Собственные числа и собственные векторы матрицы
Пример 9.19.4.
а) K= R : нет действительных корней многочлена , поэтому для матрицы A нет действительных собственных чисел (и собственных векторов).
б) K= C : многочлен имеет корни , (собственные числа матрицы A ).
ненулевые решения: Собственные векторы для ненулевые решенияПример 9.19.5.
Корни многочлена , , (собственные числа). ненулевые решения Собственные векторы для ненулевые решенияЗадача 9.19.6 (уравнение Сильвестера). Пусть , , и матрицы A и B не имеют общих собственных чисел. Тогда матричное уравнение Сильвестера AX-XB=C имеет единственное решение .
Задача 9.19.7. Пусть , AB=BA. Покажите, что для матриц A и B существует общий собственный вектор.
Трудная задача 9.19.8. Пусть и r(AB-BA)=1. Тогда для матриц A и B существует общий собственный вектор.
Теорема 9.19.9. Пусть , , , при , , i=1,...,l. Тогда столбцы линейно независимы, т. е. собственные векторы, отвечающие различным собственным значениям, линейно независимы.
Доказательство. Доказательство проведем индукцией по l. Основание индукции: l=1, , , - линейно независимая система векторов.
Пусть теперь и наше утверждение доказано для всех l', .Допустим, что
( 9.6) |
( 9.7) |
( 9.8) |
Следствие 9.19.10. Если , характеристический многочлен p(t)=|A-tE| имеет n различных корней в поле K, то матрица A подобна диагональной матрице:
Теорема 9.19.11. Матрица нильпотентна (т. е. для некоторого ) тогда и только тогда, когда собственные числа равны нулю.
а) Если , то . По теореме Гамильтона Кэли .
б) Если и , где , , то , следовательно, и .
Замечание 9.19.12. Одним из фундаментальных результатов об алгебре матриц Mn( C) над полем комплексных чисел C (и о строении отдельно взятого линейного оператора конечномерного линейного пространства CV ) является теорема о жордановой нормальной форме:
- для каждой матрицы найдется такая обратимая матрица , что жорданова матрица (т. е. J1,...,Jk - жордановы клетки, см. упражнение 8.6.8);
- нормальная жорданова форма JA матрицы A определена однозначно (с точностью до порядка жордановых клеток).
Эта теорема обычно является одним из центральных результатов курса линейной алгебры. Она также доказывается в более общем виде в разделе о строении конечнопорожденных модулей над кольцами главных идеалов.
Конечно, теорема Гамильтона Кэли над полем C$ является следствием теоремы о жордановой нормальной форме. В то же время имеются элегантные доказательства теоремы о жордановой нормальной форме, использующие теорему Гамильтона Кэли.
Мы оставляем этот сюжет для следующих частей наших "начал алгебры" (или его можно рассматривать как достаточно трудную задачу).