Рекурсия и рекурсивные алгоритмы

Лабораторная работа 34. Рекурсия и рекурсивные алгоритмы

Цель работы: изучить понятие, виды рекурсии и рекурсивную триаду, научиться разрабатывать рекурсивную триаду при решении задач на языке C++.

При выполнении лабораторной работы для каждого задания требуется написать программу на языке С++, которая получает на входе числовые данные, выполняет их обработку в соответствии с требованиями задания и выводит результат на экран. Для обработки данных необходимо реализовать рекурсивную функцию. Ввод данных осуществляется с клавиатуры с учетом требований к входным данным, содержащихся в постановке задачи (ввод данных сопровождайте диалогом). Ограничениями на входные данные является допустимый диапазон значений используемых числовых типов в языке С++.

Теоретические сведения.

Ознакомьтесь с материалом лекции 34.

Задания к лабораторной работе.

Выполните приведенные ниже задания.

1. Разработайте рекурсивную функцию, подсчитывающую количество способов разбиения выпуклого многоугольника на треугольники непересекающимися диагоналями.
2. В Фибоначчиевой системе счисления числа формируются по правилам.
   • Используются только символы 0 и 1;
   • Каждый разряд соответствует элементу последовательности Фибоначчи 1, 2, 3, 5, 8, …, то есть указывает на наличие или отсутствие такового;
   • В соседних разрядах не могут стоять символы 1, так как это автоматически означает формирование следующего за ними разряда. Например, 17₁₀ = 13₁₀ + 3₁₀ + 1₁₀ = 100101_ф.
   Составьте программу перевода числа из десятичной системы в Фибоначчиевую. Считать входные данные введенными корректно.
3. Найдите походящие дроби рационального числа x/y ( x – неотрицательно, y – положительно). Например, , то есть для х = 5, y = 6 ответом будет последовательность [0; 1, 5].
4. Вычислите определитель квадратной матрицы размера nxn.

Указания к выполнению работы.

Каждое задание необходимо решить в соответствии с изученными рекурсивными методами решения задач и методами обработки числовых данных в языке С++. Перед реализацией кода каждой задачи необходимо разработать рекурсивную триаду в соответствии с постановкой задачи: выполнить параметризацию, выделить базу и оформить декомпозицию рекурсии. Этапы рекурсивной триады необходимо отразить в математической модели к отчету, выполнив обоснование декомпозиции. Программу для решения каждого задания необходимо разработать методом процедурной абстракции, используя рекурсивные функции. Этапы сопроводить комментариями в коде.

Следует реализовать каждое задание в соответствии с приведенными этапами:

• изучить словесную постановку задачи, выделив при этом все виды данных;
• сформулировать математическую постановку задачи;
• выбрать метод решения задачи, если это необходимо;
• разработать графическую схему алгоритма;
• записать разработанный алгоритм на языке С++;
• разработать контрольный тест к программе;
• отладить программу;
• представить отчет по работе.

Требования к отчету.

Отчет по лабораторной работе должен соответствовать следующей структуре.

• Титульный лист.
• Словесная постановка задачи. В этом подразделе проводится полное описание задачи. Описывается суть задачи, анализ входящих в нее физических величин, область их допустимых значений, единицы их измерения, возможные ограничения, анализ условий при которых задача имеет решение (не имеет решения), анализ ожидаемых результатов.
• Математическая модель. В этом подразделе вводятся математические описания физических величин и математическое описание их взаимодействий. Цель подраздела – представить решаемую задачу в математической формулировке.
• Алгоритм решения задачи. В подразделе описывается разработка структуры алгоритма, обосновывается абстракция данных, задача разбивается на подзадачи. Схема алгоритма выполняется по ЕСПД (ГОСТ 19.003-80 и ГОСТ 19.002-80).
• Листинг программы. Подраздел должен содержать текст программы на языке программирования С++, реализованный в среде MS Visual Studio 2010.
• Контрольный тест. Подраздел содержит наборы исходных данных и полученные в ходе выполнения программы результаты.
• Выводы по лабораторной работе.
• Ответы на контрольные вопросы.

Контрольные вопросы

1. Можно ли случай косвенной рекурсии свести к прямой рекурсии? Ответ обоснуйте.
2. Может ли рекурсивная база содержать несколько тривиальных случаев? Ответ обоснуйте.
3. Являются ли параметры, база и декомпозиция единственными для конкретной задачи? Ответ обоснуйте.
4. С какой целью в задачах происходит пересмотр или корректировка выбранных параметров, выделенной базы или случая декомпозиции?
5. Является ли рекурсия универсальным способом решения задач? Ответ обоснуйте.
6. Почему для оценки трудоемкости рекурсивного алгоритма недостаточно одного метода подсчета вершин рекурсивного дерева?
7. Выполните оценку алгоритма из Примера 3 лекции 34 методом подсчета вершин рекурсивного дерева для случая n = 6, k = 6.