1\in T_n, и 1 - нейтральный элемент в Tn.
  3. Если w\in T_n, то wn=1,
    \left(\frac{1}{w}\right)^n=\frac{1}{w^n}=\frac{1}{1}=1,
    и поэтому w^{-1}\in T_n.

Замечание 2.9.2. Группа Tn является циклической, т. е. все ее элементы являются степенями одного элемента, называемого циклическим образующим (в качестве одного из циклических образующих можно взять w_1=\cos\frac{2\pi}{n}+i\sin\frac{2\pi}{n}, так как wk=(w1)k для 0 \leq k \leq n-1, т. е. все элементы wk группы Tn являются степенями корня w1, такие корни называются первообразными). Покажите, что w_k=\cos\frac{2\pi k}{n}+i\sin\frac{2\pi k}{n} является первообразным корнем тогда и только тогда, когда наибольший общий делитель чисел k и n равен 1.

Упражнение 2.9.3. Доказать, что сумма всех k -х степеней корней уравнения xn=1 равна

n, если k делится на n ;

0, если k не делится на n.

Задача 2.9.4. Если z=\frac{2+i}{2-i}, то |z|=1, но z не является корнем из единицы (т. е. z\in T\setminus T_n для любого n\in N ).

Задача 2.9.5. Доказать, что

а) \sin\left(\frac{\pi}{2n}\right)\sin\left(\frac{2\pi}{2n}\right)... \sin\left(\frac{(n-1)\pi}{2n}\right)=\frac{\sqrt{n}}{2^{n-1}} ;

б) \prod\limits_{k=1}^n \sin\frac{\pi k}{2n+1}=\frac{\sqrt{2n+1}}{2^n}.

Указание. Пусть

x_s=\varepsilon_s=\cos\frac{\pi s}{n}+i\sin\frac{\pi s}{n},\quad s=1,2,...,2n
(все корни степени 2n из 1 ).Тогда
x^{2n}-1=\prod\limits_{s=1}^{2n}(x-x_s)= \prod_{s=1}^{n-1}(x-x_s)\prod_{s=n+1}^{2n-1}(x-x_s)(x^2-1)
(так как xn=-1, x2n=1 ). Но x_{2n-s}=\bar x_s, поэтому
\begin{mult}
x^{2n}-1=(x^2-1)\smash[b]{\prod_{s=1}^{n-1}(x-x_s)(x-\bar x_s)}={}\\
{}=(x^2-1)\prod_{s=1}^{n-1}\left(x^2-2x\cos\frac{\pi s}{n}+1\right).
\end{multl}
Следовательно,
\frac{x^{2n}\!-\!1}{x^2\!-\!1}= x^{2(n-1)}+x^{2(n-2)}+...+x^2+1= \prod_{s=1}^{n-1}\!\left(x^2-2x\cos\frac{\pi s}{n}\!+\!1\right).
Полагая x=1, имеем
\begin{mult}
n=\prod_{s=1}^{n-1}\left(2-2\cos\left(\frac{\pi s}{n}\right)\right)=
\prod_{s=1}^{n-1}4\sin^2\left(\frac{\pi s}{2n}\right)={}\\
{}=2^{2(n-1)}\sin^2\left(\frac{\pi}{2n}\right)
\sin^2\left(\frac{2\pi}{2n}\right)...
\sin^2\left(\frac{\pi(n-1)}{2n}\right).
\end{mult}

Пункт б) доказывается аналогично.

< Лекция 5 || Лекция 6: 123 || Лекция 7 >
Ксения Голубова
Ксения Голубова
Уктамжон Мамадалиев
Уктамжон Мамадалиев

я сдал экзамен, как могу взять сертификат

 

Stefan Berzan
Stefan Berzan
Молдова, Кишинев
Владимир Потехин
Владимир Потехин
Россия