Опубликован: 27.12.2010 | Доступ: свободный | Студентов: 813 / 130 | Оценка: 5.00 / 5.00 | Длительность: 18:38:00
ISBN: 978-5-9556-0117-5
Специальности: Математик
Лекция 7:

Графы в компьютерной геометрии

< Лекция 6 || Лекция 7: 123456 || Лекция 8 >

Пример оптимизационной задачи: задача о минимальном остовном дереве

Связный граф без циклов называется деревом. Понятие дерева играет важную роль в приложениях, поскольку моделирует такой вид соединения своих вершин, в котором "нет ничего лишнего".

Подграфом H в графе G = (V_G, E_G) называется такой граф H = (V_H, E_H) , что V_H \subset V_G и E_H \subset E_G. Если граф G - взвешенный с весовой функцией \omega, то для каждого его подграфа H естественно определяется его вес, равный сумме весов всех ребер этого подграфа.

Подграф H \subset G называется остовным, если V_H = V_G. В каждом связном графе, очевидно, имеется остовный подграф, являющийся деревом. Такие подграфы называются остовными деревьями. Количество разных остовных деревьев зависит от структуры графа. Для простого связного графа оно может быть вычислено с помощью так называемой матричной теоремы Кирхгофа. Интересующая нас точная оценка сверху имеет вид n^{n-2, где n - количество вершин графа.

Остовное дерево наименьшего веса в связном взвешенном графе называется минимальным остовным деревом Несмотря на упомянутую оценку, имеются полиномиальные алгоритмы построения минимальных остовных деревьев. Одним из таких алгоритмов является алгоритм Краскала.

Пусть G = (V,E) - связный взвешенный граф с весовой функцией \omega. Определим граф T_0 = (V, \varnothing) . На i -м шаге, 1 \le i \le n - 1, среди всех ребер, добавление которых к T_{n-1} порождает ацикличный граф, выберем ребро наименьшего веса и добавим к T_{i-1} получив тем самым T_i. Алгоритм заканчивает работу, построив граф T_{n-1}, который и является минимальным остовным деревом.

В пакете Combinatorica имеется команда MinimumSpanningTree[<граф>], возвращающая минимальное остовное дерево в формате Graph.

Снова нарисуем красивые картинки:

In[74] :=
      DynamicModule[{gu, gcur, mst, n = 11}, 
         gu = RandomGraph[n, . 6] ;
         While [! ConnectedQ[gu], gu = RandomGraph[n, . 6] ] ; 
         gcur = SetEdgeWeights[gu]; 
         mst = MinimumSpanningTree[gcur]; 
         Manipulate[plot3DWGraph[gcur, Edges[mst], r,
            {Glow[Red], Brown}], {r, 0.01, 0.2}], 
         Initialization : -> (Needs [ "Combinatorica" " ] ;
            edgeWeight [ g_, e_] : = GetEdgeWeights [g, {e}]; 
            plot3DWGraph[g_, 1_, r_, col_, op_:l] := Module[ {11} , 
               11 = 1≈ Join ≈ (RotateLeft[#, 1] & /@ 1) ;
               GraphPlot3D[g, 
                 EdgeRenderingFunction -> 
                  (If[MemberQ[ll, #2] , col,
                      {Lighter[Hue[edgeWeight[g, #2]], .9], 
                         Opacity[op]}]≈ Join ≈ 
                     {Cylinder[#2, Max [ r edgeWeight [ g, #2], 0.01]]} &) , 
                VertexRenderingFunction -> 
                  ({Yellow, Sphere[#, r+ 0.03]} &) , Boxed -> False] ] ) ]

In[75] :=
      DynamicModule[{gu, gcur, mst, n = 11}, 
        gu = RandomGraph[n, . 6] ;
        While[! ConnectedQfgu], gu = RandomGraph[n, . 6] ] ; 
        gcur = SetEdgeWeights[gu]; 
        mst = MinimumSpanningTree[gcur] ; 
        Manipulate[plotWGraph[gcur, Edges[mst], r, Red, Orange],
           {r, 0.01, 0.1}],
        Initialization : -> (Needs ["Combinatorica" "] ; 
           edgeW[g_, e_] : = GetEdgeWeights[g, {e}][[l]]; 
           plotWGraph[g_, 1_, r_, coll_, col2_] :=Module[{11}, 
              11 = l ≈ Join ≈ (RotateLeft[#, 1] & /@1) ; 
              GraphPlot[g, EdgeRenderingFunction -> 
                 (If [MemberQ[ll, #2], {col1, Thickness [r edgeW[g, #2]], 
                       Line[#2]}, {col2, Thickness [r edgeW[g, #2]], 
                       Opacity[0. 4] , Line[#2]}] &), 
              VertexLabeling -> True] ] ) ]

Пример оптимизационной задачи: евклидовы минимальные остовные деревья, триангуляции Делоне, диаграммы Вороного

Если множество вершин графа содержится в метрическом пространстве (Х, \rho) , то весовая функция на ребрах такого графа естественно определяется как \rho -расстояние между соответствующими вершинами. Минимальное остовное дерево (МОД) в полном графе с вершинами в метрическом пространстве называется метрическим МОД В частном случае, когда метрическое пространство - это евклидово пространство, а весовая функция -евклидово расстояние между точками, метрическое МОД называют ЕМО. В этом примере рассматривается случай евклидовой плоскости. Нам показалось удобнее самим написать процедуру рисования графов. Пунктир изображает полный граф. Отметим, что когда количество точек становится порядка 20 и выше, программа начинает работать все более медленно. Это связано с тем, что алгоритм Краскала имеет порядок сложности, пропорциональный квадрату количества ребер графа, т. е. для полного графа - четвертая степень от количества вершин. (Последнее связа но с тем, что количество ребер полного графа растет квадратично с ростом числа его вершин.) Тут на помощь приходит геометрия. Оказывается, ЕМОД (полного) графа всегда лежит в его специальном подграфе с линейным количеством ребер, а именно, в так называемой триангуляции Делоне:

In[76] : =
       DynamicModule[{pts, pCG, pts0, w, mst, ее, delauney, showTr}, 
         pts0= {{1, 0}, {0, 1}, {-1, 0}};
         Manipulate [vv = Map[{#, VertexNumber -> True} &, pts] ; 
            pCG = SetEdgeWeights [Graph [CompleteGraph [Length[pts] ] [[!]] , vv] ,
              WeightingFunction -> Euclidean] ; 
            mst = MinimumSpanningTree[pCG]; ее = Edges[mst];
            delauney = FromAdjacencyLists [#[[2]] & /@ DelaunayTriangulation [pts] ] ; 
            Show[If[showTr, {showCG[Length[pts], pts, ее],
               showGr[delauney, pts, {Black}]}, showCG[Length[pts], pts, ее]] , 
             PlotRange -> {{-2, 2}, {-2, 2}}], 
           {{pts, pts0}, Locator, LocatorAutoCreate -> True} ,
           {{showTr, False, "Показать триангуляцию Делоне"}, {True, False}}], 
          Initialization: -> (Needs [ "Combinatorica'"] ; 
            Needs["ComputationalGeometry'"]; 
            showCG [ n_, v_, edg_: { } ] : = 
             Graphics[GraphicsComplex[v,
               If [MemberQ [edg, #11]]], {Red, Thickness [0 . 015] , Opacity [0 . 7] , 
                     Line[#[[l]]] } , {Blue, Dotted, Line [#[[1]] ] } ] &/@ 
                   CompleteGraph [n] [[1]] ] ] ; 
                 showGr[g_, v_, col_: {Blue}] : = 
                  Graphics[GraphicsComplex[v, Append[col, Line[Edges[g] ] ]]];)]

Триангуляция Делоне тесно связана с так называемой диаграммой Вороного конечного подмножества M евклидова пространства. Если M = \{m_1, \dots ,m_п\}, n \ge 2, то ячейкой Вороного точки m_i называется множество W(m_i) = \{x| \rho (m_i,x) \le \rho (m_j,x) для всех j\}, где через \rho, как и выше, обозначена функция расстояния. Ячейки Вороного точек двухточечного множества M = \{m_1,m_2\} - суть полупространства (в двумерном случае - полуплоскости), порожденные серединным перпендикуляром к отрезку [m_1, m_2] . В общем случае - это выпуклые многогранные области, полученные пересечением соответствующих полупространств:

In[77] :=
   Manipulate[DiagramPlot[ pp] , 
        {(pp/ {{0, 0}/ {1- 0}}}, Locator, LocatorAutoCreate -> True}]

Триангуляция Делоне - это граф на множестве точек M евклидова пространства, две вершины которого соединены ребром-отрезком, если и только если ячейки Вороного этих вершин пересекаются по множеству коразмерности один. В случае плоскости - по отрезку или лучу.

In[78] : =
       DynamicModule[{pts, pts0, vor, delauney}, 
          pts0= {{1, 0}, {0, 1}, {-1, 0}, {0, -1}}; 
          Manipulate[ 
              delauney = FromAdjacencyLists [#|[2]] & /@ DelaunayTriangulation[pts] ] ;
              Show[{showDiaG[pts], showGr[delauney, pts, {Blue}]},
                  PlotRange -> {{-2, 2}, {-2,2}}], 
                {{pts, pts0}, Locator, LocatorAutoCreate -> True}] ,
              Initialization: -> (Needs [ "Combinatorica"'" ] ; 
                  Needs["ComputationalGeometry'" ] ;
                  pairs [ls_] := Table [{Is [i] , Is |[i + 1]] } , {i , 1, Length [Is] - 1} ] ; 
                  showGr[g_, v_f col_: {Blue}] : =
                     Graphics[GraphicsComplex[v, Append[col, Line [Edges [gr] ] ] ] ] ; 
                  showDiaGfpp ] := Module [ {hh, vd, In, edg, rs, els}, 
                       vd = VoronoiDiagram [pp] ; hh = Head[#] & /@ vd[[l]| ; 
                         In = 
                           Union[ 
                              Sort /@ Flatten [pairs [#] & /@
                                  Select [ Table [ Select [vd [[2, i, 2] , hh[[#]| == List &] , 
                                     {i, 1, Length [vd [[2]] }] , Length[#] > 1 &] , 1] ] ;
                edg = Line[vd[[1]][[#]] ] &/@ In; rs = Select [vd[[l]] , Head[#] == Ray &] ; 
                Graphics [edg ≈ Join ≈ (Line /@ Apply [List, rs , {1}])]];)]

На следующей картинке ячейки Вороного раскрашены в разные цвета:

In[79] :=
         DynamicModule [ {pts, pts0, vor, delauney}, 
           pts0 = {{1, 0}, {0, 1}, {-1, 0}, {0, -1}}; 
           Manipulate[ 
               delauney = FromAdjacencyLists[#[[2]] & /@ DelaunayTriangulation[pts]] ; 
               Show[{showDia[pts], showGr[delauney, pts, {Blue}]},
                  PlotRange -> {{-2, 2} , {-2, 2}}] , {{pts, pts0}, Locator, LocatorAutoCreate -> True}] , 
             Initialization: -> (Needs [ "Combinatorica" " ] ; 
                 Needs["ComputationalGeometry'"]; 
                 showGr[g_ , v_ , col_ : {Blue}] : =
                    Graphics[GraphicsComplex[v, Append[col, Line [Edges [g]] ] ] ] ; 
                 append[l_, r_] := Module [ {bg, en, res},
                        If [Length[r] ≠ 4, res = 1 ≈ Join ≈ r, 
                           bg = r[[{l, 2}]; 
                           en = r[[{3, 4}]; 
                           Which[ 
                              bg[[1]] == 1[l] , res = {bgI2]; bgPI } ≈ Join ≈ 1, 
                              bg[[2]] == 1[[l] , res = bg  ≈ Join ≈ 1, 
                              bg[[1]] == 1[[-l]], res = l ≈ Join ≈ bg, 
                              bg[[2]] == 1[[-1]], res = 1 ≈ Join ≈{bg[[2]] , bg[[1]]}
                           ];
                           Which[ 
                               en[[1]] ==1[[1]], res = {enI2I , en III }≈ Join ≈res , 
                               en[[2]] == 1[[1]], res = en ≈ Join ≈ res, 
                               en[[1]] ==1[[-1]], res = res ≈ Join ≈ en, 
                               en[[2]] ==1[[-1]], res = res ≈ Join ≈ {en[[2]], en[[1]]]}]
                           ];
                           res
                        ];
                      showDia[pp_] : = Module[{hh, vd. In, rs, els, pi}, 
                        vd = VoronoiDiagram[pp] ; hh = Head[#] & /@vdlll ; 
                         ln = vdIlH#I & /@ Table [Select [vd[2, i, 2]| , hhl#] == List S] ,
                            {i, 1, Length[vdI2J]}];
                         rs = Map[If [Length[#] > 0, Flatten [Apply [List, it, 1] , 1] , {}] &, 
                            vd[[1]][[#]] & /@ Table [Select [vd [[2, i, 2]], hh[[#]] == Ray &] , 
                                  {i, 1, Length[vd[[2]] ]}]] ; 
                          cls = MapThread[append[#1, #2] &, {In, rs}] ; pi = Polygon[#] & /@ cls;
                          Graphics[Table[{EdgeForm[{Thick, Dashed}],
                              ColorData[Length[pp], "ColorList"][[i]], Opacity[0.7], 
                              pl[[i]], Black, PointSize[0.02] , Point[pp[[i]] ] } , 
                            {i, 1, Length [pp]}]]]; 
            ) 
      ]

Возвращаясь к задаче о ЕМОД, с помощью триангуляции Делоне можно построить квадратичный (по количеству вершин) алгоритм построения ЕМОД. А именно, сначала строим триангуляцию Делоне, а затем уже к ней применяем алгоритм Краскала:

In [80] : =
        DynamicModule[{pts, ptsO, mst, ее, delauney, showTr}, 
              pts0= {{1, 0}, {0, 1}, {-1, 0}};
             showGr[g_, v_, col_: {Blue}] : =
               Graphics [GraphicsComplex[v, Append [ col, Line [Edges [g-] ] ]]]; 
             Manipulate[ 
               delauney = SetEdgeWeights[
                   FromAdjacencyLists [#[[2]] & /@ DelaunayTriangulation [pts] , pts] , 
                   WeightingFunction -> Euclidean] ; 
               mst = MinimumSpanningTree[delauney] ; 
               Show[ 
                  If[showTr, {showGr[mst, pts, {Red, Thickness[0.01], Opacity[0.7]}], 
                     showGr[delauney, pts, {Blue}]}, 
                    showGr[mst, pts, {Red, Thickness[0.01]}]], 
                  PlotRange -> 
               {{-2, 2}, {-2, 2}}], {{pts, pts0}, Locator, LocatorAutoCreate -> True} ,
               {{showTr, False, "Показать триангуляцию Делоне"}, {True, False}}], 
             Initialization : -> (Needs [ "Combinatorica' " ] ; 
                 Needs["ComputationalGeometry *"])
     ]

Замечание 7.3.1. На самом деле в общем случае алгоритм Краскала построения МОД работает со скоростью |E|ln|E|, а алгоритм построения ЕМОД, использующий триангуляцию Делоне, - со скоростью |V |ln|V |.

В качестве примера построим минимальные остовные деревья, соединяющие крупные города Германии и Великобритании. Напомним, Mathematica включает в себя большие базы данных по естественным наукам, в частности, по географии. Эти базы данных, впрочем, находятся на сайте компании Wolfram, поэтому, чтобы ими пользоваться непосредственно, нужен доступ к сети. В приведенных примерах мы просто выкачали информацию о геометрической форме страны и ее флаге из базы CountryData, и координаты и названия крупных (больше 100000 жителей) городов выбранных стран из базы CityData. Отметим также наличие баз данных по молекулярной биологии, астрономии, физике, химии, лингвистике, финансам и пр. (см. Scientific & Technical Data ).

In[81] : =
          germCitiesCoord = {{{52.52 ", 13.38 "}}, {{53.55 ", 10. '}}{* ... *) } ;
          ukCitiesCoord = {{{51.5", -0.1166667"}}, {{52.4666667", -1.9166667"}}
                 (* . . . *)};
          germCitiesNames = {"Berlin", "Hamburg", "Munich", "Cologne" (* ... *)}; 
          ukCitiesNames = {"London", "Birmingham", "Glasgow", "Liverpool" (* ... *)}; 
          germPoly =
             Polygon[{{{5.90725', 50.7242'}, {6.02985', 50.8203'}, {6.07395', 50.8833'}, 
                 {6.08445', 50.9323}, {6.05505', 50.9715}, {6.02985', 50.9785} 
                 (* ... *)}, {{13.9187', 53.886'}, {13.8735', 53.8918}, 
                 {13.87', 53.9166'} (. ... *)} (* ... *)}];
           ukPolygon =
                 Polygon[{{{-5.80035', 55.3191'}, {-5.83335', 55.3252'},
                 {-5.8559', 55.3505'}},
               {{-7.1481', 55.1193-}, {-7.1613', 55.0969'}, {-7.154', 55.0852} 
                  (* ... *)} (* ... * }];

sph[v_] := {Cos [v[[ll] Degree] Cos [v|[2]] Degree] ,
               Cos [v[[ll] Degree] Sin [v[[2I] Degree] , Sin[v[[ll] Degree] } ; 
         geoDist[a_, b_] := N[2 ArcSin [Norm [sph [afl2]] ] - sph[b[[2]j] ] /2] ] ; 
         Needs["Combinatoricav"]; 
         geoMST [ cnt_] : =
            Module[{cts, ctsT, names, flag, poly, edges, gWeight, mst, col}, 
               If[cnt == "Germany", cts = germCitiesCoord; names = germCitiesNames; 
               flag = gflag; col = LightOrange; poly = germPoly, cts = ukCitiesCoord; 
               names = ukCitiesNames; flag = ukflag; poly = ukPolygon; col = LightGray]; 
           edges = Edges[CompleteGraph[Length[cts]] , All] ;
           gWeight = SetEdgeWeights[Graph[edges, cts] , WeightingFunction -> geoDist] ; 
           mst = Edges[MinimumSpanningTree[gWeight]] ; 
           ctsT = Reverse /@ Flatten [cts, 1] ; 
           Graphics[{col, EdgeForm[Black], poly, Thick, Green,
              MapThread[Line[{#2, &2}] &, {ctsT[I^[[l]]I &/@mst, ctsT[I#[[2I]I &/@ mst}],
              PointSize [Medium] , Red,
              MapThread [Tooltip [Point [#1] , #2] &, {ctsT, names}] ,
              Inset[flag, {Right, Top}, {Right, Top}, 2]}]
     ];
      GraphicsRow [geoMST [#] & /@ { "Germany" , "UnitedKingdom" } ]

< Лекция 6 || Лекция 7: 123456 || Лекция 8 >
Олег Корсак
Олег Корсак
Латвия, Рига
Александр Дронов
Александр Дронов
Россия, Воронеж, Воронежский государственный технический университет, 1995