Опубликован: 27.12.2010 | Доступ: свободный | Студентов: 813 / 130 | Оценка: 5.00 / 5.00 | Длительность: 18:38:00
ISBN: 978-5-9556-0117-5
Специальности: Математик
Лекция 5:

Кривые и поверхности в компьютерной геометрии, I

Кубические сплайны

Пусть дана (n + 1) точка p_0, \dots ,p_n \in R^2. Требуется провести через эти точки кривую класса C^2, т. е. имеющую непрерывные первые и вторые производные радиус-вектора по параметру: r = r(t), r(t_i) = p_i, i = 0, \dots , n, и \dot r(t), \ddot r(t) - непрерывны по t. Решение этой задачи можно дать в виде кубического сплайна. На каждом участке [t_i,t_{i+1}] такой сплайн описывается полиномом третьей степени по t. При полиномиальной интерполяции степень полинома в данной задаче не может быть, вообще говоря, сделана меньше 3. Поэтому кубический сплайн имеет наименьшую степень в данной постановке задачи и определяется однозначно.

Пусть искомый сплайн задается параметрическим уравнением r = r(t) . Обозначим s_i = \ddot r(t_i ), i = 0, \dots , n. Поскольку сплайн является кубическим, вторая производная радиус-вектора будет линейной функцией на каждом отрезке [t_i,t_{i+1}]:

\frac{d^2r}{dt^2}=s_i \frac{t_{i+1}-t}{t_{i+1}-t_i}+s_{i+1}\frac{t-t_i}{t_{i+1}-t_i}. ( 5.12)

Проинтегрируем (5.12) два раза. Получим

r(t)=s_i \frac{(t_{i+1}-t)^3}{6(t_{i+1}-t_i)}+s_{i+1}\frac{(t-t_i)^3}{6(t_{i+1}-t_i)}+c_1t+c_2 ( 5.13)

Постоянные c_1 и c_2 определим из условий, заданных на концах данного участка кривой:

\begin{cases}
r(t_i)=p_i,\\
r(t_{i+1})=p_{i+1}
\end{cases} ( 5.14)

Подстановка (5.13) в (5.14) и вычисление c_1, c_2 приводит к следующему ответу:

r(t)=s_i \frac{(t_{i+1}-t)^3}{6(t_{i+1}-t_i)}+s_{i+1} \frac{(t-t_i)^3}{6(t_{i+1}-t_i)}+\\
+\left( \frac{p_i}{t_{i+1}-t_i}- s_i \frac{t_{i+1}-t_i}{6}\right)(t_{i+1}-t)+\\
+ \left( \frac{p_{i+1}}{t_{i+1}-t_i}-s_{i+1} \frac{t_{i+1}-t_i}{6}\right) (t-t_i) ( 5.15)

Правая часть (5.15) является кубическим полиномом по t на отрезке [t_i,t_{i+1}]. Она содержит два неизвестных векторных параметра s_i и s_{i+1}. Их можно определить из условия согласованности первых производных на концах отрезков [t_i,t_{i+1}]. Пока мы еще не использовали этого условия (вторые производные уже согласованы в силу определения si). На левом конце отрезка [t_i,t_{i +1}] мы имеем

\frac{dr}{dt} \left |_{t=t_i}=- \frac{(2s_i+s_{i+1})(t_{i+1}-t_i)}{6}+\frac{p_{i+1}-p_i}{t_{i+1}-t_i} ( 5.16)

Аналогично, на правом конце отрезка [t_{i-1},t_i] , т.е. в той же точке t_i, имеем

\frac{dr}{dt} \left |_{t=t_i}= \frac{(2s_i+s_{i-1})(t_i-t_{i-1})}{6}+\frac{p_i-p_i-1}{t_i-t_i-1}} ( 5.17)

Приравнивая правые части (5.16) и (5.17), получим (n - 1) уравнение для внутренних точек i = 1, \dots ,n-1:

s_{i-1}(t_i-t_{i-1})+2s_i(t_{i+1}-t_{i-1})+s_{i+1}(t_{i+1}-t_i)=6\frac{p_{i+1}-p_i}{t_{i+1}-t_i}-6 \frac{p_i-p_{i-1}}{t_i-t_{i-1}},\\
i=1, \dots, n-1 ( 5.18)

Система (5.18) представляет собой систему из (n - 1) векторного уравнения (или, что то же самое, 2(n - 1) скалярного уравнения) с ленточной трехдиагональной матрицей и (n+1) векторных неизвестных s_0, \dots , s_n (что соответствует 2(n+ 1) скалярных неизвестных). Если кривая замкнута, то s_0 = s_n и в систему (5.18) добавляется еще одно уравнение для i = n:

s_{n+1}=s_1.

Таким образом, для замкнутой кривой число неизвестных равно числу уравнений и система имеет единственное решение.

Если кривая незамкнута, то необходимо задать граничные условия. Например, если рассматривать сплайны как гибкую нить, концы которой не имеют нагрузки на изгиб, получим такое условие:

s_0 = s_n=0. ( 5.19)

Еще один возможный вариант граничных условий:

s_0 = s_1, s_n = s_{n-1} ( 5.20)

В последнем случае концевые участки кривой будут иметь постоянную кривизну.

Определив из системы (5.18) и граничных условий вида (5.19) или (5.20) (или каких-либо других, следующих из постановки задачи) значения s_0,  \dots , s_n, получим формулу для искомого кубического сплайна на участке [t_i, t_{i+1}]:

r(t) = (1 - w)p_i + wp_{i+1} +((-2w + 3w^2 - w^3 )s_i + (-w + w^3 )s_{i+1} )\frac{(_{ti+1}-t_i)^2}{6},

где w =\frac{t-t_i}{t_{i+1}-t_i} - местный параметр на участке [t_i,t_{i+1}].

Замечание 5.2.1.

  1. В отличие от составного сплайна Эрмита, для кубического сплайна изменение положения одной из опорных точек всегда приводит к перевычислению всего сплайна.
  2. Если взять равномерную параметризацию, т. е. положить t_i = i, i = 0, \dots  ,n, то уравнения (5.18) примут совсем простой вид:

    s_{i-1} + 4s_i + s_{i+1} = 6(p_{i+1} - 2p_i + p_{i-1}), i = 1, \dots , n - 1.

Однако равномерная параметризация в случае неравномерного расположения опорных точек может привести к появлению необоснованных изгибов сплайна. Для того чтобы сплайн не имел подобных изгибов, параметризацию следует выбирать приблизительно натуральной. Для этого достаточно потребовать выполнения приблизительного равенства:

\frac{|p_{i+1}-p_i|}{t_{i+1}-t_i} \approx \frac{|p_i-p_{i-1}|}{t_i-t_{i-1}}.

Сплайны в пакете Mathematica. Для создания сплайнов используется подпакет SplineFit, просто надо загрузить Splines' из Splines Package. Для этого используется функция SplineFit[data, type] , которая возвращает сплайн для данных data, используя сплайн-аппроксимацию типа type - по умолчанию это кубический сплайн Cube (другие типы - Bezier и CompositeBezier ).

Пример 5.2.5. Кубический сплайн с шестью управляемыми мышью опорными точками:

In[6] : = DynamicModule [ {pts , pts0, n = 6, spline},
                   Pts0= {{6.0, -5.0}, {0.0, 0.0}, {4.8, 5.2}, {20.3, 10.5}, {6.8, 12.2}, 
                         {20.0, 20.0}}; 
                   Manipulate[Show[{
                            ParametrioPlot[spline[pts][x], {x, 0, 6}, 
                              PlotStyle -> {Thick}] , Graphics [ {Red, 
                                Text[ToString[#- 1] ,
                                    pts[[#]] + {1.4, 0}] & /@ Range [n] }} } , 
                          PlotRange ->{{-l,23}, {-6, 21}}], 
                      {{pts, ptsO}, Locator}], 
                   Initialization : -> ( 
                        Needs["Splines'"]; 
                         spline[pfcs_] := SplineFit[pts, Cubic])]

Олег Корсак
Олег Корсак
Латвия, Рига
Александр Дронов
Александр Дронов
Россия, Воронеж, Воронежский государственный технический университет, 1995