Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова
Опубликован: 10.09.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 3611 / 562 | Оценка: 4.33 / 3.93 | Длительность: 13:22:00
Специальности: Математик
Лекция 8:

Линейные подпространства линейных пространств

< Лекция 7 || Лекция 8: 12 || Лекция 9 >
Аннотация: В данной лекции рассматриваются линейные подпространства линейных пространств, приведены определения их суммы и их пересечения, рассмотрено понятие линейной оболочки элементов линейного пространства. Приведены доказательства основных теорем и задачи для самостоятельного рассмотрения

Линейные подпространства линейных пространств

Пусть K - поле, K V - линейное пространство над полем K. Непустое подмножество \varnothing \neq U \subseteq {}_K V называется линейным подпространством линейного пространства K V, если:

  1. u_1+u_2\in U для всех u_1,u_2\in U ;
  2. ku\in U для всех k\in K, u\in U.

Ясно, что K U - линейное пространство относительно тех же операций сложения элементов и умножения на элементы из поля K, что и в линейном пространстве K V.

Если U - линейное подпространство в конечномерном линейном пространстве KV, n=\dim {}_K V<\infty, то \dim {}_K U \leq \dim {}_K V. Действительно, если элементы u_1,...,u_s\in {}_K U линейно независимы в K U, то эти элементы линейно независимы и в линейном пространстве K V, s \leq n, поэтому \dim {}_K U \leq \dim {}_K V.

Если K U - линейное подпространство линейного пространства K V, {}_K U\subseteq {}_K V и \dim {}_K U=\dim {}_K V=n, то K U=K V. Действительно, если {u1,...,un} - базис линейного пространства {}_K U\psubseteq {}_K V, то эти n элементов u1,...,un линейно независимы в K V и \dim {}_K V=n, поэтому {u1,...,un} - базис линейного пространства K V. Итак, каждый элемент v\in V имеет вид v=k_1u_1+...\+k_nu_n\in {}_K U, k_i\in K, т. е. K V=K U.

Пересечение линейных подпространств

Лемма 9.11.1. Пересечение

U=\bigcap\limits_{i\in I}U_i
любого семейства линейных подпространств \{U_i\subset {}_K V\mid i\in I\} линейного пространства K V является линейным подпространством.

Доказательство. Если u,u_1,u_2\in U=\bigcap\limits_{i\in I}U_i, k\in K, то u,u_1,u_2\in U_i для любого i\in I, поэтому u_1+u_2,ku\in U_i для любого i\in I, т. е. u_1+u_2,ku\in U=\bigcap\limits_{i\in I}U_i.

Следствие 9.11.2. Если U1 и U2 - линейные подпространства линейного пространства K V, то U_1\cap U_2 - линейное подпространство в {K V (наибольшее подпространство среди подпространств, лежащих одновременно в U1 и в U2 ).

Сумма линейных подпространств

Если U1 и U2 - линейные подпространства линейного пространства K V, то сумма линейных подпространств

U_1+U_2 = \{u_1+u_2\mid u_1\in U_1,\ u_2\in U_2\}
также является линейным подпространством. Действительно, если u_1+u_2,u'_1+u'_2\in U_1+U_2, u_1,u'_1\in U_1, u_2,u'_2\in U_2, k\in K, то
\begin{align*}
(u_1+u_2)+(u'_1+u'_2) &= (u_1+u'_1)+(u_2+u'_2)\in U_1+U_2;\\
k(u_1+u_2) &= ku_1+ku_2\in U_1+U_2. 
\end{align*}

Замечание 9.12.1. U1+U2 - наименьшее линейное подпространство среди линейных подпространств, содержащих одновременно U1 и U2. Более того,

U_1+U_2=\bigcap_{\substack{U\subseteq {}_K V\\ U_1\subseteq U,\ U_2\subseteq U}} U.

Замечание 9.12.2. Если U, U1, U2, U3 - линейные подпространства в K V, то

\begin{gathe}
U\cap U = U,\quad U+U = U,\\
U_1\cap U_2 = U_2\cap U_1, \quad U_1 + U_2 = U_2 + U_1,\\
U_1\cap (U_2\cap U_3) = (U_1\cap U_2)\cap U_3,\\
U_1 + (U_2+U_3) = (U_1+U_2)+U_3,\\
U_1\cap (U_1+U_2) = U_1,\quad U_1+(U_1\cap U_2)=U_1.
\end{gathe}

Линейная оболочка элементов линейного пространства

Пусть K V - линейное пространство, v_1,...,v_m\in {}_K V. Рассмотрим

\langle v_1,...,v_m\rangle= \{k_1v_1+...+k_mv_m\mid k_1,...,k_m\in K\} \text{  -}
совокупность всех линейных комбинаций k1v1+...+kmvm элементов v1,...,vm с коэффициентами k_1,...,k_m\in K, называемую линейной оболочкой элементов v1,...,vm. Линейная оболочка \langle v_1,...,v_m\rangle является наименьшим линейным подпространством, содержащим элементы v1,...,vm. Действительно,
\begin{mult}
(k_1v_1+...+k_mv_m)+(l_1v_1+...+l_mv_m)={}
\\
{}=
(k_1+l_1)v_1+...+(k_m+l_m)v_m;
\end{mult}
k(k1v1+...+kmvm)=(kk1)v1+...+(kkm)vm; если U - линейное подпространство в K V, v_1,...,v_m\in U, то k_1v_1+...+k_mv_m\in U, следовательно, \langle v_1,...,v_m\rangle\subseteq U. Более того,
\langle v_1,...,v_m\rangle = \bigcap_{\substack{U\subseteq {}_K V\\ v_1,...,v_m\in U}} U.

Замечание 9.13.1. Если 0\neq v\in {}_K V, то \langle v\rangle=Kv=\{kv\mid k\in K\}, \dim\langle v\rangle=1 ; если v=0, \langle v\rangle=Kv=\{0\}.

Замечание 9.13.2. \langle v_1,...,v_m\rangle= Kv_1+...+Kv_m.

Замечание 9.13.3. \dim {}_K \langle v_1,...,v_m\rangle=r\{v_1,...,v_m\} ; любая максимальная линейно независимая подсистема в {v1,...,vm} является базисом линейного подпространства \langle v_1,...,v_m\rangle.

Основная лемма о линейной зависимости может быть сформулирована в следующей эквивалентной форме.

Теорема 9.13.4 (о замене). Пусть v_1,...,v_s\in {}_K V - линейно независимая система, u_1,...,u_r\in \langle v_1,...,v_s\rangle, {u1,...,ur} - линейно независимая система элементов. Тогда r \leq s и

\langle v_1,...,v_s\rangle = \langle u_1,...,u_r,v_{i_{r+1}},...,v_{i_s}\rangle,
где
1 \leq i_{r+1}<...<i_s \leq s.

Доказательство. Так как s=\dim_K \langle v_1,...,v_s\rangle, то r \leq s. Если r=s, то \langle v_1,...,v_s\rangle=\langle u_1,...,u_r\rangle. Если r<s, то найдется v_{i_{r+1}}\notin \langle u_1,...,u_r\rangle (индекс ir+1 - минимальный с этим свойством). Продолжая этот процесс, построим базис \{u_1,...,u_r,v_{i_{r+1}},...,v_{i_s}\} в \langle v_1,...,v_s\rangle.

Следствие 9.13.5. Пусть U, W - линейные подпространства в K V и U\subseteq W, \dim {}_K U=l, \dim {}_K W=m. Тогда l \leq m и любой базис подпространства U можно дополнить m-l элементами до базиса подпространства W. В частности, если U \subseteq W и l=m, то U=W.

Теорема 9.13.6 (формула размерности). Пусть U, W - линейные подпространства в K V, \dim {}_K V=n<\infty. Тогда

\dim {}_K U+\dim {}_K W = \dim {}_K (U\cap W) + \dim {}_K (U+W),
или, что эквивалентно,
\dim {}_K (U+W) = \dim {}_K U+\dim {}_K W - \dim {}_K (U\cap W).

Доказательство. Пусть \dim {}_K (U\cap W)=d, \dim {}_K U=s, \dim {}_K W=t. Ясно, что 0 \leq d \leq s, d \leq t. При d=0 утверждение очевидно (объединение базисов в U и W дает базис в U+W ). Выберем базис v1,...,vd линейного пространства U\cap W и дополним его до базиса v1,...,vd,u1,...,us-d линейного пространства U и до базиса v1,...,vd,w1,...,wt-d линейного пространства W. Ясно, что

U+W=\langle v_1,...,v_d,u_1,...,u_{s-d},w_1,...,w_{t-d}\rangle.
Если
\lambda_1 v_1 +...+\lambda_d v_d + \mu_1 u_1 +...+ \mu_{s-d} u_{s-d} + \gamma_1 w_1 +...+ \gamma_{t-d}w_{t-d}=0,
то
\sum_{i=1}^{d}\lambda_i v_i + 
\sum_{j=1}^{s-d} \mu_j u_j = -\sum_{k=1}^{t-d} 
\gamma_k w_k \in U\cap W,
поэтому \mu_1=...=\mu_{s-d}=0, \gamma_1=...=\gamma_{t-d}=0. Следовательно, \lambda_1=...=\lambda_d=0. Таким образом,
\{v_1,...,v_d,u_1,...,u_{s-d},w_1,...,w_{t-d}\}\text{  -}
базис линейного подпространства U+W, откуда s+t = d+(s-d)+d+(t-d)=d+(d+(s-d)+(t-d)), поэтому
\dim {}_K U+\dim {}_K W=\dim {}_K U\cap W + \dim {}_K (U+W).

Теорема 9.13.7 (о существовании прямого дополнения подпространства). Пусть \dim {}_K V=n<\infty, U - линейное подпространство в K V. Тогда существует линейное подпространство W в K V такое, что

U+W=V,\quad U\cap W=\{0\},
(называемое прямым дополнением подпространства U в K V ; в этом случае также говорят, что линейное пространство K V является прямой суммой линейных подпространств U и W, обозначение: {}_K V=U\oplus W ).

Доказательство. Если \dim {}_K U=r и {u1,...,ur} - базис в K U, то дополним его до базиса линейного пространства K V: u1,...,ur,v1,...,vn-r. Пусть W=\langle v_1,...,v_{n-r}\rangle. Тогда K V=U+W, U\cap W=\{0\}.

Замечание 9.13.8. Конечно, прямое дополнение определено неоднозначно, однако все прямые дополнения линейного пространства изоморфны (а именно, все они имеют размерность \dim {}_K V-\dim {}_K U ).

Замечание 9.13.9. Если {}_K V=U\oplus W, то представление элемента v\in V в виде v=u+w, u\in U, w\in W, определено однозначно (действительно, если v=u+w=u'+w', u'\in U, w'\in W, то u-u'=w'-w\in U\cap W=\{0\}, следовательно, u=u', w=w' ), и поэтому линейное пространство {}_K V=U\oplus W изоморфно \emph{внешней прямой} сумме \{(u,w)\mid u\in U,\ w\in W\} линейных пространств K U и K W с естественными операциями сложения пар и их умножения на c\in K.

Пример 9.13.10 (прямого разложения). Пусть

\begin{gathe}
V=\mM_n( R),\quad U=\{A\in M_n( R)\mid A^*=A\},\\
W=\{A\in M_n( R)\mid A^*=-A\}.
\end{gathe}
Тогда
{}_{ R} V=U\oplus W.
Действительно, A=\frac{A+A^*}{2}+\frac{A-A^*}{2}. Если A=A*=-A, то A=0\in \mM_n( R).

< Лекция 7 || Лекция 8: 12 || Лекция 9 >
Матвей Новосёлов
Матвей Новосёлов
Вадим Фонов
Вадим Фонов
Деление определителя матрицы 2х2, в которой элементы диагоналей поменяли местами на определитель исходной дает в результате
Михаил Алексеев
Михаил Алексеев
Россия, Уфа, УГАТУ, 2002
Олег Корсак
Олег Корсак
Латвия, Рига