Опубликован: 24.11.2009 | Уровень: для всех | Доступ: платный
Дискретная математика - одна из важнейших составляющих современной математики. С одной стороны, она включает фундаментальные основы математики - теорию множеств, математическую логику, теорию алгоритмов; с другой стороны, является основным математическим аппаратом информатики и вычислительной техники и потому служит базой для многочисленных приложений в экономике, технике, социальной сфере.
В отличие от традиционной математики (математического анализа, линейной алгебры и др.), методы и конструкции которой имеют в основном числовую интерпретацию, дискретная математика имеет дело с объектами нечисловой природы: множествами, логическими высказываниями, алгоритмами, графами. Благодаря этому обстоятельству дискретная математика впервые позволила распространить математические методы на сферы и задачи, которые ранее были далеки от математики. Примером могут служить методы моделирования различных социальных и экономических процессов. Знание теории множеств, алгебры, математической логики и теории графов совершенно необходимо для четкой формулировки понятий и постановок различных прикладных задач, их формализации и компьютеризации, а также для усвоения и разработки современных информационных технологий. Понятия и методы теории алгоритмов и алгебры логики лежат в основе современной теории и практики программирования. Курс предусматривает изучение: языка дискретной математики, таких ее основных понятий, как множества, функции, отношения; основ комбинаторики, элементов общей алгебры; введения в математическую логику; теории графов.
Цель: Дать представление о теоретических основах современных информационных технологий; научить пользоваться методами дискретной математики (в частности, методами комбинаторики, теории отношений, теории графов, математической логики) для формализации и решения прикладных задач.
Необходимые знания: Изучение курса не требует предварительных знаний, выходящих за пределы программ общеобразовательной средней школы.

План занятий

ЗанятиеЗаголовок <<Дата изучения
-
Лекция 1
1 час 16 минут
Множества. Операции над множествами
Понятие множества. Примеры множеств. Элемент множества. Подмножество. Мощность конечного множества. Пустое множество. Равенство множеств. Универсальное множество. Операции над множествами: объединение, пересечение, разность, дополнение. Способы задания множеств: с помощью списка, с помощью характеристического свойства, с помощью порождающей процедуры. Система подмножеств множества. Алгебра (под)множеств и ее законы. Изменение мощности множеств при операциях над множествами. Векторы (кортежи), прямое произведение, проекция.
Оглавление
-
Лекция 2
1 час 17 минут
Множества. Соответствие. Мощность. Примеры. Понятие функции
Понятие множества. Примеры множеств. Понятие соответствия. Образ и прообраз. Область определения и область значения соответствия. Всюду определенное соответствие. Сюръективное соответствие. Однозначное (функциональное) соответствие. Обратное соответствие. Обратимое соответствие. Взаимно однозначное соответствие (1-1-соответствие, биекция). Мощность бесконечного множества. Равномощность бесконечного множества своему подмножеству. Счетные множества. Несчетные множества (континуум). Понятие функции. Область определения и область значения функции. Обратная функция. Функции многих аргументов.
Оглавление
-
Лекция 3
1 час 28 минут
Функции. Способы задания. Отношения
Тип функции. Суперпозиция функций. Способы задания функции: с помощью формулы, свойством значений, с помощью порождающей процедуры, с помощью таблицы, с помощью программы (конструктивные и неконструктивные функции). Понятие отношения. Бинарные отношения. Свойства отношений: рефлексивность, антирефлексивность, симметричность, антисимметричность, транзитивность. Транзитивное замыкание отношения. Обратное отношение. Отношение эквивалентности. Класс эквивалентности. Отношение строгого и нестрогого порядка. Отношение линейного и частичного порядка. Лексикографический порядок векторов.
Оглавление
-
Тест 1
36 минут
-
Лекция 4
1 час 25 минут
Комбинаторика. Комбинаторные задачи
Основные объекты комбинаторики. Типы комбинаторных задач. Правило суммы и правило произведения. Формула включения и исключения. Размещения с повторениями. Размещения без повторений. Перестановки. Сочетания без повторений. Бином Ньютона, свойства биномиальных коэффициентов, треугольник Паскаля.
-
Лекция 5
1 час 11 минут
Комбинаторика. Сочетания с повторениями. Задача перечисления. Двумерные выборки
Сочетания с повторениями. Задача перечисления выборок, лексикографический порядок. Двумерные выборки. Таблицы функций. Понятие алгебры. Замкнутые операции. N-арные операции, бинарные операции, арность операции. Тип алгебры, сигнатура. Свойства бинарных операций: ассоциативность, коммутативность, дистрибутивность слева, дистрибутивность справа. Два вида процедур в алгебре: вычисление формул и преобразование формул.
Оглавление
-
Тест 2
36 минут
-
Лекция 6
1 час 19 минут
Изоморфизм, гомоморфизм. Алгебры
Изоморфизм алгебр. Гомоморфизм алгебр. Полугруппа. Единица полугруппы. Моноид. Группа. Обратный элемент. Способ задания (полу)групп: с помощью бинарной таблицы и с помощью образующих. Решетка. Наименьшая верхняя грань, наибольшая нижняя грань. Единственность максимального и единственность минимального элемента. Единица решетки и нуль решетки. Решетка подмножеств любого множества.
-
Лекция 7
1 час 25 минут
Математическая логика. Логические функции
Высказывание. Логические связки: конъюнкция, дизъюнкция, отрицание, импликация, разделительное "или", эквивалентность. Таблицы истинности для логических функций. Логические функции от нуля переменных (константы), от одной переменной, от двух переменных. Применение к переключательным схемам. Алгебра логических функций. Вычисление логических функций.
Оглавление
-
Тест 3
36 минут
-
Лекция 8
1 час 25 минут
Математическая логика. Булева алгебра. Алгебра Жегалкина
Проблема полноты. Функционально полная система функций (в сильном смысле и в слабом смысле). Эквивалентности формул. Алгоритм перехода от таблицы функции к формуле (построение СДНФ). Булева алгебра и ее законы. Изоморфизм булевых алгебр (алгебры множеств и алгебры логических функций). Функциональная полнота некоторых систем функций. Алгебра Жегалкина. Функциональная полнота алгебры Жегалкина. Ортогональные функции. Монотонные функции.
Оглавление
-
Лекция 9
1 час 22 минуты
-
Лекция 10
1 час 25 минут
Логика предикатов. Графы, общие определения
Кванторы всеобщности и существования. Связанные переменные. Область действия квантора. Эквивалентные соотношения в логике предикатов. Чистая логика предикатов и прикладные логики предикатов. Понятия графа. Классификация графов: по наличию ориентирования ребер (неориентированный и ориентированный графы), по наличию кратности ребер (простой граф и мультиграф). Отношение смежности между вершинами, матрица смежности. Отношение инцидентности между вершинами и ребрами. Степень вершины. Изолированные вершины, висячие вершины. Пустой граф, полный граф.
Оглавление
-
Тест 4
36 минут
-
Лекция 11
1 час 9 минут
Теория графов. Основные понятия
Матрица смежности, степень вершины. Подграф и часть графа. Звезда вершины графа. Полный граф. Клика. Максимальный и минимальный (относительно некторого свойства) подграф. Изоморфизм графов. Неориентированные графы. Путь, цепь, простая цепь, цикл. Связанные вершины. Связный граф. Компоненты связности. Длина пути. Расстояние между вершинами в связном графе. Аксиомы метрики (расстояния).
Оглавление
-
Лекция 12
1 час 20 минут
Теория графов. Основные понятия (продолжение)
Радиус графа, центры графа. Эйлеров обход. Задача о кенигсбергских мостах. Алгоритм построения эйлерова цикла. Задача о гамильтоновом обходе (задача коммивояжера). Ориентированные графы (орграфы). Ориентированный путь, ориентированный цикл. Достижимость. Виды связности: сильная связность, односторонняя связность, слабая связность. Компонента сильной связности. Конденсация, граф конденсации. Ациклический граф. Источники и стоки. Топологическая сортировка.
Оглавление
-
Лекция 13
1 час 25 минут
Деревья. Оптимизационные задачи на графах. Задача о кратчайшем пути
Неориентированные деревья. Ориентированные деревья. Применение деревьев: классификация, представление формул, бинарное дерево поиска. Оптимизационные задачи на графах. Взвешенные (нагруженные) графы. Задача о кратчайшем пути в неориентированном графе без весов. Ранжирование вершин. Задача о кратчайшем пути в взвешенном графе. Алгоритм Дейкстры.
-
Лекция 14
1 час 33 минуты
Оптимизационные задачи на графах. Сетевое планирование. Потоки в сетях
Сетевой график. Задача поиска максимальных путей в графе. Понятия раннего срока и позднего срока. Критический путь. Виды резерва: полный резерв, свободный резерв, независимый резерв. Потоки в сетях. Понятие потока, величина потока. Закон Кирхгофа. Увеличивающаяся цепь.
-
Лекция 15
49 минут
-
Лекция 16
1 час 22 минуты
Матричные методы анализа графов. Графы и бинарные отношения
Матричные методы анализа графов. Степень матрицы смежности графа. Сумма степеней матрицы смежности, достижимость и связность. Транзитивное замыкание. Графы и бинарные отношения. Отношения эквивалентности и отношения порядка в терминах графов. Матричные методы анализа мультиграфов. Двудольные графы. Задача о раскраске графа.
Оглавление
-
Тест 5
36 минут
-
5 часов
-
Игорь Орещенков
Игорь Орещенков

По-моему, 4-й тест невозможно пройти без знания метода построения полинома Жегалкина по таблице логической функции. К сожалению, в лекциях этот вопрос не освещён. Вот ссылка на статью "Что нам стоит полином Жегалкина построить…", где этот вопрос освещён кратко и наглядно: https://habrahabr.ru/post/275527/

Дмитрий Рязанов
Дмитрий Рязанов

Почему в курсе нет записей с семинаров, ведь практика намного облегчает восприятие дискретки?

Константин Леденев
Константин Леденев
Россия
Олег Равков
Олег Равков
Россия