Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова
Опубликован: 10.09.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 3611 / 562 | Оценка: 4.33 / 3.93 | Длительность: 13:22:00
Специальности: Математик
Лекция 4:

Линейное пространство M_m,n (K) прямоугольных матриц размера mxn

< Лекция 3 || Лекция 4: 1234 || Лекция 5 >
Аннотация: В данной лекции рассматриваются основные положения и определения алгебры матриц. Рассматривается способ умножения матриц, приведены примеры, доказаны основные теоремы. Также представлены задачи для самостоятельного решения

Алгебра матриц

Линейное пространство Mm,n(K) прямоугольных матриц размера mxn

Через Mm,n(K) обозначим совокупность всех прямоугольных матриц над полем K фиксированного размера m\times n (для краткости обозначения, Mn(K)=Mn,n(K) - совокупность всех квадратных (n\times n) -матриц). Как для пространства строк Kn=M1,n(K) и для пространства столбцов \hat K^n=M_{n,1}(K), так и для Mm,n(K) определены операции сложения матриц C=A+B ( cij=aij+bij для каждого места (i,j) ) и умножения матрицы на число c\in K D=cA ( dij=caij для каждого места (i,j) ). Как и для совокупности строк Kn=M1,n(K), так и для Mm,n(K) непосредственно проверяется выполнение всех аксиом линейного пространства (в частности, нейтральным элементом в Mm,n(K) будет нулевая матрица 0 с нулями на всех местах, -A=(-1)A ).

Произведение матриц

Если

A=(a_{ij})\in M_{r,m}(K),\quad B=(b_{ij})\in M_{m,n}(K)
то мы определили их произведение
AB=U=(u_{ij})\in M_{r,n}(K),
полагая
u_{il}=\sum_{k=1}^{m}a_{ik}b_{kl}
(т. е. элемент матрицы AB, стоящий на пересечении i -й строки и j -го столбца получается "умножением" i -й строки (длины m ) матрицы A на j -й столбец (длины m ) матрицы B ). Таким образом, условие возможности перемножить две прямоугольные матрицы A и B заключается в том, что длина строк левого множителя A совпадает с длиной столбцов правого множителя B .

Примеры вычисления произведения AB

Пример 8.2.1.

\begin{pmatrix}
1 & m\\
0 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 & n\\
0 & 1
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
1 & m+n\\
0 & 1
\end{pmatrix},\quad
m,n\in Z.

Пример 8.2.2.

\begin{pmatrix}
k_1 & ... & k_n
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
l_1\\
\vdots\\
l_n
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
k_1l_1+... k_nl_n
\end{pmatrix} \in M_{1}(K)=K.

Пример 8.2.3.

\begin{gathe}
\begin{pmatrix}
\phm 2 & -1\\
\phm 1 & \phm 0\\
-3 & \phm 4
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 & -5 & -2\\
3 & \phm 0 & \phm 4
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
-1 & -10 & -8\\
\phm 1 & -5 & -2\\
\phm 9 & \phm 15 & \phm 22
\end{pmatrix};\\
\begin{pmatrix}
1 & -5 & -2\\
3 & \phm 0 & \phm 4
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\phm 2 & -1\\
\phm 1 & \phm 0\\
-3 & \phm 4
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
\phm 3 & -9\\
-6 & \phm 13
\end{pmatrix}.
\end{gathe}

Пример 8.2.4. Пусть

E_r =
\begin{pmatrix}
1 & 0 & ... & 0\\
0 & 1 & ... & 0\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
0 & 0 & ... & 1
\end{pmatrix} \in M_r(K)
(единичная матрица размера r\times r ), A\in M_{r,m}(K), тогда ErA=A, AEm=A. В частности, если E=En, A\in M_n(K), то EA=A=AE.

Матричные единицы Eij

Обозначим через Eij матрицу, в которой на пересечении i -й строки и j -го столбца стоит 1, а на всех остальных местах стоит 0. Тогда в Mn(K) имеем

E_{ij}E_{kl} =
\begin{cases}
E_{il}, & \text{если } j=k,\\
0 \text{ (нулевая матрица)}, & \text{если } j\neq k
\end{cases}
(или E_{ij}E_{kl}=\delta_{jk}E_{il}, где
\delta_{jk} =
\begin{cases}
1, & \text{если } j=k,\\
0, & \text{если } j\neq k
\end{cases} \text{  -}
символ Кронекера).

Важные следствия умножения матричных единиц

Следствие 8.3.1. Так как в Mn(K) при n \geq 2

E_{11}E_{12}=E_{12}\neq 0 = E_{12}E_{11},
то:

а) умножение матриц некоммутативно;

б) имеются делители нуля (ненулевые элементы, произведение которых равно нулю).

Задача 8.3.2. Найти в Mn(K) все делители нуля. Точнее, доказать, что для A\in M_n(K) следующие условия равносильны:

  1. AX=0 для некоторой матрицы 0\neq X\in M_n(K) ;
  2. YA=0 для некоторой матрицы 0\neq Y\in M_n(K) ;
  3. |A|=0.
Матрицы элементарных преобразований

Следствие 8.3.3. Пусть c\in K, i\neq j, и

e_{ij}^c=E+cE_{ij}\in M_m(K)
(в этой матрице в отличие от единичной матрицы на месте (i,j) вне диагонали стоит c ). Ясно, что |e_{ij}^c|=1.

а) Если i\neq j, e_{ij}^c\in M_m(K) и A\in M_{m,n}(K), то матрица A'=e_{ij}^cA получается из матрицы A элементарным преобразованием строк 1-го типа: A'i=Ai+cAj.

б) Если i\neq j, e_{ij}^c\in M_n(K) и A\in M_{m,n}(K), то матрица A'=Ae_{ij}^c получается из матрицы A элементарным преобразованием столбцов 1-го типа: \hat A'_j=\hat A_j+c\hat A_i.

Следствие 8.3.4. Пусть i\neq j и tij - матрица, полученная из единичной матрицы E_m\in M_m(K) перестановкой i -й и j -й строк (или, что то же самое, перестановкой i -го и j -го столбцов). Ясно, что |tij|=-1.

а) Если t_{ij}\in M_m(K) и A\in M_{m,n}(K), то матрица A'=tijA получается из матрицы A элементарным преобразованием строк 2-го типа: A'i=Aj, A'j=Ai.

б) Если t_{ij}\in M_n(K) и A\in M_{m,n}(K), то матрица A'=Atij получается из матрицы A элементарным преобразованием столбцов 2-го типа: \hat A'_i=\hat A_j, \hat A'_j=\hat A_i.

Следствие 8.3.5. Пусть \lambda_1,...,\lambda_m\in K,

d(\lambda_1,...,\lambda_m)=
\begin{pmatrix}
\lambda_1 & 0 & ... & 0\\
0 & \lambda_2 & ... & 0\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
0 & 0 & ... & \lambda_m
\end{pmatrix} \in M_{m}(K) \text{  -}
диагональная матрица с элементами \lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_m\in K на диагонали. Ясно, что |d(\lambda_1,...,\lambda_m)|= \lambda_1\cdot\lambda_2\cdot...\cdot \lambda_m.

а) Если d(\lambda_1,...,\lambda_m) \in M_{m}(K) и A\in M_{m,n}(K), то

d(\lambda_1,...,\lambda_m)A=
\begin{pmatrix}
\lambda_1 A_1\\
\lambda_2 A_2\\
\vdots\\
\lambda_m A_m
\end{pmatrix} \text{  -}
матрица, получаемая из матрицы A умножением строк A1,...,Am соответственно на "числа" \lambda_1,...,\lambda_m.

б) Если d(\lambda_1,...,\lambda_n)\in M_{n}(K) и A\in M_{m,n}(K), то

A\,d(\lambda_1,...,\lambda_n)= (\lambda_1\hat A_1,...,\lambda_n \hat A_n)\text{  -}
матрица, получаемая из матрицы A умножением столбцов \hat A_1,...,\hat A_n соответственно на "числа" \lambda_1,...,\lambda_n.

В частности, умножение слева матрицы A на матрицу d(1,...,{\lambda_i\!=\!c},...,1), c\neq 0, равносильно применению к строкам матрицы A элементарного преобразования 3-го типа A'i=cAi (умножение справа на матрицу такого типа дает применение к столбцам матрицы A элементарного преобразования 3-го типа \hat A'_i=c\hat A_i ).

Замечание 8.3.6. Ясно, что \lambda E=d(\lambda,...,\lambda) и (\lambda E)A=\lambda A=A(\lambda E) для E=En, A\in M_n(K), т. е. \eemph{скалярная} матрица \lambda E перестановочна с любой другой матрицей из Mn(K).

Задача 8.3.7. Пусть K - поле, n\in N, n\geq 2,

Z(M_{n}(K))=\{A\in M_{n}(K)\mid AB=BA\kvsp\forall B\in M_{n}(K)\}.
Тогда A\in Z(M_{n}(K)) в том и только в том случае, когда A=\lambda E_n, \lambda\in K.

Следствие 8.3.8 (матричная запись системы линейных уравнений). Для системы линейных уравнений

\left\{
\begin{array}{c@{}c@{}c@{}c@{}c}
a_{11}x_1 & {}+...+{} & a_{1n}x_n & {}={} & b_1,\\
\vdots & & \vdots & & \vdots\\
a_{m1}x_1 & {}+...+{} & a_{mn}x_n & {}={} & b_m
\end{array}
\right.
возможна матричная запись AX=B, где A=(aij) - (m,n) -матрица коэффициентов,
X=
\begin{pmatrix}
x_1\\
\vdots\\
x_n
\end{pmatrix} \text{  -}
столбец неизвестных,
B=
\begin{pmatrix}
b_1\\
\vdots\\
b_m
\end{pmatrix} \in M_{m,1}(K) \text{  -}
столбец свободных членов.

Таким образом, строка (k1,...,kn) является решением системы линейных уравнений, если столбец

\begin{pmatrix}
k_1\\
\vdots\\
k_n
\end{pmatrix} \in M_{n,1}(K)
является решением матричного уравнения
A
\begin{pmatrix}
k_1\\
\vdots\\
k_n
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
b_1\\
\vdots\\
b_m
\end{pmatrix}.

Замечание 8.3.9 (Штрассен, 1969). Умножение двух (2\times 2) -матриц можно осуществить с использованием 7 умножений и 18 сложений (вместо 8 умножений и 4 сложений в обычном определении произведения матриц

\begin{pmatrix}
a & b\\
c & d
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
e & f\\
g & h
\end{pmatrix} =
\left(
\begin{smallmatrix}
\begin{array}{@{}>{\scriptstyle}l@{}}
(a-d)(e-h)+(b-d)(g+h)+{}\\
{}+d(e+g)+(a-b)h
\end{array} & -(a-b)h+a(h+f)\\
(-d+c)e+d(e+g) & \begin{array}{@{}>{\scriptstyle}l@{}}
(a-d)(e-h)-(a-c)(e+f)+{}\\
{}+a(h+f)-(c-d)e
\end{array}
\end{smallmatrix}\right).
Это соображение развивает идею алгоритма А. А. Карацубы (1962 г.) быстрого умножения многочленов. Дальнейший прогресс в теории быстрого умножения чисел, многочленов, матриц связан, в частности, с использованием быстрого преобразования Фурье.

< Лекция 3 || Лекция 4: 1234 || Лекция 5 >
Матвей Новосёлов
Матвей Новосёлов
Вадим Фонов
Вадим Фонов
Деление определителя матрицы 2х2, в которой элементы диагоналей поменяли местами на определитель исходной дает в результате
Михаил Алексеев
Михаил Алексеев
Россия, Уфа, УГАТУ, 2002
Олег Корсак
Олег Корсак
Латвия, Рига