Кабардино-Балкарский государственный университет
Опубликован: 02.03.2006 | Доступ: свободный | Студентов: 6316 / 1817 | Оценка: 4.28 / 3.98 | Длительность: 15:25:00
ISBN: 978-5-9556-0108-3
Лекция 3:

Функционирование и развитие системы

< Лекция 2 || Лекция 3: 1234 || Лекция 4 >

Отношения часто используются при организации и формализации систем. При этом для них (над ними) вводятся следующие основные операции:

  1. объединение двух отношений r1(x1, x2, ..., xn), r2(x1, x2, ..., xn), заданных над множеством X, есть третье отношение r_{3}(X)=r_{1}\cup  r_{2} получаемое как теоретико-множественное объединение всех элементов X, для которых справедливо r1 или r2 ;
  2. пересечение - r_{3}(X)=r_{1}\cap  r_{2} - теоретико-множественное пересечение всех элементов из X, для которых справедливы r1 и r2 ;
  3. проекция отношения r1(Х) размерности k, т.е. отношения r1=r1(x1, x2,..., xk), связывающего элементы x _{1}, x_{2}, \dots , x_{k}\in X (это могут быть и не первые k элементов), - это отношение r2 размерности m<k, т.е. оно использует некоторые из аргументов (параметров) исходного отношения ;
  4. разность двух отношений r1(x1, x2, ..., xk), r2(x1, x2, ..., xk) - это отношение r3=r1 - r2, состоящее из всех тех элементов X, для которых справедливо отношение r1, но не справедливо отношение r2 ;
  5. декартово произведение двух отношений r2(x1, x2,..., xk) и r1(xn+1, xn+2,..., xn+m) - отношение r3=r1xr2, составленное всевозможными комбинациями всех элементов X, для которых справедливы отношения r1, r2 ; первые n компонентов отношения r3 образуют элементы, для которых справедливо отношение r1, а для последних m элементов справедливо отношение r2 ;
  6. селекция (отбор, выборка) по критерию q компонентов, принадлежащих отношению r ; критерий q - некоторый предикат.

Алгебры отношений часто называют реляционными алгебрами.

В связи с употреблением интуитивно известного понятия " алгебра " уточним эту структуру, так она часто используется как основной аппарат наиболее формализованного описания систем. Алгебра - наиболее адекватный математический аппарат описания действий с буквами, поэтому алгебраические методы наилучшим образом подходят для описания и формализации различных информационных систем.

Алгеброй A=<X, f> называется некоторая совокупность определенных элементов X, с заданными над ними определенными операциями f (часто определяемые по сходству с операциями сложения и умножения чисел), которые удовлетворяют определенным свойствам - аксиомам алгебры.

Операция f называется n-местной, если она связывает n операндов (объектов - участников этой операции).

Совокупность F={f} операций алгебры A называется ее сигнатурой, а совокупность элементов X={x} - носителем алгебры.

Алгеброй Буля называется алгебра с введенными в ней двумя двухместными операциями, которые поименованы, по аналогии с арифметикой чисел, сложением и умножением, и одной одноместной операцией, называемой штрих-операцией или инверсией, причем эти операции удовлетворяют аксиомам (законам) алгебры Буля:

  1. коммутативности - х+у = у+х, ху = ух ;
  2. ассоциативности - (х+у)+z = х+(у+z), (xy)z = x(yz) ;
  3. идемпотентности - х+х = х, xx = x ;
  4. дистрибутивности - (x+y)z = xz+yz, xy+z = (x+z)(y+z) ;
  5. инволюции (двойной инверсии) - ;
  6. поглощения - x(x+y) = x, x+xy = x ;
  7. де Моргана - x+y = xy, xy = x+y
  8. нейтральности: x(y+y) = x, x+yy = x.
  9. существования двух особых элементов (называемых "единица -1" и "нуль-0"), причем 0 = 1, 1 = 0, x+x = 1, xx = 0.

Группоид - алгебра A=<X, f> с одной двухместной операцией f.

Полугруппа - группоид, в системе аксиом которой есть аксиома ассоциативности. Поэтому она называется ассоциативным группоидом.

Пример. Пусть Х={x1, x2, ..., xn} - некоторый алфавит. Тогда он образует полугруппу относительно операции конкатенации слов из S(X). В таких (называемых свободными) полугруппах рассматривается одна из важнейших алгебраических проблем информатики в полугруппах - проблема тождества слов: указать конструктивный процесс установления совпадения двух слов из полугруппы S(X). Эта проблема алгоритмически неразрешима и встречается, например, при разработке архитектуры процессора.

Группа - полугруппа с единицей (с элементом е: еа=ае=а ), в которой бинарная операция f является однозначно обратимой, т.е. на этом множестве (на его носителе ) разрешимы однозначно уравнения вида xfa=b, afx=b.

Пример. Пусть Х={x1, x2, ..., xn} - некоторая свободная полугруппа. Каждому из хi, i=1, 2,..., n сопоставим его обратный элемент xi-1, а единицу положим равной пустому слову \varnothing. Тогда Х образует (свободную) группу, если в качестве критерия разрешимости уравнений выбрать соотношения: xixi-1= \varnothing, xi-1xi= \varnothing. Одна из важнейших алгебраических проблем информатики в группах - проблема изоморфизма (преобразования с сохранением групповой операции) двух групп: указать конструктивный процесс установления такого преобразования одной группы к другой. Эта проблема возникает при обработке информации, преобразовании одной информационной системы к другой с сохранением информации.

Кольцо - алгебра с двумя бинарными операциями: по одной из них (умножение) она является группоидом, а по другой (сложение) - группой с аксиомой коммутативности (абелевой группой ), причем эти операции связаны между собой аксиомами дистрибутивности.

Поле - кольцо, у которого все ненулевые элементы по одной из операций образуют абелеву группу.

Пример. Множество рациональных, действительных чисел, квадратных матриц - образуют и поля, и кольца.

Изоморфизм двух упорядоченных (по отношению r ) множеств X и Y - такое взаимно-однозначное соответствие f : X -> Y, где из того, что x_{1}\in X и x_{2}\in X находятся в отношении r следует, что y1=f(x1) и y2=f(x2) находятся в отношении r и наоборот.

Изоморфизм позволяет исследовать инвариантное, общее (системное) в структурах, переносить знания (информацию) от одних структур к другим, прокладывать и усиливать междисциплинарные связи.

Свойство может существовать как структура независимо от системы, ее носителя, а система предоставляет (через свою структуру ) возможность (потенцию) свойству взаимодействовать с другими системами (с другими свойствами систем), обладающими таким же свойством.

Вопросы для самоконтроля

  1. Каковы основные сходства и отличия функционирования и развития, развития и саморазвития системы?
  2. В чем состоит гибкость, открытость, закрытость системы?
  3. Какие системы называются эквивалентными? Что такое инвариант систем? Что такое изоморфизм систем?

Задачи и упражнения

  1. Составить спецификации систем (описать системы), находящихся в режиме развития и в режиме функционирования. Указать все атрибуты системы.
  2. Привести примеры систем, находящихся в отношении: а) рефлексивном, симметричном, транзитивном; б) несимметричном, рефлексивном, транзитивном; в) нетранзитивном, рефлексивном, симметричном; г) нерефлексивном, симметричном, транзитивном; д) эквивалентности.
  3. Найти и описать две системы, у которых есть инвариант. Изоморфны ли эти системы?

Темы для научных исследований и рефератов, интернет-листов

  1. Функционирование систем, развитие и саморазвитие систем: сравнительный анализ.
  2. Гибкость, связность, эквивалентность и инвариантность систем: сравнительный анализ.
  3. Алгебра отношений как универсальный аппарат теории систем.
< Лекция 2 || Лекция 3: 1234 || Лекция 4 >
Эрнесто Жолондиевский
Эрнесто Жолондиевский

Добрый день! Я ранее заканчивал этот курс бесплатно. Мне пришло письмо что я могу по этому курсу получить удостоверение о повышении квалификации. Каким образом это можно сделать не совсем понятны шаги кроме как вновь записаться на этот курс. С уважением Жолондиевский Эрнесто Робертович.

Ольга Свирко
Ольга Свирко
Беларусь
Владимир Бусыгин
Владимир Бусыгин
Россия, Москва, МХТИ им. Д.И.Менделеева, 1981