Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова
Опубликован: 10.09.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 3610 / 562 | Оценка: 4.33 / 3.93 | Длительность: 13:22:00
Специальности: Математик
Лекция 10:

Собственные числа и собственные векторы матрицы

< Лекция 9 || Лекция 10: 12
Аннотация: В данной лекции рассматриваются понятия собственных чисел и собственных векторов матрицы. Приведены основные определения, доказаны основные теоремы. Также приведены примеры решения задач и предоставлены задачи для самостоятельного решения

Собственные числа и собственные векторы матрицы

Пусть K - поле, A\in M_{n}(K), 0\neq \hat X\in\hat K^n=\mM_{n,1}(K), \lambda\in K. Если A\cdot \hat X=\lambda\cdot \hat X, то \lambda называется собственным числом матрицы A, а \hat X - собственным вектором матрицы A, отвечающим собственному числу \lambda.

Условие A\cdot\hat X=\lambda\cdot \hat X эквивалентно условию

(A-\lambda E)\hat X =
\begin{pmatrix}
0\\
\vdots\\
0
\end{pmatrix} \in \hat K^n,
где E\in M_{n}(K) - единичная матрица. При фиксированном \lambda это условие превращается в однородную систему линейных уравнений относительно неизвестных x1,...,xn,
\hat X=
\begin{pmatrix}
x_1\\
\vdots\\
x_n
\end{pmatrix}.
Матрица A-\lambda E этой системы - квадратная матрица размера n. Поэтому наличие ненулевого решения этой системы равносильно тому, что |A-\lambda E|=0. Пусть t - переменная,
p(t)=|A-tE|=p_nt^n+p_{n-1}t^{n-1}+...+p_0\in K[t]\text{  -}
многочлен степени n от переменной t (называемый характеристическим многочленом матрицы A ), при этом:
\begin{gathe}
p_n=(-1)^n,\\
p_{n-1}=(-1)^{n-1}\sum_{i=1}^{n}a_{ii}=(-1)^{n-1}\tr A,\quad
p_0=|A|.
\end{gathe}
Мы показали, что собственные числа и только они являются корнями характеристического многочлена из поля K.

Если \lambda\in K и p(\lambda)=0, то все собственные векторы матрицы A относительно собственного числа \lambda - это все ненулевые решения системы

(A-\lambda E)\hat X=(0)\in\hat K^n.
Отметим, что множество всех собственных векторов матрицы A относительно собственного числа \lambda не образует линейного подпространства в \hat K^n, так как все эти векторы ненулевые. Но если к этому множеству добавить нулевой вектор, то получится линейное подпространство всех решений системы
(A-\lambda E)\hat X=(0).
Таким образом, если p(\lambda)=|A-\lambda E|=0, r=r(A-\lambda E), то 0 \leq r < n, то размерность пространства решений этой системы равна s=n-r, поэтому 1 \leq s \leq n. Если {X1,...,Xs} - какая\df либо фундаментальная система решений системы (A-\lambda E)\hat X=(0), то все собственные векторы матрицы A, отвечающие собственному числу \lambda, - это все нетривиальные линейные комбинации элементов \hat X_1,...,\hat X_s с коэффициентами из поля K.

Пример 9.19.1.

\begin{gathe}
A =
\begin{pmatrix}
\phm 10 & 3\\
-5 & 2
\end{pmatrix},\quad K= R,\\
|A-\lambda E| =
\begin{vmatrix}
10-\lambda & 3\\
-5 & 2-\lambda
\end{vmatrix} = \lambda^2-12\lambda+35.
\end{gathe}
Корни: \lambda_1=7, \lambda_2=5, \lambda_1,\lambda_2\in R (собственные числа матрицы A ).

Собственные векторы для \lambda_1=7 :

A-7E =
\begin{pmatrix}
\phm 3 & \phm 3\\
-5 & -5
\end{pmatrix},\quad
\begin{pmatrix}
\phm 3 & \phm 3\\
-5 & -5
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x_1\\
x_2
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
0\\
0
\end{pmatrix},
ненулевые решения:
\left\{\left.\begin{pmatrix}\phm s\\-s\end{pmatrix}\right| s\in R,\ s\neq 0\right\}.
Собственные векторы для \lambda_2=5 :
A-5E =
\begin{pmatrix}
\phm 5 & \phm 3\\
-5 & -3
\end{pmatrix},\quad
\begin{pmatrix}
\phm 5 & \phm 3\\
-5 & -3
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x_1\\
x_2
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
0\\
0
\end{pmatrix},
ненулевые решения:
\left\{\left.\begin{pmatrix}-3t\\\phm 5t\end{pmatrix}\right| t\in R,\ t\neq 0\right\}.

Пример 9.19.2.

\begin{gathe}
K= C,\quad
A=\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 2\\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix},\\
p(\lambda)=|A-\lambda E|=
\begin{vmatrix}
-\lambda & \phm 1 & \phm 0\\
\phm 0 & -\lambda & \phm 2\\
\phm 0 & \phm 0 & -\lambda
\end{vmatrix} = -\lambda^3.
\end{gathe}
Имеется лишь одно собственное число: \lambda=0. Собственные векторы относительно \lambda=0 задаются системой линейных уравнений
\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 2\\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x_1\\
x_2\\
x_3
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
0\\
0\\
0
\end{pmatrix}.
Система уже имеет ступенчатый вид, x2, x3 - главные неизвестные, x1 - свободная переменная, множество собственных векторов относительно \lambda=0 :
\left\{\left.
\begin{pmatrix}
s\\
0\\
0
\end{pmatrix}\right|
s\in C,\ s\neq 0\right\}.

Пример 9.19.3. Если

A=
\begin{pmatrix}
\alpha_1 & &
\lefteqn{\raisebox{-5pt}[0pt][0pt]{\text{\hspace*{-10pt}\Large  0 }}}\\ & \ddots\\
\lefteqn{\raisebox{0pt}[0pt][0pt]{\text{\hspace*{0pt}\Large  0  }}}
& & \alpha_n
\end{pmatrix} \text{  -}
диагональная матрица, то \alpha_1,...,\alpha_n - все корни характеристического многочлена матрицы A (и следовательно, собственные числа).

< Лекция 9 || Лекция 10: 12
Матвей Новосёлов
Матвей Новосёлов
Вадим Фонов
Вадим Фонов
Деление определителя матрицы 2х2, в которой элементы диагоналей поменяли местами на определитель исходной дает в результате
Ольга Солодухина
Ольга Солодухина
Россия, Мурманск, Мурманский государственный педагогический университет