Опубликован: 07.11.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 1284 / 77 | Оценка: 4.29 / 4.14 | Длительность: 25:09:00
Специальности: Программист
Лекция 6:

Трансформации

< Лекция 5 || Лекция 6: 12345 || Лекция 7 >

Matrix

Трансформация matrix представляет собой способ компактной записи серии преобразований. Графически эта команда не содержит собственных изменений объекта. Она лишь выражает применение одной или нескольких команд типа translation, rotate, scale, skewX и skewY. Математически1Если вы видите слово "матрица" в первый раз (одноименный фильм не в счет) – не нужно пугаться. Для начала, что можно сделать – это прочитать лекцию здесь: http://www.intuit.ru/department/mathematics/intmath/11/intmath_11.html Если вы не до конца поняли этот материал, то ладно, для SVG – графики вы можете просто пользоваться готовыми формулами. Но для понимания почему все же преобразование может быть представлено в виде матрицы, советую обратиться к любому учебнику по линейной алгебре или аналитической геометрии. Превосходное, краткое и ясное изложение я нашел даже в учебнике "Дифференциальное и интегральное исчисления для ВТУЗов" Н. С. Пискунов, М., "Наука" 1970, Т2, глава XXI "Матрицы. Матричная запись систем и решений систем линейных дифференциальных уравнений"., все преобразования могут быть выражены в виде матрицы третьего порядка следующим образом:

\left |
\begin{array}{ccc}
a & c & e \\
b & d & f \\
0 & 0 & 1
\end{array}
\right |

Команда будет выглядеть так:

matrix(a, b, c, d, e, f)

Каждое из преобразований представляется своей матрицей и соответствующей командой matrix.

Команда translation:

\left |
\begin{array}{ccc}
1 & 0 & x \\
0 & 1 & y \\
0 & 0 & 1
\end{array}
\right | \\
matrix (1, 0, 0, 1, x, y)

Команда rotate:

\left |
\begin{array}{ccc}
cos(a) & -sin(a) & 0\\
sin(a) & cos(a) & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{array}
\right | \\
matrix (cos(a), sin(a), –sin(a), cos(a), 0, 0)

Команда scale:

\left |
\begin{array}{ccc}
x & 0 & 0\\
0 & y & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{array}
\right | \\
matrix (sx, 0, 0, sy, 0, 0)

Команда skewX:

\left |
\begin{array}{ccc}
1 & tg(a) & 0\\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{array}
\right | \\
matrix (1, 0, tg(a), 1, 0, 0)

Команда skewY:

\left |
\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0\\
tg(a) & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{array}
\right | \\
matrix (1, tg(a), 0, 1, 0, 0)

Практически, для перехода к новой форме записи нужно просто взять исходные параметры команды и аккуратно их подставить в нужные позиции. Для команд rotate, skewX и skewY дополнительно следует вычислить тригонометрические функции углов. В табл. 6.6 приводятся примеры использования этой записи.

Таблица 6.6. Команда matrix.
Код Вид в браузере
6.6.1
<?xml version="1.0" encoding="UTF-8" standalone="no"?>
<!DOCTYPE svg PUBLIC "-//W3C//DTD SVG 1.1//EN"
 "http://www.w3.org/Graphics/SVG/1.1/DTD/svg11.dtd">
<svg width="200" height="150"  
     xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" version="1.1">
     <title> Лекция 6. Трансформации </title>
     <desc>
          Пример matrix1.svg ( translate1.svg)
     </desc>
     <rect x="25" y="25" width="50" height="25"  
           fill="skyblue" stroke="red" stroke-width="2"/>
     <rect x="25" y="25" width="50" height="25"  
           fill="palegreen" stroke="red" stroke-width="2" 
           transform="matrix(1, 0, 0, 1, 100,75)"/>
     <!-- transform="translate(100,75)-->
</svg>
Листинг 6.6.1. Пример matrix1.svg ( translate1.svg)
Описание
Запись команды translate в форме matrix.
Код Вид в браузере
6.6.2
<?xml version="1.0" encoding="UTF-8" standalone="no"?>
<!DOCTYPE svg PUBLIC "-//W3C//DTD SVG 1.1//EN"
 "http://www.w3.org/Graphics/SVG/1.1/DTD/svg11.dtd">
<svg width="200" height="100"  
     xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" version="1.1">
     <title> Лекция 6. Трансформации </title>
     <desc>
          Пример matrix2.svg (scale2.svg)
     </desc>
     <rect x="25" y="25" width="50" height="25"  
           fill="skyblue" stroke="red" stroke-width="2"/>

     <rect x="25" y="50" width="50" height="25"  
           fill="palegreen" stroke="red" stroke-width="2" 
           transform="matrix(2, 0, 0, 1, 0, 0)"/>
     <!-- transform="scale(2,1)"-->
</svg>
Листинг 6.6.2. Пример matrix2.svg (scale2.svg)
Описание
Запись команды scale в форме matrix.
Код Вид в браузере
6.6.3
<?xml version="1.0" encoding="UTF-8" standalone="no"?>
<!DOCTYPE svg PUBLIC "-//W3C//DTD SVG 1.1//EN"
 "http://www.w3.org/Graphics/SVG/1.1/DTD/svg11.dtd">
<svg width="210" height="210" 
     xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" version="1.1">
     <title> Лекция 6. Трансформации </title>
     <desc>
          Пример matrix3.svg (rotate1.svg)
     </desc>

     <!--Исходная фигура-->
     <g>
          <rect x="105" y="4" width="100" height="50"  
                fill="yellow" stroke="red" stroke-width="4"/>
          <rect x="105" y="4" width="50" height="25"  
                fill="green" stroke="red" stroke-width="4"/>
     </g>
     <!--Повернутая фигура-->
     <g transform="matrix(0.7071, 0.7071, -0.7071, 0.7071, 0, 0)" >
          <rect x="105" y="4" width="100" height="50"
                fill="yellow" stroke="red" stroke-width="4"/>
          <rect x="105" y="4" width="50" height="25"
                fill="green" stroke="red" stroke-width="4"/>
          <!-- transform="rotate(45)"-->
     </g>
</svg>
Листинг 6.6.3. Пример matrix3.svg (rotate1.svg)
Описание
Запись команды rotate в форме matrix.
Код Вид в браузере
6.6.4
<?xml version="1.0" encoding="UTF-8" standalone="no"?>
<!DOCTYPE svg PUBLIC "-//W3C//DTD SVG 1.1//EN"
 "http://www.w3.org/Graphics/SVG/1.1/DTD/svg11.dtd">
<svg width="200" height="200"
     xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" version="1.1">
     <title> Лекция 6. Трансформации </title>
     <desc>
          Пример matrix4.svg (skew1.svg)
     </desc>

     <!--Исходная фигура-->
     <g>
          <rect x="10" y="10" width="100" height="50"
                fill="yellow" stroke="red" stroke-width="4"/>
          <rect x="10" y="10" width="50" height="25"
                fill="green" stroke="red" stroke-width="4"/>
     </g>
     <!--Трансформированная фигура -->
          <g transform="matrix(1, 0, 1, 1, 0, 0)" >
          <rect x="10" y="10" width="100" height="50"
                fill="yellow" stroke="red" stroke-width="4"/>
          <rect x="10" y="10" width="50" height="25"
                fill="green" stroke="red" stroke-width="4"/>
          <!-- transform="skewX(45)"-->
     </g>
</svg>
Листинг 6.6.4. Пример matrix4.svg (skew1.svg)
Описание
Запись команды skewX в форме matrix. tg(45)=1
Код Вид в браузере
6.6.5
<?xml version="1.0" encoding="UTF-8" standalone="no"?>
<!DOCTYPE svg PUBLIC "-//W3C//DTD SVG 1.1//EN"
 "http://www.w3.org/Graphics/SVG/1.1/DTD/svg11.dtd">
<svg width="200" height="200"
     xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" version="1.1">
     <title> Лекция 6. Трансформации </title>
     <desc>
          Пример matrix5.svg (skew5.svg)
     </desc>

     <!--Исходная фигура-->
     <g>
          <rect x="10" y="10" width="100" height="50"
                fill="yellow" stroke="red" stroke-width="4"/>
          <rect x="10" y="10" width="50" height="25"
                fill="green" stroke="red" stroke-width="4"/>
     </g>
     <!--Трансформированная фигура -->
          <g transform="matrix(1, 1, 0, 1, 0, 0)" >
          <rect x="10" y="10" width="100" height="50"
                fill="yellow" stroke="red" stroke-width="4"/>
          <rect x="10" y="10" width="50" height="25"
                fill="green" stroke="red" stroke-width="4"/>
     <!-- transform="skewY(45)"-->
     </g>
</svg>
Листинг 6.6.5. Пример matrix5.svg (skew5.svg)
Описание
Запись команды skewY в форме matrix. tg(45)=1

Мы разобрали запись в виде матрицы отдельных команд. Немного более сложно обстоят дела с записью нескольких команд, например, translate и skew в виде одной матрицы. Результирующая матрица представляет собой произведение отдельных матриц. Рассмотрим для начала произведение матриц, содержащих по две строки и два столбца:

\left |
\begin{array}{cc}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}
\end{array}
\right |  \bullet
\left |
\begin{array}{cc}
b_{11} & b_{12} \\
b_{21} & b_{22}
\end{array}
\right |
=
\left |
\begin{array}{cc}
a_{11}\cdot b_{11} + a_{12}\cdot b_{21} & a_{11}\cdot b_{12} + a_{12}\cdot b_{22} \\
a_{21}\cdot b_{11} + a_{22}\cdot b_{21} & a_{21}\cdot b_{12} + a_{22}\cdot b_{22}
\end{array}
\right |

Обратите внимание на индексы – индекс 12, к примеру, означает, что элемент b12 находится в первой строке и втором столбце. Результирующая матрица получается сложением и умножением отдельных элементов по следующей схеме (рис. 6.8):

Умножение матриц второго порядка

Рис. 6.8. Умножение матриц второго порядка

Аналогичным образом осуществляется умножение матриц третьего порядка:

\left |
\begin{array}{ccc}
a_{11} & a_{12} & a_{13}\\
a_{21} & a_{22} & a_{23}\\
a_{31}& a_{32} & a_{33}
\end{array}
\right |  \bullet
\left |
\begin{array}{ccc}
b_{11} & b_{12} & b_{13}\\
b_{21} & b_{22} & b_{23}\\
b_{31}& b_{32} & b_{33}
\end{array}
\right |
= \\
\left |
\begin{array}{ccc}
a_{11}\cdot b_{11} + a_{12}\cdot b_{21}+ a_{13}\cdot b_{31} & a_{11}\cdot b_{12} + a_{12}\cdot b_{22}+ a_{13}\cdot b_{32} &  a_{11}\cdot b_{13} + a_{12}\cdot b_{23}+ a_{13}\cdot b_{33}\\
a_{21}\cdot b_{11} + a_{22}\cdot b_{21}+ a_{23}\cdot b_{31} & a_{21}\cdot b_{12} + a_{22}\cdot b_{22} + a_{23}\cdot b_{32} &  a_{21}\cdot b_{13} + a_{22}\cdot b_{23}+ a_{23}\cdot b_{33} \\
a_{31}\cdot b_{11} + a_{32}\cdot b_{21}+ a_{33}\cdot b_{31} & a_{31}\cdot b_{12} + a_{32}\cdot b_{22} + a_{33}\cdot b_{32} &  a_{31}\cdot b_{13} + a_{32}\cdot b_{23}+ a_{33}\cdot b_{33}
\end{array}
\right |

Для отдельного элемента результирующей матрицы, находящегося во второй строке первого столбца можно выделить схему (рис. 6.9):

Умножение матриц третьего  порядка

Рис. 6.9. Умножение матриц третьего порядка

Итак, для получения результирующей матрицы нескольких команд нужно записать отдельные матрицы, а затем их перемножить. В табл. 6.7 приведены примеры подобных матриц.

Таблица 6.7. Команда matrix для нескольких преобразований.
Код Вид в браузере
6.7.1
<?xml version="1.0" encoding="UTF-8" standalone="no"?>
<!DOCTYPE svg PUBLIC "-//W3C//DTD SVG 1.1//EN"
 "http://www.w3.org/Graphics/SVG/1.1/DTD/svg11.dtd">
<svg width="200" height="200"
     xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" version="1.1">
     <title> Лекция 6. Трансформации </title>
     <desc>
          Пример matrixGroup1.svg (skew2.svg)
     </desc>

     <!--Исходная фигура-->
     <g>
          <rect x="10" y="10" width="100" height="50"
                fill="yellow" stroke="red" stroke-width="4"/>
          <rect x="10" y="10" width="50" height="25"
                fill="green" stroke="red" stroke-width="4"/>
     </g>
     <!--Трансформированная фигура -->
     <g transform="matrix(1, 0, 1, 1, -6, 0)" >
          <rect x="10" y="10" width="100" height="50"
                fill="yellow" stroke="red" stroke-width="4"/>
          <rect x="10" y="10" width="50" height="25"
                fill="green" stroke="red" stroke-width="4"/>
     </g>
     <!-- transform="translate(-6,0) skewX(45)"-->

</svg>
Листинг 6.7.1. Пример matrixGroup1.svg (skew2.svg)
Описание
Преобразование состоит из двух команд. Запишем их отдельные матрицы:
  • translate(-6,0):
    \left | \begin{array}{ccc}
1 & 0 & -6\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1
\end{array}
\right |
  • skewX(45):
    \left | \begin{array}{ccc}
1 & 1 & 0\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1
\end{array}
\right |
Вычисляем произведение матриц:
\left | \begin{array}{ccc}
1 & 0 & -6\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1
\end{array}
\right | \bullet
\left |
\begin{array}{ccc}
1 & 1 & 0\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1
\end{array}
\right |
=\\ =
\left |
\begin{array}{ccc}
1\cdot 1+ 0 \cdot  1 + (-6) \cdot 0& 1\cdot 1+ 0 \cdot  1 + (-6) \cdot 0 & 1\cdot 0+ 0 \cdot  0 + (-6) \cdot 1\\
0\cdot 1+ 1 \cdot  1 + 0 \cdot 0 & 0\cdot 1+ 1 \cdot  1 + 0 \cdot 0 & 0\cdot 0+ 1 \cdot  0 + 0 \cdot 1\\
0\cdot 1+ 0 \cdot  0 + 1 \cdot 0 & 0\cdot 1+ 0 \cdot  1 + 1 \cdot 0 & 0\cdot 0+ 0 \cdot  0 + 1 \cdot 1
\end{array}
\right |
= \\ =
\left |
\begin{array}{ccc}
1 & 1 & -6\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1
\end{array}
\right |
tg(45)=1 Результирующая команда: matrix(1,0,1,1,-6,0)
Код Вид в браузере
6.7.2
<?xml version="1.0" encoding="UTF-8" standalone="no"?>
<!DOCTYPE svg PUBLIC "-//W3C//DTD SVG 1.1//EN"
 "http://www.w3.org/Graphics/SVG/1.1/DTD/svg11.dtd">
<svg width="200" height="100"
     xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" version="1.1" 
     viewBox="0 0 1000 950">
     <title> Лекция 6. Трансформации </title>
     <desc>
          Пример matrixGroup2.svg (skew7.svg)
     </desc>

     <circle cx="500" cy="400"  r="300"
             fill="lightskyblue"
             stroke="blue" stroke-width="30"/>
     <ellipse cx="500" cy="500"  rx="150" ry="100"
              fill="none"
              stroke="blue" stroke-width="30"/>
     <rect x="300" y="370" width="400" height="130"
           fill="lightskyblue"/>
     <ellipse cx="350" cy="300"  rx="100" ry="50"
              fill="white" stroke="blue" stroke-width="30"/>
     <ellipse cx="650" cy="300"  rx="100" ry="50"
              fill="white" stroke="blue" stroke-width="30"/>
     <circle cx="350" cy="300" r="25"
             fill="black"/>
     <circle cx="650" cy="300" r="25"
             fill="black"/>

     <g transform="matrix(1.3640, 1, 0.3640, 1, -645.6, -400)">
     <!-- transform="translate(-500,0) skewX(20) 
          translate(0, -400) skewY(45)"-->

     <circle cx="500" cy="400"  r="300"
             fill="lightskyblue"  stroke="blue" stroke-width="30"/>
     <ellipse cx="500" cy="500"  rx="150" ry="100"
              fill="none" stroke="blue" stroke-width="30"/>
     <rect x="300" y="370" width="400" height="130"
           fill="lightskyblue"/>
     <ellipse cx="350" cy="300"  rx="100" ry="50"
              fill="white" stroke="blue" stroke-width="30"/>
     <ellipse cx="650" cy="300"  rx="100" ry="50"
              fill="white" stroke="blue" stroke-width="30"/>
     <circle cx="350" cy="300"  r="25"
             fill="black"/>
     <circle cx="650" cy="300"  r="25"
             fill="black"/>

     </g>

     </svg>
Листинг 6.7.2. Пример matrixGroup2.svg (skew7.svg)
Описание
Преобразование состоит из четырех команд. Запишем их отдельные матрицы:
  • translate(-500, 0):
    \left | \begin{array}{ccc}
1 & 0 & -500\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1
\end{array}
\right |
  • skewX(20):
    \left | \begin{array}{ccc}
1 & 0.3640 & 0\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1
\end{array}
\right |
  • translate(0, -400):
    \left | \begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0\\
0 & 1 & -400\\
0 & 0 & 1
\end{array}
\right |
  • skewY(45):
    \left | \begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0\\
1 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1
\end{array}
\right |
Результирующая матрица будет представлять собой произведение четырех матриц:
\left | \begin{array}{ccc}
1 & 0 & -500\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1
\end{array}
\right | \bullet
\left | \begin{array}{ccc}
1 & 0.3640 & 0\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1
\end{array}
\right | \bullet \left | \begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0\\
0 & 1 & -400\\
0 & 0 & 1
\end{array}
\right | \bullet
\left | \begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0\\
1 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1
\end{array}
\right |
Вычисляем произведение первых двух матриц:
\left | \begin{array}{ccc}
1 & 0 & -500\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1
\end{array}
\right | \bullet
\left | \begin{array}{ccc}
1 & 0.3640 & 0\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1
\end{array}
\right | = \\ =
\left | \begin{array}{ccc}
1\cdot 1 + 0 \cdot 0 + (-500) \cdot 0  & 1\cdot 0.3640 + 0 \cdot 1 + (-500) \cdot 0  & 1\cdot 0 + 0 \cdot 0 + (-500) \cdot 1 \\
0\cdot 1 + 1 \cdot 0 + 0 \cdot 0  & 0\cdot 0.3640 + 1 \cdot 1 + 0 \cdot 0  & 0\cdot 0 + 1 \cdot 0 + 0 \cdot 1\\
0\cdot 1 + 0 \cdot 0 +  1\cdot 0  & 0\cdot 0.3640 + 0 \cdot 1 + 1 \cdot 0  & 0\cdot 0 + 0 \cdot 0 + 1 \cdot 1
\end{array}
\right |  = \\ =
\left | \begin{array}{ccc}
1 & 0.3640 & -500\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1
\end{array}
\right |
Умножаем результат на третью матрицу:
\left | \begin{array}{ccc}
1 & 0.3640 & -500\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1
\end{array}
\right | \bullet
\left | \begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1
\end{array}
\right |
 = \\ =
\left | \begin{array}{ccc}
1\cdot 1 + 0.3640 \cdot 0 + (-500) \cdot 0  & 1\cdot 0 + 0.3640 \cdot 1 + (-500) \cdot 0  & 1\cdot 0 + 0.3640 \cdot (-400) + (-500) \cdot 1 \\
0\cdot 1 + 1 \cdot 0 + 0 \cdot 0  & 0\cdot 0 + 1 \cdot 1 + 0 \cdot 0  & 0\cdot 0 + 1 \cdot(-400) + 0 \cdot 1\\
0\cdot 1 + 0 \cdot 0 +  1\cdot 0  & 0\cdot 0 + 0 \cdot 1 + 1 \cdot 0  & 0\cdot 0 + 0 \cdot (-400) + 1 \cdot 1
\end{array}
\right | = \\ =
\left | \begin{array}{ccc}
1 & 0.3640 & -645.6\\
0 & 1 & -400\\
0 & 0 & 1
\end{array}
\right |
Наконец, результат умножаем на четвертую матрицу:
\left | \begin{array}{ccc}
1 & 0.3640 & -645.6\\
0 & 1 & -400\\
0 & 0 & 1
\end{array}
\right |
\bullet
\left | \begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0\\
1 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1
\end{array}
\right | = \\ =
\left | \begin{array}{ccc}
1\cdot 1 + 0.3640 \cdot 1 + (-645.6) \cdot 0  & 1\cdot 0 + 0.3640 \cdot 1 + (-645.6) \cdot 0  & 1\cdot 0 + 0.3640 \cdot 0 + (-645.6) \cdot 1 \\
0\cdot 1 + 1 \cdot 1 + (-400) \cdot 0  & 0\cdot 0 + 1 \cdot 1 + (-400) \cdot 0  & 0\cdot 0 + 1 \cdot 0 + (-400) \cdot 1\\
0\cdot 1 + 0 \cdot 1 +  1\cdot 0  & 0\cdot 0 + 0 \cdot 1 + 1 \cdot 0  & 0\cdot 0 + 0 \cdot 0 + 1 \cdot 1
\end{array}
\right | = \\ =
\left | \begin{array}{ccc}
1.3640 & 0.3640 & -645.6\\
1 & 1 & -400\\
0 & 0 & 1
\end{array}
\right |
tg(45)=1, tg(20) = 0.3640 Результирующая команда: matrix(1.3640,1,0.3640,1,-645.6,-400)

Запись серии команд в виде матрицы позволяет сократить запись и, следовательно, уменьшить размер SVG – документа.

Вычисление матриц в программе Mathcad

Основная сложность применения команды matrix – это вычисление произведения матриц, представляющее собой довольно трудоемкую и кропотливую задачу. Пакет Mathcad (http://www.ptc.com/go/mathsoft) – мощное средство для решения широкого класса вычислительных задач, содержит удобные инструменты для работы с матрицами. После установки и запуска программы можно сразу приступать к вычислениям. В главном меню выбираем "InsertMatrix" ( или нажимаем Ctrl+M) (рис. 6.10):

Вставка матрицы

Рис. 6.10. Вставка матрицы

В появившемся диалоговом окне выбираем матрицы размером 3х3 (рис. 6.11):

Определение размера матрицы

Рис. 6.11. Определение размера матрицы

В документе появляется шаблон, в который можно вводить числа (рис. 6.12):

Шаблон матрицы

Рис. 6.12. Шаблон матрицы

После завершения ввода вводим знак равенства "=" и программа автоматически отображает результирующую матрицу (рис. 6.13):

Готовые матрицы

Рис. 6.13. Готовые матрицы

Программа поддерживает также вычисление тригонометрических функций, которые можно задавать непосредственно в текстовом виде.

< Лекция 5 || Лекция 6: 12345 || Лекция 7 >
Светлана Ведяева
Светлана Ведяева
Россия, Саратов
Николай Будько
Николай Будько
Молдова, Кишинев