Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова
Опубликован: 09.09.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 5292 / 587 | Оценка: 4.35 / 3.78 | Длительность: 13:51:00
ISBN: 978-5-9556-0038-3
Специальности: Математик
Лекция 6:

Комплексные корни n-й степени из единицы и решение уравнений

< Лекция 5 || Лекция 6: 123 || Лекция 7 >

Решение уравнений третьей и четвертой степени

Любое уравнение

x^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0=0,\quad a_i\in C,
с помощью замены
x=y-\frac{a_{n-1}}{n}
(если a_{n-1}\neq 0 ) сводится к уравнению
y^n+b_{n-2}y^{n-2}+...+b_1y+b_0=0,\quad b_i\in C.

Упражнение 2.10.1 (решение уравнений третьей степени, формула Кардано). Покажите, что для n=3 все решения кубического уравнения x3+px+q=0 ( p,q\in C ) имеют вид u+v, где uv=\smash[b]{-\frac{p}{3}}, u3 и v3 - корни квадратного уравнения z^2+qz-\frac{p^3}{27}=0. Таким образом, для всех трех решений имеем формулу Кардано

x=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}+ \sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}},
где кубические корни u и v связаны соотношением uv=\smash[b]{-\frac{p}{3}}.

Если u1 и v1 - какие-либо значения корней

\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}\quad\text{и}\quad \sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}
соответственно и u_1v_1=-\frac{p}{3}, то корни находятся по правилу
x_1=u_1+v_1,\quad x_2=u_1\omega+v_1\omega^2,\quad x_3=u_1\omega^2+v_1\omega,
где \omega=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i=\sqrt[3]{1}.

Величина D=-27q2-4p3 называется дискриминантом многочлена x3+px+q . Условие D=0 равносильно существованию кратного корня (при D=0 и p\neq 0 имеем x_1=\frac{3q}{p}, x_2=x_3=-\frac{3q}{2p}, при этом если \smash[t]{\frac{3q}{p}=-\frac{3q}{2p}}, то имеется корень кратности 3 ; если D=0 и p=0, то q=0, а уравнение принимает вид x3=0 ).

Если p,q\in R, то: при D>0 имеется три различных действительных корня; при D<0 имеется один действительный и два мнимых сопряженных корня; при D=0 все корни действительные, из них хотя бы два совпадают.

Примеры 2.10.2.

  1. x3+5x2+2x-8=0, x1=1, x2=-2, x3=-4.
  2. x3-6ix+4(1-i)=0, x1=-1-i, x2=-1-i, x3=2+2i.
  3. x3+9x2+18x+28=0, x1=-7, x_2=-1-i\sqrt{3}, x_3=-1+i\sqrt{3}.

Упражнение 2.10.3 (решение уравнений четвертой степени; Феррари, Эйлер). Для решения уравнения

x^4+px^2+qx+r=0\quad (p,q,r\in C)
рассматривается соответствующее кубическое уравнение y3+2py2+(p2-4r)y-q2=0. Если y1, y2, y3 - корни этого уравнения, то все корни исходного уравнения находятся по правилу
x=\frac{1}{2}\left(\sqrt{y_1}+\sqrt{y_2}+\sqrt{y_3}\right),
где выбор квадратных корней подчинен условию
\sqrt{y_1}\sqrt{y_2}\sqrt{y_3}=-q.

Задача 2.10.4. Решить уравнения

x4+2x3+x2-1=0,

Ответ: -\frac{1}{2}(1\pm\sqrt{5}), -\frac{1}{2}(1\pm i\sqrt{3}) ;

x4+2x3+2x2+x-7=0,

Ответ: -\frac{1}{2}\left(1\pm i\sqrt{2\sqrt{29}+1}\right), -\frac{1}{2}\left(1\pm \sqrt{2\sqrt{29}-1}\right).

Замечание 2.10.5. Отметим, что общее уравнение пятой степени неразрешимо в радикалах, при этом существует критерий разрешимости в радикалах уравнения любой степени (Абель, Галуа).

< Лекция 5 || Лекция 6: 123 || Лекция 7 >
Акерке Садыкбекова
Акерке Садыкбекова
Надие Якубова
Надие Якубова