Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова
Опубликован: 10.09.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 3610 / 561 | Оценка: 4.33 / 3.93 | Длительность: 13:22:00
Специальности: Математик
Лекция 5:

Многочлены от матриц, теорема Гамильтона-Кэли. Обратная матрица

< Лекция 4 || Лекция 5: 1234 || Лекция 6 >
Аннотация: В данной лекции основное внимание уделено понятию многочленов от матриц, а также рассмотрена теорема Гамильтона-Кэли. Приведены основные понятия, в частности, очень важное определение обратной матрицы. Приведены примеры решения задач, доказаны основные теоремы, а также предоставлены задачи для самостоятельного рассмотрения

Многочлены от матриц, теорема Гамильтона-Кэли

Пусть K - поле,

f(t)=a_0+a_1t+...+a_nt^n\in K[t] \text{  -}
многочлен с коэффициентами из поля K, A\in M_{n}(K). Тогда определим
f(A)=a_0E+a_1A+...+a_nA^n\in M_{n}(K),
где
E=E_n=
\begin{pmatrix}
1 & &
\lefteqn{\raisebox{-5pt}[0pt][0pt]{\text{\hspace*{-10pt}\Large  0  }}}\\ & \ddots\\
\lefteqn{\raisebox{0pt}[0pt][0pt]{\text{\hspace*{0pt}\Large  0  }}}
& & 1
\end{pmatrix} \in M_{n}(K)\text{  -}
единичная (n\times n) -матрица, т. е.
f(A)=\sum_{i=0}^{n}a_iA^i,
здесь A0=E.

Пример 8.6.1. Пусть f(t)=t^2+2t+1=(t+1)^2, g(t)=t+1\in   R[t],

A=
\begin{pmatrix}
0 & 1\\
1 & 0
\end{pmatrix} \in M_{2}( R).
Тогда
\begin{align*}
f(A) &=
\begin{pmatrix}
0 & 1\\
1 & 0
\end{pmatrix}^2 +
2 \begin{pmatrix}
0 & 1\\
1 & 0
\end{pmatrix} +
\begin{pmatrix}
1 & 0\\
0 & 1
\end{pmatrix} ={}
\\ & =
\begin{pmatrix}
1 & 0\\
0 & 1
\end{pmatrix} +
\begin{pmatrix}
0 & 2\\
2 & 0
\end{pmatrix} +
\begin{pmatrix}
1 & 0\\
0 & 1
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
2 & 2\\
2 & 2
\end{pmatrix}\\
\biggl(
&=
\begin{pmatrix}
1 & 1\\
1 & 1
\end{pmatrix}^2
=
\left(
\begin{pmatrix}
0 & 1\\
1 & 0
\end{pmatrix} +
\begin{pmatrix}
1 & 0\\
0 & 1
\end{pmatrix}
\right)^2 =
(g(A))^2\biggr).
\end{align*}

Упражнение 8.6.2. Пусть

A=
\begin{pmatrix}
a & b\\
c & d
\end{pmatrix} \in M_{2}(K)
и
\begin{align*}
f(\lambda) &= |A-\lambda E| =
\begin{vmatrix}
a-\lambda & b\\
c & d-\lambda
\end{vmatrix} =
(a-\lambda)(d-\lambda)-bc ={}
\\
&= \lambda^2 -(a+d)\lambda+(ad-bc)\\
( &= \lambda^2-tr A\lambda +|A|)\text{  -}
\end{align*}
характеристический многочлен матрицы A (здесь tr A=a+d ). Тогда
\begin{align*}
f(A) &= A^2-(a+d)A+(ad-bc)E={}
\\
&=
\begin{pmatrix}
a^2+bc & ab+bd\\
ca+dc & cb+d^2
\end{pmatrix} -
\begin{pmatrix}
(a+d)a & (a+d)b\\
(a+d)c & (a+d)d
\end{pmatrix} +{}
\\ & \quad {}+
\begin{pmatrix}
ad-bc & 0\\
0 & ad-bc
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
0 & 0\\
0 & 0
\end{pmatrix}
\end{align*}
(т. е. в этом частном случае мы видим, что справедлива теорема Гамильтона Кэли о том, что матрица A является корнем своего характеристического многочлена f(\lambda)=|A-\lambda E| для (2\times 2) -матриц).

Теорема 8.6.3. Пусть K - поле,

A\in M_{n}(K),
\Delta_A: K[t]\to M_{n}(K) \text{  -} отображение, для которого \Delta_A(f(t))=f(A) для f(t)\in K[t]. Тогда

  1. \Delta=\Delta_A - гомоморфизм K -алгебр, т. е.
    \begin{align*}
\Delta(f+g) &= (f+g)(A) = f(A)+g(A)=
\Delta(f)+\Delta(g),\\
\Delta(fg) &= (fg)(A) = f(A)g(A) = \Delta(f)\Delta(g),\\
\Delta(\lambda f) &= (\lambda f)(A) = \lambda f(A) = \lambda\Delta(f)
\end{align*}
    для всех f,g\in K[t], \lambda\in K ;
  2. \Ker \Delta_A = \{f(t)\in K[t]\mid f(A)=0\} - ненулевой идеал кольца K[t].

Доказательство.

  1. Пусть f(t) = a0+a1t+...+antn, g(t) = b0+b1t+...+bmtm, где a_i,b_j\in K, и пусть \lambda\in K. Тогда

    а) если n \geq m, то

    (f+g)(A)=\sum_{i=0}^{n}(a_i+b_i)A^i= \sum_{i=0}^{n}a_iA^i+\sum_{i=0}^{m}b_iA^i= f(A)+g(A)
    (здесь bn=...=bm+1=0 );

    б) если (fg)(t)=c0+c1t+...+cm+ntm+n, где

    c_k=\sum_{i=0}^{k}a_i b_{k-i},
    то
    (fg)(A)=\sum_{k=0}^{m+n}c_k A^k;
    с другой стороны,
    \begin{mult}
f(A)g(A)=
\biggl(\,\sum_{i=0}^{n}a_iA^i\biggr)\biggl(\,\sum_{j=0}^{m}b_jA^j\biggr)={}
\\*
{}=\sum_{k=0}^{m+n}\biggl(\,\sum_{i=0}^{k}a_ib_{k-i}\biggr)A^k=
\sum_{k=0}^{m+n}c_kA^k,
\end{mult}
    т. е. (fg)(A)=f(A)g(A) ;

    в)

    (\lambda f)(A) = \sum_{i=0}^{n} (\lambda a_i)A^i = \lambda \biggl(\,\sum_{i=0}^{n}a_i A^i\biggr)= \lambda f(A).

  2. Если f(t),g(t)\in Ker \Delta, h(t)\in K[t], \lambda\in K, то f(A)=0, g(A)=0, и поэтому

    \begin{align*}
(f+g)(A) &= f(A)+g(A)=0+0=0,\\
(fh)(A) &= f(A)h(A) = 0\cdot h(A)=0,\\
(\lambda f)(A) &= \lambda f(A) = \lambda\cdot 0=0.
\end{align*}
    Итак, \Ker\Delta\lhd K[t] (т. е. Ker \Delta - идеал K -алгебры K[t] ).

    Так как система матриц

    E,A,A^2,...,A{n^2+1}
    линейно зависима в Mn(K) (поскольку \dim_K M_{n}(K)=n^2 ), то найдутся (не все нулевые) элементы a_0,a_1,...,a_{n^2+1}\in K, для которых
    a_0 E+a_1 A+...+a_{n^2+1}A^{n^2+1}=0,
    т. е.
    0\neq f(t)=a_0+a_1t+...+a_{n^2+1}t^{n^2+1}\in\Ker\Delta.
    Итак, \Ker\Delta\neq 0.

Замечание 8.6.4. Более сильное утверждение о том, что

|A-tE|\in\Ker\Delta,
является содержанием следующей теоремы. (теорема Гамильтона Кэли, \deg |A-tE|=n ), таким образом, любая квадратная матрица A является корнем своего характеристического многочлена |A-tE|.

Теорема 8.6.5 (теорема Гамильтона—Кэли). Пусть K - поле (или даже коммутативное ассоциативное кольцо с 1 ), A\in M_n(K), p(t)=|A-tE|\in K[t] - характеристический многочлен квадратной матрицы A, \deg p(t)=n. Тогда

p(A)=0\in M_n(K).

Доказательство. Для матрицы

D=A-tE=(d_{ij})\in M_n(K[t]),
d_{ij}\in K[t], рассмотрим присоединенную матрицу
B=(b_{ij})\in M_n(K[t]),
b_{ij}=D_{ji}\in K[t] - алгебраическое дополнение элемента d_{ji}. Тогда \deg(b_{ij}(t)) \leq n-1, и поэтому B=B(t)=B0+tB1+...+tn-1Bn-1, где B_i\in M_n(K). Так как p(t)=|A-tE|=(-1)ntn+cn-1tn-1+...+c1t+c0, где c_i\in K, i=0,1,...,n-1, D\cdot B=|D|\cdot E, то
\begin{equation}\label{unuGK}
(A-tE)B(t)=p(t)E.
\end{equation} ( 8.1)
Приравнивая матричные коэффициенты при степенях tk, 0 \leq k \leq n, в левой и правой частях этого равенства, получаем:
\begin{equation}\label{duGK}
\begin{alignedat}{2}
&t^n: &\quad & -B_{n-1}=(-1)^nE,
\\
&t^{n-1}: && A\cdot B_{n-1}-B_{n-2}= c_{n-1}E,
\\
&t^{n-2}: && A\cdot B_{n-2}-B_{n-3}= c_{n-2}E,
\\ & ... && ...
\\
&t: && A\cdot B_1-B_0= c_1E,
\\
&t^0: && A\cdot B_0= c_0E.
\end{alignedat}
\end{equation} ( 8.2)
Умножая слева равенства (8.2) на An,An-1,...,A,E соответственно, получаем
\begin{equation}\label{triGK}
\begin{aligned} & \!-A^n\cdot B_{n-1}=(-1)^nA^n,
\\ & \,\phm A^n\cdot B_{n-1}-A^{n-1}\cdot B_{n-2}= c_{n-1}A^{n-1},
\\ & \,\phm...
\\ & \,\phm A^2\cdot B_1-A\cdot B_0= c_1A,
\\ & \,\phm A\cdot B_0= c_0E.
\end{aligned}
\end{equation} ( 8.3)
Складывая равенства (8.2), получаем
M_n(K)\ni 0=p(A).

Замечание 8.6.6. Отметим, что равенства (8.2) показывают, что матрицы B0,B1,...,Bn-1 являются многочленами от матрицы A, в частности, BiA=ABi, i=0,1,...,n-1. Поэтому можно было подставить в (8.1) вместо переменной t матрицу A, и тогда

\begin{mult}
M_n(K)\ni 0=(A-AE)(B_0+AB_1+...+A^{n-1}B_{n-1})={}
\\
{}\stackrel{(8.1)}{=} p(A)\cdot E=p(A). 
\end{mult}

Замечание 8.6.7. Очевидное равенство |A-AE|=0\in K не является доказательством теоремы Гамильтона Кэли.

Упражнение 8.6.8. Аннулирующий многочлен минимальной степени \varphi_A(t) жордановой клетки r -го порядка

A=
\begin{pmatrix}
\lambda & 1 & 0 & ... & 0\\
0 & \lambda & 1 & ... & 0\\
0 & 0 & \lambda & ... & 0\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
0 & 0 & 0 & ... & \lambda
\end{pmatrix}
равен
\varphi_A(t)=(\lambda-t)^r=|A-tE|.

Упражнение 8.6.9. Если

A=
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 0\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix},
то
\varphi_A(t)=(1-t)^2,\quad |A-tE|=(1-t)^3.

< Лекция 4 || Лекция 5: 1234 || Лекция 6 >
Матвей Новосёлов
Матвей Новосёлов
Вадим Фонов
Вадим Фонов
Деление определителя матрицы 2х2, в которой элементы диагоналей поменяли местами на определитель исходной дает в результате
Михаил Алексеев
Михаил Алексеев
Россия, Уфа, УГАТУ, 2002
Олег Корсак
Олег Корсак
Латвия, Рига