Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова
Опубликован: 10.09.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 3971 / 712 | Оценка: 4.33 / 3.93 | Длительность: 13:22:00
Специальности: Математик
Лекция 5:

Многочлены от матриц, теорема Гамильтона-Кэли. Обратная матрица

< Лекция 4 || Лекция 5: 1234 || Лекция 6 >

Обратная матрица

Определение 8.7.1. Пусть A\in M_n(K) - квадратная матрица. Будем говорить, что матрица B\in M_n(K) является обратной к A, если AB=E=BA .

Замечание 8.7.2 (для любой ассоциативной операции). Если обратная матрица B к матрице A существует, то она однозначно определена. Действительно, пусть AB=E=BA и AC=E=CA, тогда C=EC=(BA)C=B(AC)=BE=B (это повтор того, что мы уже отмечали ранее: единственность обратного элемента, если он существует, для любого элемента моноида). В этом случае однозначно определенную обратную матрицу B мы будем обозначать через A-1 : AA-1=E=A-1A.

Теорема 8.7.3 (об обратной матрице). Пусть A\in M_n(K) - квадратная (n\times n) -матрица. Тогда:

  1. обратная матрица B = (bij) = A-1 существует тогда и только тогда, когда |A|\neq 0 ;
  2. в этом случае b_{ij}=\smash{\frac{A_{ji}}{|A|}} (формула для элемента обратной матрицы);
  3. |A^{-1}|=\smash[t]{\frac{1}{|A|}}.

Доказательство.

а) Если AB=E, то 1=|E|=|AB|=|A|,|B|, поэтому |A|\neq 0 и, более того, |A^{-1}|=|B|=\frac{1}{|A|}.

б) Если |A|\neq 0, то рассмотрим B=(bij), где b_{ij}=\frac{A_{ji}}{|A|}. Ясно, что AB=E=BA (принимая во внимание разложение определителя по строкам и столбцам, а также "фальшивое" разложение), т. е. B=A-1.

Следствие 8.7.4. Если A,B\in M_n(K), то из AB=E следует, что BA=E (матрица, имеющая правую обратную, обратима (двусторонне)).

Доказательство. Если AB=E, то |A|,|B|=|AB|=|E|=1, поэтому |A|\neq 0, но тогда существует двусторонняя обратная матрица A-1. Таким образом, A^{-1}=A^{-1}E=A^{-1}(AB)=(A^{-1}A)B=E\cdot B=B, следовательно, BA=A-1A=E.

Следствие 8.7.5. Для A,B\in M_n(K) имеем |AB|=|A|,|B|, поэтому |AB|\neq 0 тогда и только тогда, когда |A|\neq 0 и |B|\neq 0, т. е. обратная матрица (AB)^{-1} существует тогда и только тогда, когда существуют A-1 и B-1. Более того, в этом случае (AB)-1=B-1A-1.

Доказательство. (AB)(B-1A-1)=E=(B-1A-1)(AB).

Следствие 8.7.6. Если существуют обратные матрицы A^{-1}_1,...,\allowbreak A^{-1}_r для A_1,...,A_r\in M_n(K), то (A_1A_2\cdot...\cdot A_r)^{-1}= A^{-1}_r\cdot...\cdot A^{-1}_2A^{-1}_1.

Следствие 8.7.7. Если существует обратная матрица A-1 для A\in M_n(K), то (A-1)-1=A.

Доказательство. A-1A=E=A A-1 (с точки зрения матрицы A-1 : A=(A-1)-1 ).

Упражнение 8.7.8. Пусть

A=
\begin{pmatrix}
a & b\\
c & d
\end{pmatrix} \in M_{2}(K),\quad
|A|=ad-bc\neq 0.
Тогда:
\begin{gathe}
B = (b_{ij}=A_{ji}) =
\begin{pmatrix}
\phm d & -b\\
-c & \phm a
\end{pmatrix};\\
A^{-1} =
\begin{pmatrix}
\phm \frac{d}{ad-bc} & -\frac{b}{ad-bc}\\[3\jot]
-\frac{c}{ad-bc} & \phm \frac{a}{ad-bc}
\end{pmatrix}.
\end{gathe}

Упражнение 8.7.9. Пусть

A =
\begin{pmatrix}
1 & 1 & ... & 1\\
0 & 1 & ... & 1\\
\vdots & & \ddots & \vdots\\
0 & ... & 0 & 1
\end{pmatrix}.
Тогда
A^{-1} =
\begin{pmatrix}
1 & -1 & &
\lefteqn{\raisebox{-5pt}[0pt][0pt]{\text{\hspace*{-10pt}\Large  0  }}}\\ & \ddots & \ddots \\ & & \ddots & -1\\
\lefteqn{\raisebox{5pt}[0pt][0pt]{\text{\hspace*{5pt}\Large  0  }}}
& & & 1
\end{pmatrix}.

Упражнение 8.7.10. Найти

\begin{pmatrix}
0 & 1 & ... & 1\\
1 & 0 & ... & 1\\
\hdotsfor{4}\\
1 & 1 & ... & 0
\end{pmatrix}^{-1} \in M_n( Q)
(матрица размера n\times n, на главной диагонали которой стоят нули, а все остальные элементы равны 1 ).

Упражнение 8.7.11. Пусть

A =
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & ... & n-1 & n\\
n & 1 & 2 & ... & n-2 & n-1\\
n-1 & n & 1 & ... & n-3 & n-2\\
\hdotsfor{6}\\
2 & 3 & 4 & ... & n & 1
\end{pmatrix} \in M_n( Q).
Тогда
A^{-1} =
\frac{1}{ns}
\begin{pmatrix}
1-s & 1+s & 1 & ... & 1 & 1\\
1 & 1-s & 1+s & ... & 1 & 1\\
1 & 1 & 1-s & ... & 1 & 1\\
\hdotsfor{6}\\
1+s & 1 & 1 & ... & 1 & 1-s
\end{pmatrix},
где s=\frac{n(n+1)}{2}.

Теорема 8.7.12 (о линейных группах).

а) Множество обратимых матриц

L_n(K)=\{A\in M_n(K) \mid |A|\neq 0\}
с операцией умножения является группой ( линейная группа ).

б) Множество матриц с единичным определителем

L_n(K)=\{A\in M_n(K) \mid |A|=1\}
с операцией умножения является группой ( специальная линейная группа ).

Доказательство.

а) Все проверки для \GL_n(K) уже были проведены.

б) Если A,B\in \SL_n(K), то |A|=1, |B|=1, поэтому |AB|=|A|\,|B|=1\cdot 1=1, следовательно, AB\in \SL_n(K). Ясно, что |E|=1, т. е. E\in \SL_n(K). Если A\in \SL_n(K), то |A|=1\neq 0, т. е. существует A-1, при этом |A^{-1}|=\frac{1}{|A|}=1, поэтому A^{-1}\in \SL_n(K).

Лемма 8.7.13. Если A\in \GL_n(K) (т. е. A\in M_n(K) и |A|\neq 0 ), то |A^*|=|A|\neq 0 (т. е. A^*\in\GL_n(K) ) и, более того, (A*)-1=(A-1)*.

Доказательство.

\begin{align*}
(A^{-1})^*A^* &= (AA^{-1})^*=E^*=E;\\
A^*(A^{-1})^* &= (A^{-1}A)^*=E^*=E
\end{align*}
(с точки зрения матрицы A^* : (A*)-1=(A-1)* ).

Определение 8.7.14. Квадратная матрица A\in M_n(K) называется ортогональной матрицей, если A-1=A* .

Теорема 8.7.15. Совокупность ортогональных матриц O_n(K)=\{A\in M_n(K) \mid A^{-1}=A^*\} относительно умножения матриц является группой.

Доказательство.

а) Если A,B\in O_n(K), то A-1=A* и B-1=B*. Тогда (AB)-1=B-1A-1=B*A*=(AB)*, поэтому AB\in O_n(K).

б) E-1=E=E*, т. е. E\in O_n(K).

в) Если A\in O_n(K), то для B=A-1 имеем B-1=(A-1)-1=(A*)-1=(A-1)*=B*, следовательно, B=A^{-1}\in  O_n(K).

Задача 8.7.16. Пусть A\in M_n(K) и существует такое число k, что Ak - нулевая матрица. Покажите, что матрицы E-A, E+A обратимы (здесь E - единичная матрица в Mn(K) ).

Задача 8.7.17. Для A,B\in M_n(K) равносильны условия:

  1. матрица E-AB обратима;
  2. матрица E-BA обратима

(этот факт полезен при построении теории определителей над произвольным кольцом R : в алгебраической K -теории - функтор K_1(R) ).

Более того, можно доказать, что если A\in M_{m,n}(K), B\in M_{n,m}(K), то Em-AB - обратимая матрица тогда и только тогда, когда En-BA - обратимая матрица.

Задача 8.7.18. Найти число элементов в группах \GL_2( Z_2), \SL_2( Z_2), \GL_n(K), где K - конечное поле из q элементов.

Упражнение 8.7.19. Рассмотрим отображение

f: S_n\to\GL_n(K),
где
f(\sigma)=\sum_{j=1}^{n} E_{\sigma(j)j}
(т. е. в j -м столбце единственная единица стоит в \sigma(j) -й строке, остальные элементы нулевые). Тогда
|f(\sigma)|=\varepsilon(\sigma)=
\begin{cases}
1, & \sigma\in\mA_n,\\
-1 & \sigma\in S_n\setminus\m A_n,
\end{cases}
поэтому f(\sigma)\in\GL_n(K). Покажите, что f - инъективный гомоморфизм (т. е. группа \GL_n(K) содержит подгруппу, изоморфную группе Sn ).

Действительно, для \sigma,\tau\inS_n имеем

\begin{mult}
f(\sigma)f(\tau)=
\biggl(\,\sum_{j=1}^{n}E_{\sigma(j)j}\biggr)
\biggl(\,\sum_{j=1}^{n}E_{\tau(j)j}\biggr)={}
\\
{}=\sum_{j=1}^{n}E_{\sigma(i)i}E_{i=\tau(j)j}=
\sum_{j=1}^{n}E_{\sigma(\tau(j))j}=\sum_{j=1}^{n}E_{(\sigma\tau)(j)j}=
f(\sigma\tau),
\end{mult}
т. е. f - гомоморфизм. Если f(\sigma)=E, то
\sigma=
\begin{pmatrix}
1 & 2 & ... & n\\
1 & 2 & ... & n
\end{pmatrix}.
Итак, f - инъективный гомоморфизм.

Контрольные вопросы 8.7.20.

  1. i\ne j, (e_{ij}^c)^{-1}=(E+cE_{ij})^{-1}=E-cE_{ij} ;
  2. i\ne j, t_{ij}^{-1}=t_{ij} ;
  3. \lambda_1\neq 0,..., \lambda_n\neq 0, d(\lambda_1,...,\lambda_n)^{-1}= d(\lambda_1^{-1},...,\lambda_n^{-1}).
< Лекция 4 || Лекция 5: 1234 || Лекция 6 >
Матвей Новосёлов
Матвей Новосёлов
Вадим Фонов
Вадим Фонов
Деление определителя матрицы 2х2, в которой элементы диагоналей поменяли местами на определитель исходной дает в результате