Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова
Опубликован: 10.09.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 3611 / 562 | Оценка: 4.33 / 3.93 | Длительность: 13:22:00
Специальности: Математик
Лекция 9:

Проективная размерность подпространств и проективная геометрия. Теорема о ранге матрицы

< Лекция 8 || Лекция 9: 12 || Лекция 10 >
Аннотация: В данной лекции рассматриваются базовые понятия проективной геометрии. Приведено очень важное определение ранга матрицы, определена размерность пространства решений однородной системы линейных уравнений. Приведены также доказательства основных теорем, а также предоставлены задачи для самостоятельного решения

Проективная размерность подпространств и проективная геометрия PG(KV )

Если \dim {}_K V=n, U\in L({}_K V) - линейное подпространство в K V, то определим проективную размерность

\pdim U=\dim {}_K U-1.
Таким образом, нулевое подпространство в K V имеет проективную размерность, равную -1 ; одномерные линейные подпространства имеют нулевую проективную размерность (их называют точками проективной геометрии); двумерные линейные подпространства имеют проективную размерность, равную 1 (их называют прямыми проективной геометрии); и т. д., \pdim V = n-1. Обозначая через G_i совокупность всех (i+1) -мерных линейных подпространств в K V, получаем (n-1) -мерную проективную геометрию PG(K V)={G0,G1,...,Gn-1}, где G0 - множество точек, G1 - множество прямых, G2 - плоскостей, Gi - множество i -мерных плоскостей, с отношением инцидентности U\prec W для U\in G_i, W\in G_j, где 0 \leq i \leq j \leq n-1, означающим, что U\subseteq W.

Теорема о ранге матрицы

Пусть A=(a_{ij})\in M_{m,n}(K) - прямоугольная (m\times n) -матрица с элементами a_{ij} из поля K. Определитель M_{i_1,...,i_k;j_1,...,j_k} квадратной (k\times k) -матрицы, состоящей из элементов на пересечении k строк с номерами i1,...,ik и k столбцов с номерами j1,...,jk, называется минором k -го порядка матрицы A. Наивысший порядок ненулевого минора матрицы A обозначим через r(A).

Теорема 9.16.1 (о ранге матрицы). Следующие четыре числовые характеристики матрицы A=(a_{ij})\in M_{m,n}(K) совпадают:

  1. r(A1,...,Am) (ранг системы строк, в Kn );
  2. r(\hat A_1,...,\hat A_n) (ранг системы столбцов, в \hat K^n );
  3. r(A) (наивысший порядок ненулевого минора);
  4. число ненулевых строк r в ступенчатом виде A матрицы A.

(Это совпадающее число называется рангом матрицы A } и будет обозначаться через r(A) ).

Доказательство разобьем на четыре леммы.

Лемма 9.16.2. Пусть матрица \tilde A получена из матрицы A элементарным преобразованием строк (столбцов) 1-го или 2-го типа, тогда r(A)=r(\tilde A). Если A - ступенчатая форма, к которой приводится матрица A, то r(A)=r(A).

Доказательство проведем для преобразований строк (для столбцов все аналогично).

Случай 1. A'i=Ai+cAj, c\in K, i\neq j. Для k>r(A) рассмотрим минор \tilde M=\tilde M_{i_1,...,i_k;j_1,...,j_k} в \tilde A.

а) Если i\notin \{i_1,...,i_k\}, то \tilde M=M_{i_1,...,i_k;j_1,...,j_k}=0.

б) Если i,j\in \{i_1,...,i_k\}, то \tilde M=M_{i_1,...,i_k;j_1,...,j_k}=0.

в) Если i\in\{i_1,...,i_k\}\not\ni j, то разложим определитель \tilde M по i -й строке A'i=Ai+cAj в сумму двух определителей: \tilde M=M+c\tilde\Delta=0, так как M=M_{i_1,...,i_k;j_1,...,j_k}=0, поскольку k>r(A), определитель \tilde\Delta в качестве i -й строчки имеет часть строки Aj, но j\notin\{i_1,...,i_k\}, и поэтому \tilde\Delta отличается от минора матрицы порядка k перестановкой двух строк, и поэтому \tilde\Delta=0. Итак, r(\tilde A) \leq r(A). Поскольку от A к \tilde A можно вернуться элементарным преобразованием строк, то r(A) \leq r(\tilde A).

Случай 2. A_i\leftrightarrow A_j разбирается аналогично ( i,j\in\{i_1,...,i_k\} ; i,j\notin\{i_1,...,i_k\} ; i\in\{i_1,...,i_k\}\not\ni j ).

Лемма 9.16.3 (о сохранении линейных соотношений между столбцами при элементарных преобразованиях строк). Пусть от матрицы A к матрице A' мы перешли элементарными преобразованиями строк, тогда столбцы матриц A и A' имеют одни и те же линейные соотношения, а именно, k_1\hat A_1+...+k_n\hatA_n=0 тогда и только тогда, когда k_1\hat A'_1+...+k_n\hat A'_n=0.

Доказательство. Ясно, что элементарные преобразования 1-го и 2-го типа для строк сохраняют линейное соотношение для столбцов и эти преобразования обратимы.

Следствие 9.16.4. Система столбцов \hat A_{j_1},...,\hat A_{j_r} матрицы A линейно зависима (соответственно, линейно независима или является максимальной линейно независимой подсистемой в \hat A_1,...,\hat A_n\in \hat K^m ) тогда и только тогда, когда соответствующая система столбцов (с теми же номерами) \hat A'_{j_1},...,\hat A'_{j_r} матрицы A' линейно зависима (соответственно линейно независима или является максимальной линейно независимой подсистемой в \hat A'_1,...,\hat A'_n\in \hat K^m ).

Следствие 9.16.5. r\{\hat A_1,...,\hat A_n\}=r\{\hat A'_1,...,\hat A'_n\}.

Лемма 9.16.6. Если A - ступенчатая матрица, то наивысший порядок ненулевого минора r(A) совпадает с числом r ненулевых строк.

Доказательство.

  1. Минор r -го порядка на пересечении r ненулевых строк и столбцов, проходящих через уголки ступенек, является определителем треугольной матрицы с ненулевыми элементами на главной диагонали, и поэтому отличен от нуля.
  2. Все миноры, порядок которых больше r, нулевые, так как имеют нулевую строку.

Лемма 9.16.7. В ступенчатой матрице A ранг системы столбцов совпадает с числом r ненулевых строк (а именно, столбцы, проходящие через уголки ступенек, образуют максимальную линейно независимую подсистему столбцов).

Доказательство.

  1. Указанные столбцы линейно независимы, так как проходят через (r\times r) -матрицу с ненулевым определителем.
  2. Любой столбец ступенчатой матрицы является линейной комбинацией указанных.

Следствие 9.16.8 (алгоритм нахождения максимальной линейно независимой подсистемы в системе столбцов прямоугольной матрицы). От матрицы A перейдем к ступенчатой матрице A с помощью элементарных преобразований строк 1-го и 2-го типов, запомним номера столбцов j1,...,jr, проходящих через уголки ступенек в A, в матрице A возьмем столбцы с этими номерами \hat A_{j_1},...,\hat A_{j_r}.

Пример 9.16.9. Найти какую-либо максимальную линейно независимую подсистему строк в системе a_1,a_2,a_3,a_4\in R^4,

\begin{gathe}
a_1=(-1,4,-3,-2),\quad a_2=(3,-7,5,3),
\\
a_3=(3,-2,1,0),\quad a_4=(-4,1,0,1),
\end{gathe}
а остальные строки выразить как линейные комбинации строк этой подсистемы.

Решение Записываем строки a1, a2, a3, a4 как столбцы и приводим полученную матрицу к главному ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований строк:

\begin{multline*}
\begin{pmatrix}
-1 & \phm 3 & \phm 3 & -4\\
\phm 4 & -7 & -2 & \phm 1\\
-3 & \phm 5 & \phm 1 & \phm 0\\
-2 & \phm 3 & \phm 0 & \phm 1
\end{pmatrix}\to{}
\begin{pmatrix}
-1 & \phm 3 & \phm 3 & -4\\
\phm 0 & \phm 5 & \phm 10 & -15\\
\phm 0 & -4 & -8 & \phm 12\\
\phm 0 & -3 & -6 & \phm 9
\end{pmatrix}\to{}
\\
{}\to
\left(
\begin{array}{cccc}
\multicolumn{1}{|c}{-1} & 3 & 3 & -4\\
\cline{1-1}
\phm 0 & \multicolumn{1}{|c}{1} & 2 & -3\\
\cline{2-4}
\phm 0 & 0 & 0 & \phm 0\\
\phm 0 & 0 & 0 & \phm 0
\end{array}\right) \to
\left(
\begin{array}{cccc}
\multicolumn{1}{|c}{1} & 0 & 3 & -5\\
\cline{1-1}
0 & \multicolumn{1}{|c}{1} & 2 & -3\\
\cline{2-4}
0 & 0 & 0 & \phm 0\\
0 & 0 & 0 & \phm 0
\end{array}\right).
\end{multline*}

Записываем номера столбцов в ступенчатом виде, проходящие через уголки ступенек: 1, 2. Поэтому {a1,a2} - максимальная линейно независимая подсистема, a3=3a1+2a2, a4=-5a1-3a2 ; ранг системы строк a1, a2, a3, a4 равен 2.

Завершение доказательства теоремы о ранге:

\begin{align*}
& \mr(\hat A_1,\ldots,\hat A_n) \stackrel{\text{лемма~9.16.3}}{=}
\mr(\Hat{\Bar A}_1,\ldots,\Hat{\Bar A}_n)
\text{ (ранг столбцов}\\
& \quad {} \text{ступенчатой матрицы $\bar A$)}
\stackrel{\text{лемма~9.16.7}}{=}
r \stackrel{\text{лемма~9.16.6}}{=}{}
\\
& \quad {}= \mr(\bar A) \stackrel{\text{лемма~9.16.2}}{=}{}
\mr(A) =
\mr(A^*) \stackrel{\text{лемма~9.16.3}}{=}
\mr(A_1,\ldots,A_m).
\end{align*}

Теорема 9.16.10. Пусть A=(a_{ij})\in M_{m,n}(K), B=(b_{ij})\in M_{n,r}(K). Тогда

r(AB) \leq r(A),\quad r(AB) \leq r(B).

Доказательство. Пусть C=(cij)=AB. Тогда

\begin{align*}
c_{ij} &= a_{i1}b_{1j}+...+a_{in}b_{nj},\\
C_i &= a_{i1}B_1+...+a_{in}B_n,\\
\hat C_j &= \hat A_1b_{1j}+...+\hat A_n b_{nj},
\end{align*}
т. е. строки матрицы C линейно выражаются через строки матрицы B, столбцы матрицы C линейно выражаются через столбцы матрицы A. Поэтому r(C) \leq r(B) и r(C) \leq r(A).

Следствие 9.16.11. При умножении на квадратную матрицу A с |A|\neq 0 ранг не меняется.

Доказательство. Так как

|A|\neq 0
, то существует обратная матрица A-1. Поэтому (BA)A-1=B=A-1(AB), и следовательно,
r(B) \leq r(BA),\quad r(B) \leq r(AB).
Ранее мы доказали, что
r(B) \geq r(BA),\quad r(B) \geq r(AB).
Поэтому
r(B)=r(BA),\quad r(B)=r(AB).

Задачи 9.16.12.

  1. В условиях теоремы:
    r(A)+r(B)-n \leq r(AB).
  2. Если A,B,C\in M_{n}(K) и ABC=0, то
    r(A)+r(B)+r(C) \leq 2n.
  3. Пусть A\in M_{m,n}(K), B\in M_{n,m}(K) и m>n. Покажите, что \det (AB)=0.

    Доказательство. Так как AB\in M_{m}(K), то

    r(AB) \pleq r(B) \pleq n<m.

  4. Если A^2=A\in M_{n}(K), то
    r(A)+r(E-A)=n.
  5. Если A,B\in M_{n}(K) и A2=A, AB=0=BA, то
    r(A+B)=r(A)+r(B).
  6. Если A,B\in M_{n}(K), AB=BA, r(A^2)=r(A) и r(B^2)=r(B), то
    r((AB)^2)=r(AB).
  7. Если A_1,...,A_k\in M_{n}(K), k \geq 2, то
    r(A_1... A_k) \geq r(A_1)+...+r(A_k)-n(k-1).

Теорема 9.16.13 (о факториальном ранге). Пусть m,n\in N, A\in M_{m,n}(K). Ранг матрицы r(A) равен наименьшему числу k такому, что

A=B\cdot C,\ \ \text{где}\ \ B\in M_{m,k}(K),\ \ C\in M_{k,n}(K)
(это число k называется факториальным рангом матрицы A ).

Доказательство. Допустим, что A=B\cdot C, где B\in M_{m,n}(K), C\in M_{k,n}(K). Тогда система столбцов матрицы A линейно выражается через систему столбцов матрицы B (их k штук). Поэтому r(A) \leq k.

Пусть k=r(A). Выберем строки A_{i_1},...,A_{i_k}, образующие максимальную линейно независимую подсистему строк A1,...,Am матрицы A,

A_i=\beta_{i1}A_{i_1}+...+\beta_{ik}A_{i_k},\quad \beta_{ij}\in K,\ \ 1 \leq i \leq m.
Рассмотрим матрицы B\in M_{m,k}(K), B=(\beta_{ij}), и C\in M_{k,n}(K), для которой j -я строка C_j=A_{i_j}, j=1,...,k. Тогда A=B\cdot C.

Теорема 9.16.14 (теорема Кронекера—Капелли: критерий совместности и определенности системы линейных уравнений в терминах рангов матриц). Пусть (a_{ij}\mid b_i) - система m линейных уравнений с n неизвестными, A=(a_{ij})\in M_{m,n}(K) - матрица коэффициентов,

A'= \left(
\begin{array}{c|c} & b_1\\
A & \vdots\\ & b_m
\end{array}
\right)\text{  -}
расширенная матрица системы линейных уравнений.

а) Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы коэффициентов A равен рангу расширенной матрицы A'=(A,\hat b), r(A)=r(A').

б) Система линейных уравнений определенная тогда и только тогда, когда r(A)=r(A')=n.

Доказательство.

  1. Используя определение ранга матрицы с помощью столбцов, видим, что всегда r(A) \leq r(A').
  2. Если (k1,...,kn) - решение, то
    k_1\hat
A_1+...+k_n\hat A_n=
\begin{pmatrix}
b_1\\
\vdots\\
b_m
\end{pmatrix},
    т. е. столбцы матрицы A' линейно выражаются через столбцы матрицы A, следовательно, r(A') \leq r(A), и поэтому r(A')=r(A).
  3. Пусть r(A')=r(A)=r. Тогда максимальная линейно независимая система столбцов матрицы A содержит r столбцов, и поэтому она является и максимальной линейно независимой системой столбцов матрицы A'. Таким образом, столбец

    \begin{pmatrix}
b_1\\
\vdots\\
b_m
\end{pmatrix}
    линейно выражается через эту систему столбцов матрицы A, а поэтому и через все столбцы матрицы A,
    k_1\hat A_1+...+k_n\hat A_n=
\begin{pmatrix}
b_1\\
\vdots\\
b_m
\end{pmatrix}.
    Итак, существует решение (k1,...,kn) системы линейных уравнений.

    Второе доказательство. Элементарными преобразованиями приведем систему линейных уравнений к ступенчатому виду (ранги матриц не меняются при этом). Совпадение рангов означает отсутствие "экзотических" уравнений в ступенчатом виде, т. е. совместность системы линейных уравнений.

  4. Доказательство критерия определенности в терминах рангов). Если система определена, т. е. r(A)=r(A'), то она определена тогда и только тогда, когда в ступенчатом виде нет свободных неизвестных, т. е. r(A)=r(A')=n.
< Лекция 8 || Лекция 9: 12 || Лекция 10 >
Матвей Новосёлов
Матвей Новосёлов
Вадим Фонов
Вадим Фонов
Деление определителя матрицы 2х2, в которой элементы диагоналей поменяли местами на определитель исходной дает в результате
Михаил Алексеев
Михаил Алексеев
Россия, Уфа, УГАТУ, 2002
Олег Корсак
Олег Корсак
Латвия, Рига