Элементы теории вероятностей и математической статистики

Основные правила для вероятностей:

1. правило сложения вероятностей для несовместимых событий S₁ и S₂:
   
2. правило умножения вероятностей для несовместимых событий S₁ и S₂:
   
3. условная вероятность события S₁ (вероятность появления этого события при условии появления события S₂ для каждого события рассматриваемого множества событий) определяется по формуле (Байеса):
4. общее правило сложения вероятностей:
   
   1. если S₁ и S₂ независимы, то
   2. если S₁ и S₂ образуют полную группу, то .

Пример. Лотерейные билеты, двузначные, от 10 до 99. Имеется 1 билет с выигрышем 100 руб., 10 - с выигрышем 50 руб., 20 - с выигрышем в 30 руб. Вероятность того, что вытащенный наугад билет лотереи имеет номер 50 (как и любой другой двузначный номер), равна 1/90. Вероятность того, что у такого билета цифра десятков равна 5, будет 1/9. Вероятность выиграть 100 руб. равна 1/90, а вероятность выиграть хотя бы 30 руб. равна 31/90.

Под случайным событием в теории вероятностей понимается событие, которое в результате испытания может произойти или может не произойти, то есть происходит с некоторой вероятностью, случайно. Случайные события бывают дискретные (принимающие конечные числа, последовательность пронумерованных значений) и непрерывные (принимающие любые значения из некоторого промежутка значений).

Случайная величина - числовая переменная (числовая функция), определенная на выборочном пространстве (или приписываемая некоторому выборочному пространству) таким образом, что каждой точке выборочного пространства соответствует одно и только одно значение этой переменной.

Если множество всех теоретически возможных значений величины x конечно или счетно, то ее называют дискретной случайной величиной .

Пример. Если n - число, выпавшее на игральной кости при ее бросании номер m, то функция n=n(m) - случайная функция. Эта функция имеет выборочное пространство S={1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Функция f(x), которая для каждого возможного значения x_i, i=1,2,..., n (или i=1,2,..., n,...) дискретной случайной величины x равна вероятности p_i=f(x_i) появления этого значения, задает распределение вероятностей случайной величины. Таким образом, эта функция задает множество значений, которые может принимать случайная величина, вместе с соответствующими им вероятностями.

Величину M(x), определяемую формулой

Величину, определяемую формулой

Математическое ожидание характеризует центр распределения (аналог среднего выборки), а дисперсия - степень рассеяния значений случайной величины вокруг центра (аналог рассеяния в выборке). Эти формулы дают возможность получить оценку математического ожидания и дисперсии на основе опытных данных.

Если случайная величина распределена непрерывно и задана некоторой функцией распределения f(x), то M(x) и D(x) определяются по соответствующим формулам (для ограниченного и бесконечного множества изменения случайной величины):

Приведем наиболее часто встречающиеся распределения.

1. Распределение Бернулли. Это простейшая форма распределения: случайная величина определена на выборочном пространстве, состоящем из двух только исходов с вероятностями p и q=1-p. Для такой дискретной функции распределения M(x)=p, D(x)=pq=p(1-p).
2. Биноминальное распределение. Пусть случайная величина может принимать целые значения m=0, 1, 2, ..., n. Будем говорить, что эта величина распределена по биноминальному закону, если функция, задающая ее распределение, имеет вид: ( 0<p<1, q=1-p ). Для этого распределения M(x)=np, D(x)=npq.
3. Распределение Пуассона. Пусть случайная величина x может принимать любое целое неотрицательное значение m=0, 1, 2, .... Будем говорить, что эта величина распределена по закону Пуассона, если функция, задающая ее распределение, имеет вид: f(m)=a^m e^-a/m!. Здесь a - некоторое положительное число, называемое параметром закона Пуассона. Для этого распределения: M(x)=a, D(x)=a.
4. Нормальное распределение ( распределение Гаусса ). Это наиболее часто встречающееся непрерывное распределение (точнее было бы сказать, что это распределение, к которому "подгоняется" большинство изучаемых). Такому закону или его различным модификациям подчиняются многие наборы случайных величин. Общий вид нормального распределения задается функцией