Мордовский государственный университет имени Н.П. Огарева
Опубликован: 30.11.2010 | Доступ: свободный | Студентов: 2661 / 1424 | Оценка: 4.12 / 4.13 | Длительность: 14:38:00
ISBN: 978-5-9963-0352-6
Лекция 9:

Планирование и обработка результатов пассивного эксперимента

< Лекция 8 || Лекция 9: 1234 || Лекция 10 >
Аннотация: Цель работы: практически изучить применение линейных регрессионных моделей эксперимента с помощью компьютерного моделирования для случая, когда объект исследования по техническим, технологическим или экономическим соображениям не допускает преднамеренного варьирования входных переменных в необходимом диапазоне, и о виде математической модели и ее параметров делается заключение по результатам наблюдений входных и выходных переменных в режиме нормального функционирования исследуемого объекта или системы. Среда программирования — MATLAB.

Теоретическая часть

Основная задача пассивного эксперимента — по результатам наблюдений сделать некоторые выводы о параметрах математической модели эксперимента [1]. При этом вид ее предполагается известным, а параметры — неизвестными. Далее будет рассматриваться класс линейных регрессионных моделей эксперимента.

В общем случае объект исследования представляется в виде схемы, представленной на рис. 9.1, где X = \{x_{1}, x_{2}, … , x_{k}\} — входные величины или факторы; y_{i}i -я выходная величина ( i = 1, 2, … , n ); \epsilon — случайные неконтролируемые возмущения [12].

Под моделью объекта по i -му каналу понимают функцию

y_i = f(x_1, x_2, … , x_k). ( 9.1)

Так как имеются случайные неконтролируемые возмущения, изменение функции (9.1) носит случайный характер, а потому для получения математического описания (9.1) применяются методы регрессионного анализа на основе статистических данных, накопленных в результате проведения эксперимента.

Схема объекта исследования

Рис. 9.1. Схема объекта исследования

Применение метода пассивного эксперимента может быть успешным, если при его проведении соблюдаются необходимые условия, к которым относятся такие, как правильное определение времени регистрации данных, обеспечение независимости соседних измерений и входных переменных друг от друга, достаточный с точки зрения математической статистики объем экспериментальных данных [12].

Если функция не имеет бесконечных разрывов, то ее можно разложить в степенной ряд Тейлора:

y=f(x_1,x_2,...,x_k)=b_0+\sum\limits_{j=1}^{k}b_jx_j+\sum\limits_{i,j=1}^{k}b_{ij}x_ix_j+\sum\limits_{j=1}^{k}b_{jj}x_j^2+..., ( 9.2)

где b_{0}, b_{j}, b_{ij}, b_{jj} — постоянные коэффициенты уравнения, оценки которых необходимо определить в результате постановки и проведения пассивного эксперимента; k — число наиболее существенных входных величин, полученных в результате отсеивающего эксперимента.

Пространство, в котором строится поверхность отклика – реакция выходной величины, называется факторным пространством .

Для применения методов регрессионного анализа требуется выполнение ряда предпосылок [12], а именно:

  1. результаты наблюдений y_{1}, y_{2}, … , y_{N} выходной величины в точках факторного пространства представляют собой независимые случайные величины, распределенные по нормальному закону, а процесс изменения выходной величины должен быть стационарным во времени;
  2. дисперсии D_{yi} (i = 1, 2, … , N) этих случайных величин должны быть равны друг другу (выборочные оценки дисперсий однородны);
  3. все значения входных величин должны измеряться с пренебрежимо малой ошибкой по сравнению с ошибкой измерения выходной величины;
  4. входные величины не должны коррелировать между собой;
  5. все соседние измерения по каждой j -й входной величине должны быть независимы.

Число коэффициентов уравнения (9.2) определяет объем эксперимента. Поэтому выбирают такой полином, который содержит как можно меньше коэффициентов, но удовлетворяет требованию простоты и адекватности, под которой понимается способность модели предсказывать результаты эксперимента в некоторой области с требуемой точностью.

Часто на предварительной стадии исследования объекта выбирают полином первой степени (включая первую сумму в уравнении (9.2), т. е. в разложении Тейлора), предполагая, что параметры объекта лежат в области, в которой расположен экстремум исследуемой функции (выходная величина системы – отклик), и поэтому объект описывается линейной моделью. Если же эта линейная модель оказывается неадекватной, то в нее включают члены парного взаимодействия x_{i}x_{j} (включая вторую сумму в уравнении (9.2), т. е. в разложении Тейлора), а при необходимости увеличивают степень полинома до тех пор, пока модель не окажется адекватной [12].

В результате регрессионного анализа результатов пассивного эксперимента находят оценки коэффициентов уравнения регрессии \beta_{0},\mbox{  } \beta_{j},\mbox{  }\beta_{ij},\mbox{  }\beta_{jj},\mbox{  }….

1. План эксперимента

Рассмотрим эксперимент, в котором проводится N измерений зависимой переменной y в некоторых точках факторного пространства [1]. Обозначим через y_{u} наблюдаемое значение зависимой переменной у в u -м опыте в точке

х^{u} = (x_{1u}, x_{2u}, …, x_{ku}),  u = 1, 2, … , N.

Здесь x_{iu} (i = 1, 2, … , k) — значение переменной x_{i} в u -м опыте.

Определение 1. Набор точек x^{u}\mbox{  }(u = 1, 2, … , N) называется планом эксперимента. Точки при этом не обязательно должны быть различными. Матрица вида

X=\left[\begin{array}{cccc} 
x_{11}& x_{21} &\ldots & x_{k1}\\
x_{12}& x_{22} &\ldots & x_{k2}\\
\ldots& \ldots &\ldots & \ldots\\
x_{1N}& x_{2N} &\ldots & x_{kN}
\end{array} 
\right] ( 9.3)

называется матрицей плана эксперимента.

Если обозначить различные точки плана через х_{1}, х_{2}, … , х_{n}, то совокупность таких точек называется спектром плана.

Определение 2. Нормированным планом \varepsilon(N) называют совокупность величин х_{1}, х_{2}, … , х_{n} ; р_{1}, р_{2}, … , р_{n}, где \sum\limits_{i=1}^{n}p_i,\mbox{   }p_i=m_i/N,\nbox{   }\sum\limits_{i=1}^{n}m_i=N.

В пассивном эксперименте задача построения плана не рассматривается. Матрица плана (9.3) предполагается известной (заданной) или является предопределенной условиями проведения эксперимента [1]. Задача исследователя в пассивном эксперименте состоит в выполнении наблюдений над выходной (зависимой) переменной в точках, определяемых матрицей плана, и последующем анализе их результатов.

Примечание. В случае, когда регрессионная модель строится непосредственно по измерениям без предварительного усреднения, для того чтобы произвести оценку свободного члена, в модели необходимо представить матрицу плана в виде

X=\left[\begin{array}{ccccc} 
1&x_{11}& x_{21} &\ldots & x_{k1}\\
1&x_{12}& x_{22} &\ldots & x_{k2}\\
\ldots&\ldots& \ldots &\ldots & \ldots\\
1&x_{1N}& x_{2N} &\ldots & x_{kN}
\end{array} 
\right] ( 9.4)

2. Одномерная регрессионная модель эксперимента

В общем случае вид функции отклика неизвестен. Будем предполагать, что функция отклика является одномерной и представима в виде

y=\sum\limits_{j=1}^{p}f_{j}(x_1,x_2,...,x_k)\beta_j, ( 9.5)

где:

\beta = (\beta_1, \beta_2, … , \beta_р) есть р -мерный вектор неизвестных параметров;

\{f_{j}(x_{1}, x_{2}, … , x_{k})\} — известные функции, которые называются еще базисными функциями.

Под регрессионной моделью эксперимента будем понимать линейную по параметрам \beta_1, \beta_2, … , \beta_р функцию отклика (9.5).

В качестве примера рассмотрим функцию отклика

у = \beta_0 + \beta_1х + \beta_{11}х^2.

Построим матрицу планирования по заданным измерениям входной переменной х = (2, 4, –3, 1). В соответствии с (9.4) будем иметь

X=\left[\begin{array}{ccccc} 
1&2& 4\\
1&4& 16\\
1&-3& 9\\
1&1&1
\end{array} 
\right] .

Еще один пример. Пусть функция отклика имеет вид

y=\beta_0+\beta_1x_1+\beta_2x_2+\beta_{12}x_1x_2.

Значения независимых переменных равны следующим значениям:

х_{1} = (–1, 1, –1, 1),\mbox{  }х_{2} = (–1, –1, 1, 1).

Тогда матрица планирования будет иметь такой вид, что в верхней строчке ее будут указаны аргументы функции отклика

X=\left[\begin{array}{ccccc} 
x_0&x_1& x_2 &x_1x_2\\
1&-1& -1 &1\\
1&1& -1 &-1\\
1&-1& 1 &-1\\
1&1& 1 &1\\
\end{array} 
\right],

где х_{0} = 1 — фиктивная переменная.

3. Оценивание параметров одномерной функции отклика

В случае, когда одномерная функция отклика является линейной относительно неизвестных параметров, т. е.

y=\sum\limits_{j=1}^{p}f_{j}(x_1,x_2,...,x_k)\beta_j,

в произвольной точке (x_1, x_2, … , x_k)\in G\subset R^k по результатам наблюдений (измерений) в точках x_{1}, x_{2}, … , x_{N}, где x_{u} = (x_{1u}, x_{2u}, … , x_{ku}), задаваемых матрицей плана (планирования) M = (x_{iu}) (i = 1, 2, … , k; u = 1, 2, … , N), наилучшая оценка в смысле метода наименьших квадратов равна

\hat\beta=(X^TX)^{-1}X^TY, ( 9.6)

если ранг матрицы планирования равен числу неизвестных параметров, т. е. rank(X) = p, где р — число неизвестных параметров [1].

Оценка параметров по формуле (9.6) называется оценкой по наблюдениям полного ранга, т. е. когда rank(X) = p. В этом случае формула (9.6) вытекает из так называемого нормального уравнения

(X^TX)\hat\beta=X^TY, ( 9.7)

где X^{T}X — информационная матрица.

В методе наименьших квадратов минимизируется функционал (скалярная величина)

Q = (Y – Xb)^T(Y – Xb), ( 9.8)

где b = (b_{1}, b_{2}, … , b_{p}) — вектор неизвестных параметров, подлежащих оценке.

Оценка параметров по формуле (9.6) доставляет минимум функционалу (9.8). При подстановке (9.6) в (9.8) получающаяся величина называется остаточной суммой квадратов — RSS (Residual Sum of Squares).

4. Оценивание параметров многомерной функции отклика

В случае, когда имеются несколько выходных переменных — функций отклика, для каждой функции отклика можно произвести оценку параметров уравнения регрессии по формуле (9.6) с указанием нижнего индекса, относящегося к данной функции. Например, если имеется n функций отклика, то оценка вектора параметров по методу наименьших квадратов может быть найдена как

\hat\beta=(X^T_jX_j)^{-1}X^T_jY_j,\qquad j=1,2,...,n. ( 9.9)

Общая оценка вектора параметров многомерной функции отклика будет определяться в виде

\hat\beta=(\hat\beta_1^T,\hat\beta_2^T,...,\hat\beta_n^T), ( 9.10)

где Т — символ транспонирования.

< Лекция 8 || Лекция 9: 1234 || Лекция 10 >
Мария Ястребинская
Мария Ястребинская

Добрый день. Я приступила сегодня к самостоятельному изучению курса "Моделирование систем". Хочу понять - необходимо ли отсылать мои решения практических заданий на сайт, (и если да - то где найти волшебную кнопку "Загрузить...") или практические задания остаются полностью на моей совести? (никто не проверяет, и отчётности по ним я предоставлять не обязана?)

P.S.: тьютора я не брала

алена зянтерекова
алена зянтерекова
Сергей Пахомов
Сергей Пахомов
Россия, г. Воронеж
Максим Лукашевич
Максим Лукашевич
Россия, г. Самара