Кабардино-Балкарский государственный университет
Опубликован: 02.03.2006 | Доступ: свободный | Студентов: 6259 / 1773 | Оценка: 4.28 / 3.98 | Длительность: 15:25:00
ISBN: 978-5-9556-0108-3
Лекция 11:

Математическое и компьютерное моделирование

< Лекция 10 || Лекция 11: 1234 || Лекция 12 >

Этап 1. Содержательная постановка задачи

Современное производство характерно тем, что часть производимой продукции (в стоимостном выражении) возвращается в виде инвестиций (т.е. части конечной продукции, используемой для создания основных фондов производства) в производство. При этом время возврата, ввода в оборот новых фондов может быть различным для различного рода производства. Необходимо промоделировать эту ситуацию и выявить динамику изменения величины основных фондов производства (капитала).

Сложность и многообразие, слабая структурированность и плохая формализуемость основных экономических механизмов, определяющих работу предприятий, не позволяют преобразовать процедуры принятия решений в экономической системе в полностью эффективные математические модели и алгоритмы прогнозирования. Поэтому целесообразно использование простых, но гибких и надежных процедур принятия решения.

Рассмотрим одну такую простую модель социально-экономического процесса.

Этап 2. Формулировка гипотез, построение, исследование модели

Динамика изменения величины капитала определяется в нашей модели, в основном, простыми процессами производства и описывается так называемыми обобщенными коэффициентами амортизации (расхода фондов) и потока инвестиций (часть конечного продукта, используемого в единицу времени для создания основных фондов). Эти коэффициенты - относительные величины (оцениваются за единицу времени). Необходимо разработать и исследовать модель динамики основных фондов. Считаем при этом допустимость определенных гипотез, определяющих систему производства.

Пусть x(t) - величина основных фондов (капитала) в момент времени t, где 0<=t<=N. Через промежуток времени \Delta t она будет равна x(t+\Delta t). Абсолютный прирост равен \Delta x=x(t+\Delta t)-x(t). Относительный прирост будет равен \delta x=[x(t+\Delta t)-x(t)]/\Delta t.

Примем следующие гипотезы:

  1. социально-экономические условия производства достаточно хорошие и способствуют росту производства, а поток инвестиций задается в виде известной функции y(t) ;
  2. коэффициент амортизации фондов считается неизменным и равным m, и при достаточно малом значении \Delta t, изменение основных фондов прямо пропорционально текущей величине капитала, т.е. dx=y(t) - mx(t).

Считая \Delta t\to 0, а также учитывая определение производной, получим из предыдущего соотношения следующее математическое выражение закона изменения величины капитала - математическую модель (дифференциальное уравнение) динамики капитала:

x`(t) = y(t) - mx(t),   x(0)=х0,

где х(0) - начальное значение капитала в момент времени t=0.

Эта простейшая модель не отражает важного факта: социально-экономические ресурсы производства таковы, что между выделением инвестиций и их введением и использованием в выпуске новой продукции проходит время (лаг). Учитывая это, можно записать модель в виде

x`(t) = y(t-T)-mx(t),   x(0)=х0

Этой непрерывной, дифференциальной, динамической модели можно поставить в соответствие простую дискретную модель:

хi+1i +yj - mхi  ,   x0=с,   i=0, 1, 2, :, n,   0<j<n,

где n - предельное значение момента времени при моделировании.

Дискретная модель следует из непрерывной при \Delta t=1, при замене производной x`(t) на относительное приращение (из определения производной, это справедливо при малых значениях \Delta t ).

Этап 3. Построение алгоритма и программы моделирования

Возьмем для простоты режим моделирования, когда m, c - известны и постоянны, y - увеличивается на каждый следующий момент времени на 1%, а также рассмотрим наиболее простой алгоритм моделирования в укрупненных шагах.

  1. Ввод входных данных для моделирования: с=х(0) - начальный капитал; n - конечное время моделирования; m - коэффициент амортизации; s - единица измерения времени; y - инвестиции.
  2. Вычисление xi от i=1 до i=n по рекуррентной формуле, приведенной выше.
  3. Поиск стационарного состояния - такого момента времени j, 0<=j<=n, начиная с которого все хj, хj +1, :, хn постоянны или изменяются на малую допустимую величину \varepsilon  >0.
  4. Выдача результатов моделирования и, по желанию пользователя, графика.

Алгоритм, записанный на учебном алгоритмическом языке, имеет вид

алг Производство (арг вещ m, c, n, рез вещ таб х[1:366], лит p, q);
дано | производство с основными фондами, изменяющимися по закону:
         | х[i+1]=х[i]+y-mx[i],   x[0]=c,   i=0, 1, 2, :, n,   0<j<n,
         | t=i*h,  h=1 - шаг по времени (день),
         | i - текущий момент времени,
         | m - коэффициент амортизации,
         | х[0]=с - заданная начальная величина капитала,
         | y - увеличиваемая на 1% каждый раз величина инвестиций
надо | промоделировать динамику основных фондов, т.е. выяснить:
         | 1) чему они равны на момент времени n;
         | 2) наступает ли гибель предприятия, т.е. обращается ли капитал
         |     (основные фонды) в нуль при некотором t, и найти это t;
         | 3) наступает ли ситуация, когда капитал стабилизируется
нач | начало тела алгоритма
                  | описание типов переменных
       цел  i, | i - переменная цикла прогноза (текущее время)
               j, | j - задаваемая величина лага
              k, | k - момент гибели предприятия (если есть)
              y |  y - величина инвестиций, увеличиваемая по закону  y:=1.01*y
       ввод (m, n, c, y) | ввод исходных данных
       p:='предприятие не гибнет'   | задаем начальное значение s
       q:='капитал не стационарен' | задаем начальное значение q
       х[0]:=с | начальное значение капитала (не нулевое)
       i:=0      | задаем начальный момент времени моделирования
      нц пoка (i<=n) и (х[i]>0) | заголовок цикла прогноза капитала
                | тело цикла прогноза капитала 
                х[i+1]=х[i]+y-mx[i] | вычисление прибыли в следующий момент 
                y:=1.01*y | и увеличиваем на 1%  - для следующего момента
                если х[i+1]<=0   | проверка гибели
                       то   | если гибнет, - выполняется блок погибшего предприятия
                           p:="предприятие гибнет"  | заменяем значение  s
                           k:=i-1  | и фиксируем время гибели
                           нц для j от k до  n  | цикла вычисления всех
                                    x[j]=0 | остальных, нулевых значений прибыли
		      кц   | конец блок обработки погибшего предприятия
                если х[i+1]=х[i]  | проверка стационарности прибыли
                       то q:="капитал стационарен"  | заменяем старое значение q
      кц
кон.
11.1.

Приведем программу на Паскале для имитационного моделирования (программа реализована для функции типа y=at+b, где a, b - коэффициенты потока инвестиций; структурированность и интерфейс программы "принесены в жертву" компактности, простоте и понятности программы).

PROGRAM  MODFOND; 
{Исходные данные находятся в файле in.dat текущего каталога}
{Результаты записываются в файл out.dat текущего каталога}
Uses
       Crt, Graph, Textwin;
Type
       Vector = Array[0..2000] of Real;
       Mas     = Array[0..2000] of LongInt;
Var
       Time, Lag, t, dv, mv, i, yi, p                          :Integer;
        tmax, tmin                                             :LongInt;
        a, b, m, X0, maxx, minx, aa, bb, cc, sx, tk            :Real;
        x                                                      :Vector;
        ax, ay                                                 :Mas;
        ch                                                     :Char;
        f1, f2                                                 :Text;
{-------------------------------------------------------------------------------------------}
Procedure InputKeyboard; { Ввод с клавиатуры }
Begin
    OpenWindow(10,5,70,20,' Ввод  данных ',14,4);
    ClrScr;  WriteLn;
    WriteLn('Введите время Т прогнозирования системы:');
    Repeat
          Writeln('Для удобства построения графика введите Т не меньше 2');
          Write('Т=');  ReadLn(Time);
    until Time>=2;
    WriteLn('Введите лаг:');
    Repeat
          Write('Лаг должен быть строго меньше Т  - ');  ReadLn(Lag);
    until Lag<Time;
    WriteLn('Введите коэффициенты для вычисления потока инвестиций');
    Write('Введите  a>0:  a= ');  ReadLn(a);
    Write('Введите  b>0:  b= ');  ReadLn(b);
    Repeat
           Write('Введите коэффициент амортизации ( 0<M<1 ) - ');  Readln(m);
    until (m<1) and (m>0);
    Write('Введите значение фондов в начальный момент - ');  Readln(X0);
    CloseWindow;
end;
{-------------------------------------------------------------------------------------------}
Procedure InputFile; { Ввод из файла }
Begin
      Assign(f1,'in.dat');  Reset(f1);  Readln(f1,time,lag,a,b,m,X0); Close(f1);
End;
{-------------------------------------------------------------------------------------------}
Procedure OutputFile; { Запись результата работы в файл }
Begin
      Assign(f2,'out.dat');  Rewrite(f2);
      WriteLn(f2,'   Результаты моделирования:');
      WriteLn(f2,'Значение фондов в заданное время Т = ',x[time]:4:2);
      WriteLn(f2,'Максимальное значение фондов = ',maxx:4:2);
      Write(f2,'Минимальное значение фондов = ',minx:4:2);
      Close(f2);
End;
{------------------------------------------------------------------------------------------}
Procedure InputRnd; { Ввод случайными числами }
Begin
       Randomize;
       Repeat   Time:=Random(90);  until Time>=2;
       Repeat    Lag:=Random(80);   until Lag<Time;
       a:=Random(10);  b:=Random(10);  m:=Random;  X0:=Random(200);
End;
{------------------------------------------------------------------------------------------}
Procedure OutputScreen; { Вывод данных на экран }
Begin
       OpenWindow(10,5,70,20,' Вывод  данных: ',4,3);            WriteLn;
       WriteLn(' Данный набор входных параметров:');             WriteLn;
       WriteLn('   Время Т                       - ',time);
       WriteLn('   Лаг                               - ',lag);   WriteLn;
       WriteLn('Коэффициенты потока инвестиций:');               WriteLn;
       WriteLn('   a                                 - ',a:4:2);
       WriteLn('   b                                 - ',b:4:2); WriteLn;
       WriteLn('Эмпирический коэффициент амортизации - ',m:4:3);
       Write('Состояние фондов в начальный момент  - ',X0:4:2);
       ReadKey;  CloseWindow;
End;
{-------------------------------------------------------------------------------------------}
Procedure Worker; { Рабочая процедура }
Var
      yt      :real;
Begin
       x[0]:=X0;
       For t:=1 to Time do
            Begin
                 If  t<Lag+1 then  yt:=0 else  yt:=a*(t-1-Lag)+b; x[t]:=yt+(1-m)*x[t-1];
            End;
       maxx:=x[0];  minx:=x[0];  tmin:=0;   tmax:=0;
       For t:=1 to Time do
            If x[t]>maxx 
               then  begin  maxx:=x[t];  tmax:=t;  end
               else if x[t]<minx  then begin  minx:=x[t]; tmin:=t;  end; 
      OpenWindow(10,5,70,13,' Результат работы модели: ',14,7);
      ClrScr;  WriteLn;
      WriteLn('Значение фондов в заданное время Т = ',x[time]:4:2);
      If tmin<>0 then
           WriteLn(' Величина фондов возрастает с ',tmin,' до ',tmax);
           WriteLn(' Максимальное значение фондов = ',maxx:4:2);
           Write(' Минимальное значение фондов  = ',minx:4:2);
      ReadKey;  CloseWindow;
End;
{---------------------------------------------------------------------------------------------}
Procedure Mas_OX; { Масштабирование по оси ОХ }
Var
      st                 :String;
Begin
       p:=1;  While Time>p*24 do inc(p);
       For i:=1 to 24 do  Begin Str(p*i,st); OutTextXY(65+20*i,420,st) End;
       For t:=0 to Time do ax[t]:=70+round(20*t/p);
End;
{-------------------------------------------------------------------------------------------}
Procedure Mas_OY; { Масштабирование по оси ОУ }
Var
       st              :String;
       k, r           :Integer;
Begin
       If maxx>16
          then Begin
                      k:=1; While maxx>k*16 do inc(k);
                      For i:=1 to 16 do Begin Str(k*i,st);OutTextXY(35,407-20*i,st);End;
                      tk:=k;
                   End
            else Begin
                           r:=1; While (maxx<=16/r) and (r<16) do inc®;  dec®;
                           For i:=1 to (trunc(16/r-0.1)+1) do
                                                          Begin
                                                              Str(i,st);
                                                              OutTextXY(35,407-0*r*i,st)
                                                          End;
                            tk:=1/r;
                    End;
       For t:=0 to Time do ay[t]:=410-round(20*x[t]/tk);
End;
{----------------------------------------------------------------------------------------------}
Procedure Ipol(x1,y1,x2,y2,x3,y3:Real); {Процедура интерполяции}
Var d1, da, db, dc             :Real;
Begin
       d1:=x1*x1*(x2-x3)+x2*x2*(x3-x1)+x3*x3*(x1-x2);
       da:=y1*(x2-x3)+y2*(x3-x1)+y3*(x1-x2);
       db:=x1*x1*(y2-y3)+x2*x2*(y3-y1)+x3*x3*(y1-y2);
       dc:=x1*x1*(x2*y3-y2*x3)+x2*x2*(x3*y1-y3*x1)+x3*x3*(x1*y2-y1*x2);
       aa:=da/d1;   bb:=db/d1;    cc:=dc/d1;
End;
{--------------------------------------------------------------------------------------------}
Procedure Graf; { Построение графика }
Begin
       dv:=detect;  InitGraph(dv,mv,'');  SetBkColor(7);  SetColor(6);
       Rectangle(30,40,600,450);
       Line(600,60,620,60);  Line(620,60,620,470);
       Line(50,450,50,470);  Line(50,470,620,470);
       SetFillStyle(1,1);    FloodFill(610,450,6);
       SetFillStyle(1,15);  FloodFill(100,100,6);
       SetColor(5);   Circle(70,410,2);
       Line(70,410,70,50);  Line(70,410,590,410);  { оси ОХ и ОУ }
       OutTextXY(587,407,'>');  OutTextXY(67,47,'^');  OutTextXY(57,415,'0');
       OutTextXY(80,45,'X(T) - (Величина основных фондов производства)');
       OutTextXY(590,415,'T');  OutTextXY(540,430,'(Время)');  SetColor(2);
       For i:=1 to 16 do Line(67,70+20*i,70,70+20*i);
       For i:=1 to 24 do Line(70+20*i,410,70+20*i,413);
       Mas_OX;   Mas_OY;
       For t:=0 to time do Вegin
                              SetColor(Blue);  Circle(ax[t],ay[t],2);
                              SetFillStyle(SolidFill,Red); FloodFill(ax[t],ay[t],Blue);
                      End;
       SetColor(Red);  SetLineStyle(3,1,1);
       Line(70,ay[time],ax[time],ay[time]);  Line(ax[time],ay[time],ax[time],410);
       Ipol(0,x[0],1,x[1],2,x[2]);
       For i:=ax[0] to ax[2] do Begin
                                   sx:=p*(i-70)/20;
                                   yi:=410-round(20*(aa*sx*sx+bb*sx+cc)/tk);
                                   SetColor(Red);  Circle(i,yi,1);
                               End;
       For t:=1 to Time-2 do Begin
                               Ipol(t,x[t],t+1,x[t+1],t+2,x[t+2]);
                               For i:=ax[t+1] to ax[t+2]do
                                          Begin
                                             sx:=p*(i-70)/20;
                                             yi:=410-round(20*(aa*sx*sx+bb*sx+cc)/tk);
                                             SetColor(Red);  Circle(i,yi,1);
                                        End;
                                End;
       ReadKey; CloseGraph;
End;
{-------------------------------------------------------------------------------------------}
Begin
While true do
         Begin
                 ClrScr;  TextBackGround(2);  Window(1,1,80,25);  ClrScr;
                 OpenWindow(30,22,50,24,' Нажмите клавишу: ',4,1);
                 OpenWindow(5,5,75,16,' Динамика фондов производства ',14,5);
                 ClrScr;  WriteLn;
                 WriteLn('  Пусть х(t) - основные фонды в момент времени t,  y(t) -');
                 WriteLn(' инвестиции,  m - коэффициент амортизации фондов.');
                 WriteLn(' Модель динамики основных фондов (L - лаг):');
                 Write('    x`(t) = y(t-L) - mx(t),  где х(0) = Хо,  y(t)=at+b, ( a,b>0 ).');
                 ReadKey;  CloseWindow;
                 OpenWindow(15,10,65,17,' Выбирите вариант входа-выхода: ',15,0);
                 ClrScr;   WriteLn;
                 WriteLn('        С  клавиатуры              - <1>');
                 WriteLn('        Из файла                       - <2>');
                 WriteLn('        Случайными числами - <3>');
                 WriteLn('        Выход                           - <Esc>');
                 ch:=ReadKey;
                 Сase ch of
                       #49: InputKeyboard;
                       #50: Вegin InputFile; OutputScreen; Еnd;
                       #51: Вegin InputRnd; OutputScreen; End;
                       #27: Halt(1);
            End;
            CloseWindow; Worker; OutputFile;
            OpenWindow(22,10,58,14,'',15,5);
            ClrScr;  WriteLn;
            Write('Для просмотра графика нажмите ввод');  ch:=ReadKey;
            If ch=#13 then begin Graf; RestoreCrtMode; end;
            CloseWindow;  TextBackGround(15);  Window(1,1,80,25);
            ClrScr; OpenWindow(15,10,65,16,'',15,6); ClrScr;  WriteLn;
            WriteLn('         Хотите еще моделировать ?');  WriteLn;
            WriteLn('Для выхода нажмите          -        < Esc >');
            WriteLn('Для продолжения нажмите любую другую клавишу');
            ch:=ReadKey;
            If ch=#27  then Halt(1);
            CloseWindow;
     End;
     ClrScr;  TextBackGround(0);
End.
11.2.
< Лекция 10 || Лекция 11: 1234 || Лекция 12 >
Эрнесто Жолондиевский
Эрнесто Жолондиевский

Добрый день! Я ранее заканчивал этот курс бесплатно. Мне пришло письмо что я могу по этому курсу получить удостоверение о повышении квалификации. Каким образом это можно сделать не совсем понятны шаги кроме как вновь записаться на этот курс. С уважением Жолондиевский Эрнесто Робертович.

Андрей Прокопов
Андрей Прокопов
Россия, Москва, МТУСИ, 1996
Максим Виноградов
Максим Виноградов
Россия, Москва