Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова
Опубликован: 10.09.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 3611 / 562 | Оценка: 4.33 / 3.93 | Длительность: 13:22:00
Специальности: Математик
Лекция 3:

Линейные преобразования линейных пространств столбцов

< Лекция 2 || Лекция 3: 12 || Лекция 4 >
Аннотация: Данная лекция посвящена линейным преобразованиям линейных пространств столбцов, задаваемых прямоугольной матрицей. Рассмотрены основные определения, приведены доказательства базовых теорем и упражнения для самостоятельного рассмотрения

Линейные преобразования линейных пространств столбцов, задаваемые (прямоугольной) матрицей

Рассмотрим линейные пространства столбцов над полем K (например, над полем R действительных чисел)

\begin{align*} & U=\hat K^n =
\left\{\left.X=\begin{pmatrix}x_1\\\vdots\\x_n\end{pmatrix}\right|
x_i\in K\right\},\\[3mm] & V=\hat K^m =
\left\{\left.Y=\begin{pmatrix}y_1\\\vdots\\y_m\end{pmatrix}\right|
y_i\in K\right\}.
\end{align*}

Каждая (m\times n) -матрица F=(fij), f_{ij}\in K, задает отображение f: U\to V,

f(X)=Y=\begin{pmatrix}y_1\\\vdots\\y_m\end{pmatrix}
для всех
\begin{pmatrix}x_1\\\vdots\\x_n\end{pmatrix}=X\in U=\hat K^n,
где
\begin{array}{c@{}c@{}c@{}c@{}c} y_1 & {}={} & f_{11}x_1 & {}+...+{} & f_{1n}x_n,\\
\vdots & & \vdots & & \vdots\\
y_m & {}={} & f_{m1}x_1 & {}+...+{} & f_{mn}x_n.
\end{array}

Теорема 7.0.6. Отображение

f: U=\hat K^n\to V=\hat K^m,
задаваемое прямоугольной (m\times n) -матрицей F=(fij), обладает следующими свойствами:

  1. f(X+X')=f(X)+f(X') для всех X,X'\in U \textup;
  2. f(cX)=cf(X) для всех c\in K, X\in U.

Доказательство. Для

X=
\begin{pmatrix}
x_1\\\vdots\\x_n
\end{pmatrix},\ \
X'=
\begin{pmatrix}
x'_1\\\vdots\\x'_n
\end{pmatrix},\quad
c\in K
имеем
X+X'=
\begin{pmatrix}
x_1+x'_1\\\vdots\\x_n+x'_n
\end{pmatrix},\quad
cX=\begin{pmatrix}cx_1\\\vdots\\cx_n\end{pmatrix}.
Применяя отображение f, определяемое прямоугольной матрицей F=(fij), к X+X' и cX, соответственно получаем f(X+X')=f(X)+f(X'), f(cX)=cf(X).

Замечание 7.0.7. Отображение f: U\to V из одного линейного пространства U в другое линейное пространство V, удовлетворяющее свойствам

  1. f(X+X')=f(X)+f(X') для всех X,X'\in U,
  2. f(cX)=cf(X) для всех c\in K, X\in U,

называется линейным отображением (преобразованием). Тем самым мы показали, что отображение, задаваемое прямоугольной (m\times n) -матрицей F=(fij), определяет линейное преобразование соответствующих линейных пространств столбцов:

f: U=\hat K^n\to V=\hat K^m.

Пример 7.0.8. Если m=1, то имеем линейную функцию y=f1x1+...+fmxn из U=\hat K^n в \hat K^1=K.

Пример 7.0.9. Поворот плоскости вокруг точки (0,0) на угол \alpha является линейным отображением f: \hat R^2\to\hat R^2, задаваемым матрицей поворота

\begin{pmatrix}
\cos\alpha & -\sin\alpha\\
\sin\alpha & \phm \cos\alpha
\end{pmatrix}.

Теорема 7.0.10 (об однозначной определяемости матрицы, задающей линейное отображение столбцов). Пусть

f: U=\hat K^n \to V=\hat K^m,\ \ g: U=\hat K^n \to V=\hat K^m \text{  -}
два линейных отображения, задаваемых (m\times n) -матрицами F=(fij) и G=(gij) соответственно. Тогда f=g в том и только в том случае, когда F=G (т. е. fij=gij для всех i, j ).

Доказательство.

  1. Если F=G, то ясно, что f=g.
  2. Пусть f=g. Рассмотрим
    e_j=
\begin{pmatrix}
0\\
\vdots\\
1\\
\vdots\\
0
\end{pmatrix},
    где 1 стоит в j -й строке, а остальные элементы равны нулю. Тогда
    \begin{pmatrix}
f_{1j}\\
\vdots\\
f_{ij}\\
\vdots\\
f_{mj}
\end{pmatrix} = f(e_j) = g(e_j) =
\begin{pmatrix}
g_{1j}\\
\vdots\\
g_{ij}\\
\vdots\\
g_{mj}
\end{pmatrix},
    поэтому для любого i имеем fij=gij, т. е. F=(fij)=(gij)=G.

Теорема 7.0.11 (о задании любого линейного отображения линейных пространств столбцов матрицей). Пусть

f: U=\hat K^n\to V=\hat K^m \text{ -}
линейное отображение линейных пространств столбцов, т. е.

  1. f(X+X')=f(X)+f(X') для всех X,X'\in U,
  2. f(cX)=cf(X) для всех c\in K, X\in U.

Тогда найдется (и единственная) (m\times n) -матрица F=(fij) такая, что определяемое с ее помощью линейное отображение совпадает с линейным отображением f.

Доказательство. Пусть

e_j =
\begin{pmatrix}
0\\
\vdots\\
1\\
\vdots\\
0
\end{pmatrix}
\begin{matrix}
\vphantom{0}\\
\vphantom{\vdots}\\
\scriptstyle \kern-3mm -\;j\\
\vphantom{\vdots}\\
\vphantom{0}
\end{matrix}\;,\quad
f(e_j) =
\begin{pmatrix}
f_{1j}\\
\vdots\\
f_{ij}\\
\vdots\\
f_{mj}
\end{pmatrix} \in V = \hat K^m,\ \ f_{ij}\in
K.
Получили (m\times n) -матрицу F=(fij).

Для любого

X=
\begin{pmatrix}
x_1\\
\vdots\\
x_n
\end{pmatrix} \in U = \hat
K^n
имеем X=x_1e_1+...+x_ne_n. Тогда
\begin{mult}
\smash[b]{\begin{pmatrix}
y_1\\
\vdots\\
y_m
\end{pmatrix}} = f(X) =
x_1f(e_1)+...+x_nf(e_n)={}
\\
{}=
x_1
\begin{pmatrix}
f_{11}\\
\vdots\\
f_{m1}
\end{pmatrix} +... +
x_n
\begin{pmatrix}
f_{1n}\\
\vdots\\
f_{mn}
\end{pmatrix},
\end{mult}
т. е.
\begin{array}{c@{}c@{}c@{}c@{}c}
y_1 & {}={} & f_{11}x_1 & {}+...+{} & f_{1n}x_n,\\
\vdots & & \vdots & & \vdots\\
y_m & {}={} & f_{m1}x_1 & {}+...+{} & f_{mn}x_n.
\end{array}
Итак, линейное отображение f задается (m\times n) -матрицей F=(fij).

Как мы показали, матрица F=(fij) определена однозначно.

< Лекция 2 || Лекция 3: 12 || Лекция 4 >
Матвей Новосёлов
Матвей Новосёлов
Вадим Фонов
Вадим Фонов
Деление определителя матрицы 2х2, в которой элементы диагоналей поменяли местами на определитель исходной дает в результате
Артур Ким
Артур Ким
Узбекистан, Ташкент, Филиал РГУНГ им. И.М. Губкина в г. Ташкенте