Опубликован: 27.12.2010 | Доступ: свободный | Студентов: 813 / 130 | Оценка: 5.00 / 5.00 | Длительность: 18:38:00
ISBN: 978-5-9556-0117-5
Специальности: Математик
Лекция 6:

Кривые и поверхности в компьютерной геометрии, II

Измельчение сетки при сохранении поверхности Безье

Добавление новых узлов в сетку Безье без изменения самой поверхности происходит по формулам, полностью аналогичным формулам добавления опорных точек в кривую Безье. Если дана сетка Безье P_{mn} = (p_{ij})_{i,j}^{m,n}=0, то увеличенная на одну строку и на один столбец сетка Q_{(m+1)(n+1)} для той же самой поверхности Безье строится по формулам

q_{ij}=\frac{1}{m+1}\frac{1}{n+1}((m+1-i)(1 - \delta_{(m+1)i})+i(1-\delta_{0i})E^{-1})\times\\
\times((n+1-j)(1-\delta_{(n+1)j})+j(1-\delta_{0j}F^{-1})p_{ij}.

При этом углы новой сетки совпадут с углами старой: q_{00} = p_{00}, q_{(m+1)0} = p_{m0}, q_{0(n+1)} = p_{0n}, q_{(m+1)(n+1)} = p_{mn}.

Вычисление дифференциально-геометрических характеристик поверхности Безье в произвольной точке

Прежде всего заметим, что с помощью деления поверхности Безье любая наперед заданная точка этой поверхности может быть представлена как угловая точка новой поверхности Безье, являющейся частью исходной, а потому имеющей в каждой своей точке те же самые дифференциально-геометрические свойства, что и исходная поверхность Безье. Следовательно, для вычисления дифференциально-геометрических характеристик поверхности Безье в произвольной точке достаточно уметь вычислять эти характеристики лишь для угловой точки поверхности Безье с нулевыми значениями параметрических координат.

Таким образом, достаточны следующие формулы.

Касательные векторы к поверхности Безье в угловой точке p_{00} могут быть вычислены по формулам T_u(0) = m(p_{10} - p_{00}) и T_v(0) = n(p_{01} - p_{00}).

Нормаль к поверхности в угловой точке дается формулой N =\frac{T_u(0) \times T_v(0)}{|T_u(0) \times T_v(0)|}

Вторые производные радиус-вектора поверхности Безье по параметрическим координатам в точке p_{00} равны

\frac{\partial^2}{\partial u^2}\left |_{u=0, v=0}S_{00}(u,v; m,n)=\frac{\partial^2}{\partial u^2} \left |_{u=0, v=0}(1-u+Eu)^m(1-v+Fv)^np_{00}=\\
m(m-1)(p_{20}-2p_{10}+p_{00}),
\frac{\partial^2}{\partial v^2} \left |_{u=0, v=0}S_{00}(u, v;m, n)=n(n-1)(p_{02}-2p_{01}+p_{00}),
\frac{\partial^2}{\partial v \partial v} \left |_{u=0, v=0}S_{00}=(u, v;m, n)=mn(p_{11}-p_{10}-p_{01}+p_{00}).

Вычислив, согласно приведенным формулам, первые и вторые производные в угловой точке, а также нормаль к поверхности в этой точке, мы сможем вычислить гауссову и среднюю кривизны, главные направления и главные кривизны в угловой точке. Все эти величины будут выражаться через узлы сетки: p_{00}, p_{01}, p_{02}, p_{10}, p_{20}.

Для произвольной точки S_{00}(u^*,v^*;m,n) поступаем так:

  1. делим поверхность в этой точке и вычисляем узлы p_{00}^{bd}, p_{01}^{bd}, p_{02}^{bd}, p_{10}^{bd}, p_{20}^{bd} ;
  2. вычисляем геометрические характеристики в данной точке через эти узлы.

Пример 6.2.2. Чайник, нарисованный с помощью поверхности Безье. Чайник состоит из заплат:

In[13]:=
    DynamicModule[{potPoints, рр2, potPatches, t, i, n, Bernstein, 
       BezierSurface}, potPoints = {{1.4, 0, 2.4}, 
      (* Оставшиеся 304 точки *)
      {1.425, -0.798, 0}}; (* это точки каркаса чайника, их 306 *) 
    рр2 = With[{avg = Mean [potPoints]}, Map[(j" - avg) &, potPoints]];
      (*усреднили все точки и составили из них список*) 
    potPatches = {{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16}, 
      (* оставшиеся тридцать заплат *)
      {270, 270, 270, 270, 300, 305, 306, 279, 297, 303, 304, 275, 294, 
         301, 302, 271}}; ("чайник сосотоит из заплат, их 32 штуки*) 
    Bernstein [i_Tnteger, n_Integer,   t_Symbol]  : =
       Binomial [n, i] t^i (1 - t) ^ (n - i) ; ("полиномы Бернштейна*) 
    Bernstein [n_Integer,   t_Symbol]    :=  Map [Bernstein [#, n, t]  &, Range [0, n] ] ];
      (*базис -- список всех полиномов Бернштейна*) 
    BezierSurface[pts_,   u_,   y_, m_]    :=
       Module [{dim = Dimensions [pts] , avg = Mean [Flatten [pts,   1]]}, 
           Bernstein [dim[ [1] ] - 1, u] .Map [Bernstein [dim [ [2] ] - 1, v] .# &,
           Map[(#) &, pts]] + m*avg] ; ("формула поверхности Безье*) 
    Manipulate[
       ParametricPlot3D [Evaluate [BezierSurface [#, s, t, m] & / @
            (Transpose [Partition [Part [pp2 , #] , 4]] & /@  potPatches) ] , 
        (*делаем матрицу опорных точек и для них рисуем поверхность Безье*) 
       {s, 0, 1}, {t, 0, 1}, Axes -> None, Boxed -> False, Evaluated -> False, 
       PlotPoints -> ControlActive[{3, 3}, {8, 8}], 
       PlotStyle -> Directive[Specularity[White, 50], Yellow], 
       MaxRecursion -> 0, Mesh -> None, PerformanceGoal -> "Speed", 
       ImageSize -> {450, 350}], {{m, 0, "Разбиение"}, 0, 1}, 
    SaveDefinitions -> True]]

B-поверхности

Пусть задана матрица опорных точек (p_{ij} ), 1 \le i \le n, 1 \le j \le m, с весами ( \omega_{ij} ). Фиксируем числа p и q - порядки B -сплайнов в двух координатных направлениях u и v соответственно. Тогда B -поверхность порядка (p,q), построенная по матрице опорных точек (p_{ij}) с весами (\omega_{ij}) и по двум расширенным множествам узлов в направлениях u и v соответственно, определяется формулой

r(u,v)=\frac{\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m N_{i,q}(v)N_{j,p}(u) \omega_{ij}p_{ij}}{\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m N_{i,q}(v)N_{j,p}(u) \omega_{ij}} ( 6.11)

Если ввести новые обозначения для входящих в эту формулу произведений B -сплайнов

N_{ij,qp}(v,u) = N_{i,q}(v)N_{j,p}(u),

то формула (6.11) перепишется в виде

r(u,v)=\frac{\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m N_{ij,qp}(v,u) \omega_{ij}p_{ij}}{\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m N_{ij,qp}(v,u) \omega_{ij}} ( 6.12)

Если расширенные множества узлов в u и v -направлениях имеют вид

\begin{matrix}
u_i=\dots =u_p,& u_{p+1}, \dots , u_n, & u_{n+1}= \dots =u_{n+p},\\
v_1= \dots v_p, & v_{q+1}, \dots, v_n, & v_{n+1}= \dots = v_{n+q}
\end{matrix}

то область изменения параметров (u,v) на B -поверхности (6.12) будет следующей:

u_p \le u \le u_{n+1}, v_q \le v \le v_{n+1}

Задача 6.2.2. Наглядно изучить влияние опорных точек и расширенного множества узлов на B-поверхность, порождаемую пакетом Mathematica с помощью следующей программы. Поменять в программе автоматический выбор расширенных множеств узлов на прямое задание этих узлов. Изучить влияние расширенных множеств узлов на B -поверхность.

Пример 6.2.3. B -поверхность. Для обеих поверхностей задан одинаковый остов. В первом случае поверхность "замыкается" только по оси Ox, во втором случаем - по обеим осям.

In[14] : = pts = Table [{Cos [2 Pi u / 6] Cos [v] , Sin [2 Pi u / 6] Cos [v] ,  v} , {u, 6} ,
                   {v, -1, 1, 1/2}] ;
              f = BSplineEunction [pts , SplineClosed -> {True, False},
                   SplineKnots -> Automatic] ; 
             g = BSplineFunction [pts , SplineClosed -> {True, True},
                      SplineKnots -> Automatic] ;

             Show[Graphics3D[{PointSize[Large], Red, Map[Point, pts]}], 
                Graphics3D[{Gray, Dashed, Line[pts], Gray, Line[Transpose[pts]]}], 
                ParametricPlot3D[f [u, v] , {u, 0, 1}, {v, 0, 1}]]

            Show[Graphics3D[{PointSize[Large], Red, Map[Point, pts]}], 
               Graphics3D[{Gray, Dashed, Line[pts], Gray, Line[Transpose[pts]]}], 
               ParametricPlot3D[g[u, v] , {u, 0, 1} , {v, 0, 1}]]


Пример 6.2.4. Моделирование кузова автомобиля с помощью В -поверхности.

In[19]: =
       DynamicModule[{colour, carbody, deg, mesh}, 
         Manipulate [Graphics3D [ {colour, Specularity [White, 50], 
            BSplineSurface[carbody, SplineDegree -> Floor[deg]], 
            If[mesh,
              {Dashed, Blue, Line[carbody], Line[Transpose[carbody]], 
                   Red, PointSize [Medium] , Point /@ carbody}, {}]}, 
            Boxed -> False, Lighting -> "Neutral", RotationAction -> "Clip", 
              Viewpoint -> {-2, -2, 2}],

             Row[ 
                {Control[{{deg, {1, 1}, "Порядок"}, {1, 1}, {14, 7},
                    ImageSize -> {140, 140}}], Dynamic[Floor[deg]]}, Spacer[10]],

             Row[ 
                {Control[{{colour, Yellow, "Цвет"}, ColorData["HTML", "GoldenRod"]}], 
                  Control[{{mesh, True, "Сетка"}, {False, True}}]}, Spacer[10]]], 
         Initialization :-> 
           (carbody =
                 {{{-.2, -2.25, 0}, {-.2, -2.25, 0}, {-.2, -2, 0}, {-.2, 0, 0}, 
                       {-.2, 2, 0}, {-.2, 2.25, 0}, {-.2, 2.25, 0}} 
          (* Другие опорные точки *)
                      {{11, -2.25, 0}, {11, -2.25, 2}, {11, -2, 2}, {11, 0, 2}, 
                        {11, 2, 2}, {11, 2.25, 2}, {11, 2.25, 0}}, 
                   {{11.01, -2.25, 0}, {11.01, -2.25, 0}, {11.01, -2, 0}, 
                      {11.01, 0, 0}, {11.01, 2, 0}, {11.01, 2.25, 0}, {11.01, 2.25, 0}} 
          })]

Пример 6.2.5. Интерполяция заданного рисунка с помощью поверхности Безье и B -поверхности.

In[20]: =
        DynamicModule {f, colfun, prevn =5, prevapprox =True, start, locators, grid, 
            order, approx, images},

Manipulate {* Создали список, который задает рисунок, 
              и для этого списка построили В-функцию, т.е. мы  "синтерполировали"  рисунок*) 
              colfun = BSplineFunction[ImageDatafimages[[ii]]] , SplineDegree ->1] ; 
              (* Первоначальная сетка *) 
            If [n = ! = prevn , 
              pts = Flatten [Table [{i, j}, {i, 0, 1, 1/ (n - 1) }, {j , 0, 1, 1 / {n- 1) }] , 1] ;
              If[approx, order = n - 1, order = 2] ; prevn = n]; 
           (* Выбираем порядок интерполяции *)
           If [ approx = ! = prevapprox, If [ approx, order = n - 1, order = 2 ] ; prevapprox = approx] ; 
           If[approx, 
            f = BSplineFunction [Partition [pts , n] , SplineDegree -> order,
               Method -> {"Extrapolation" -> "Clamp"1}] , 
            f = Interpolation[
               Flatten[Table[{{N[1 / (n-1)] i, N[1/ (n-1)] j } ,  pts [ [nit] + 1] ] } ,
                   {i, 0, n-1}, {j, 0, n-1}], 1], Method -> "Spline" , InterpolationOrder -> order] ]
           ];
          {*Рисуем картинки*)
           ParametricPlot[f [u, v] , {u, 0, 1}, {v, 0, 1}, ColorFunction -> (colfun [1 - #4, #3] &) ,
             MaxRecursion -> 0, PlotPoints -> ControlActive[20, 100] , Mesh -> None, 
             Epilog -> 
               {If[grid, {Gray, Opacity[,7], Line[Partition[pts, n] ] ,
                    Line[Transpose[Partition[pts, n]]]}, {}], If[locators, Locator/@pts, {}]}, 
              ImageSise -> 400, PlotRange -> { {0 , 1}, {0, 1}}, PlotRangePadding -> Scaled[. 03] ,
              FrameTicks -> None] , 
            (*элементы управления*) 
            {{pts, Flatten[Table[{i, j}, {i, 0, 1, .25}, {j, 0, 1, -25}], 1]}, {0, 0},
              {1, 1}, Locator, Appearance -> None} , 
            {{ii, 1, "Объкт интерполирования"}, {1 -> ''Медведь" , 2 -> "Шахматная доска"},
               ControlType -> RadioButton} , 
             Delimiter, {{n, 4, "Размер сетки"}, 4, 8, 1, ControlType -> RadioButton} , 
            {{approx, True, ''Метод"}, {True -> "Поверхность Безье" , False -> "В-поверхность" } ,
              ControlType -> RadioButton} , 
            {{order, 3, "Порядок В-поверхности"}, 
               Dynamic [RadioButtonBar [Dynamic [order] , Range [2, n-1, 1], 
                    Enabled -> Not [ approx ] ] ] & } , 
           Delimiter, Row[{Control[{{grid, True, "Показать сетку"}, {True, False}}], 
                Control[{{locators, True, "Показать локаторы"}, {True, False}}], 
                Control[{{start, " ", " "},
                   Button["Первоначальная сетка",
                       pts = Flatten [Table[{i, j} , {i, 0, 1, l/(n-l)}, {j, 0, 1, l/(n-l)}], 1]] &}]}, 
                Spacer[10]], 
            {* Код, соответствующий второму рисунку, 
           следующий: 
             Image[Table[Boole[Xor[EvenQ[Quotient[i-1,20]],EvenQ[Quotient[j-1,20]]]], 
               {i,200},{j,200},{k,3}]] *)
               Initialization:-> ( images = {

};) ]]

Олег Корсак
Олег Корсак
Латвия, Рига
Александр Дронов
Александр Дронов
Россия, Воронеж, Воронежский государственный технический университет, 1995