Мордовский государственный университет имени Н.П. Огарева
Опубликован: 30.11.2010 | Доступ: свободный | Студентов: 2660 / 1422 | Оценка: 4.12 / 4.13 | Длительность: 14:38:00
ISBN: 978-5-9963-0352-6
Лекция 6:

Построение интервальных оценок параметров вероятностных распределений

< Лекция 5 || Лекция 6: 12 || Лекция 7 >
Аннотация: Цель работы: практически освоить методы построения интервальных оценок для параметров часто используемых вероятностных распределений. Среда программирования — MATLAB.

Теоретическая часть

При оценивании неизвестных параметров часто используются интервальные оценки, которые позволяют получить вероятностную характеристику точности оценивания неизвестного параметра. Метод интервальных оценок применяется в случае небольшого числа наблюдений, по которым необходимо произвести оценку параметра [6].

Пусть \vec X_nслучайная выборка объема n из генеральной совокупности X с функцией распределения F(x;\theta), зависящей от параметра \theta, значение которого неизвестно. Предположим, что для параметра \theta построен интервал (\theta_i(\vec X_n),\theta_{\hat a}(\vec X_n)), где \theta_i(\vec X_n) и \theta_{\hat a}(\vec X_n) являются функциями случайной выборки \vec X_n, такими, что выполняется равенство

P\{\theta_i(\vec X_n)<\theta <\theta_{\hat a}(\vec X_n)\}=\gamma, ( 6.1)

В этом случае интервал (\theta_i(\vec X_n),\theta_{\hat a}(\vec X_n)), где \theta_i(\vec X_n) называют интервальной оценкой для параметра \theta с коэффициентом доверия \gamma (или, сокращенно, \gamma - доверительной интервальной оценкой ), а \theta_i(\vec X_n) и \theta_{\hat a}(\vec X_n), соответственно, нижней и верхней границами интервальной оценки [13].

Интервальная оценка (\theta_i(\vec X_n),\theta_{\hat a}(\vec X_n)), где \theta_i(\vec X_n) представляет собой интервал со случайными границами, который с заданной вероятностью \gamma накрывает неизвестное истинное значение параметра \theta. Таким образом, для различных реализаций случайной выборки \vec X_n статистики \theta_i(\vec X_n) и \theta_{\hat a}(\vec X_n) могут принимать различные значения. При этом вероятностной характеристикой точности оценивания параметра \theta является случайная величина

\ell(\vec X_n)=\theta_{\hat a}(\vec X_n)-\theta_i(\vec X_n) ( 6.2)

которая для любой реализации \vec x_n случайной выборки \vec X_n есть длина интервала (\theta_i(\vec X_n),\theta_{\hat a}(\vec X_n)), где \theta_i(\vec X_n).

Интервал (\theta_i(\vec X_n),\theta_{\hat a}(\vec X_n)), где \theta_i(\vec X_n) называют доверительным интервалом для параметра \theta с коэффициентом доверия \gamma или \gamma - доверительным интервалом.

Наряду с термином "коэффициент доверия" широко используют термины " доверительная вероятность " и " уровень доверия ". При этом коэффициент доверия \gamma чаще всего выбирают равным 0.9, 0.95 или 0.99, т. е. близким к 1.

Построение интервальных оценок осуществляется на основе какой-либо центральной статистики, т. е. такой статистики T(\vec X_n,\theta), функция распределения которой

F_T(t)=P\{T(\vec X_n,\theta)<t\} ( 6.3)

не зависит от параметра \theta [13]. При этом принимаются во внимание следующие предположения:

  1. Функция распределения F_T(t) является непрерывной и возрастающей;
  2. Заданы такие положительные числа \alpha и \beta, что коэффициент доверия \gamma=1-\alpha-\beta ;
  3. Для любой конкретной выборки \vec x_n из генеральной совокупности X функция T(\vec X_n,\theta) является непрерывной и возрастающей (убывающей) функцией параметра \theta.

Согласно предположению (допущению) 1, для любого числа q\in (0,1) существует единственный корень h_q уравнения F_T(t)=q, который называют квантилью q функции распределения F_T(t) случайной величины T(\vec X_n,\theta). Тогда, согласно допущению 2, имеют место равенства

P\{h_{\alpha}<T(\vec X_n,\theta)< h_{1-\beta}\}=F_T(h_{1-\beta})-F_T(h_{\alpha})=1-\beta-\alpha=\gamma

которые справедливы для любых возможных значений параметра \theta, т. к. T(\vec X_n,\theta) — центральная статистика и ее функция распределения F_T(t) не зависит от \theta.

Этапы построения доверительного интервала

  1. Построение центральной статистики T(\vec X_n,\theta) с известной функцией распределения.
  2. Представление заданного коэффициента доверия \gamma в виде \gamma=1-\alpha-\beta, т. е. задание уровней значимости (малых величин) \alpha и \beta ;
  3. Нахождение квантилей h_{\alpha} и h_{1-\beta} уровней \alpha и \beta функции распределения F_T(t).
  4. Нахождение значений нижней \theta_i(\vec x_n) и верхней \theta_{\hat a}(\vec x_n) границ искомой интервальной оценки путем решения уравнений
T(\vec x_n,\theta_i)= h_{\alpha},\mbox{  }T(\vec x_n,\theta_{\hat a})=h_{1-\beta}

соответственно в случае, когда T(\vec x_n,\theta) — возрастающая функция параметра \theta. Если же T(\vec x_n,\theta) — убывающая функция параметра \theta, то границы интервалов получают путем решения уравнений

T(\vec x_n,\theta_i)= h_{1-\beta},\mbox{  }T(\vec x_n,\theta_{\hat a})=h_{\alpha}

соответственно.

Практическая часть

1. Интервальная оценка параметра экспоненциального распределения

Определение. Случайная непрерывная величина Х имеет экспоненциальный (показательный) закон распределения с параметром \lambda, если ее плотность вероятности имеет вид

f(x)=\begin{cases}
\lambda e^{-\lambda x},&x\ge0,\\
0,&x<0.
\end{cases} ( 6.4)
Характеристики экспоненциального распределения

Математическое ожидание:

M[X]=\frac{1}{\lambda},

дисперсия:

D[X]=\frac{1}{\lambda^2},

Для интервальной оценки параметра экспоненциального распределения вводится центральная статистика вида

T(\vec X_n,\lambda)=2\lambda n\bar x, ( 6.5)

где \bar x =\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}x_i – выборочное среднее реализации \vec X_n.

Статистика (6.5) имеет \chi^2 распределение с 2n степенями свободы. По функции распределения находим квантили для уровней \alpha и \beta, таких, что \gamma=1-\alpha-\beta где \gammaуровень доверия или доверительная вероятность. Границы доверительного интервала определяются из уравнений (с учетом того, что введенная центральная статистика является возрастающей функцией искомого параметра \lambda ):

2\lambda_i n \bar x=\chi_{\alpha}^2(2n), \qquad 2\lambda_{\hat a} n \bar x=\chi_{1-\beta}^2(2n), ( 6.6)

откуда получаем границы доверительного интервала

\lambda_i=\frac{\chi_{\alpha}^2(2n)}{2n \bar x}, \qquad \lambda_{\hat a}=\frac{\chi_{1-\beta}^2(2n)}{2n \bar x}.

Для моделирования процесса оценки границ доверительного интервала сгенерируем массив случайных чисел Х, распределенных по экспоненциальному закону с помощью функции exprnd системы MATLAB с заданным параметром — истинным параметром \lambda ( L в программе). Для заданного объема n выборки случайных чисел рассчитаем среднее выборочное m. Для вычисления квантилей применим функцию chi2inv системы MATLAB с 2n степенями свободы. Ввод данных для решения задачи осуществляется интерактивно с помощью диалогового окна inputdlg.

Возможная программная реализация интервальной оценки параметра экспоненциального распределения:

clear,clc,close all
options.Resize = 'on';
options.WindowStyle ='normal';
options.Interpreter = 'tex';  

D = inputdlg({'\bf Введите параметр экспоненциального распределения .......',...
'\bf Введите количество испытаний: ', ...
'\bf введите уровень вероятности a: ',...
'\bf введите уровень вероятности  b: '},...
'Данные задачи по умолчанию',1,...
{' 1.25',' 1000',' 0.01',' 0.04'}, options);
L = str2num(char(D(1)));
n = str2num(char(D(2)));
a = str2num(char(D(3)));
b = str2num(char(D(4)));
pause(0.5)
y = 1-a-b;
x = exprnd(1/L,n,1); %% 1/L - математическое ожидание
m = mean(x); %% среднее значение
a1 = chi2inv(a,2*n); %% обратная функция хи-квадрат
b1 = chi2inv(1-b,2*n);
Ln = a1/(2*n*m);
Lv = b1/(2*n*m);
LL = [Lv Ln];
Dlina = max(LL)- min(LL);
d = 'Доверительная вероятность';
fprintf('\n\tИстинное значение параметра: %g\n ',L)
fprintf('\t%s: %g\n',d,y)
fprintf('\tГраницы доверительного интервала:\n')
fprintf('\t\t\t%s: %g\n', 'нижняя граница', Ln)
fprintf('\t\t\t%s: %g\n', 'верхняя граница',Lv)
fprintf('\tДлина доверительного интервала: %g\n',Dlina)
if L < Ln | L > Lv
fprintf('\n\tИстинное значение параметра не входит в доверительный интервал!\n')
end
%%----------------------- Диаграмма ---------------------
xL = [Ln L];
xLv = [L,Lv];
line([min(xL)-0.2*min(xL) max(xLv)+0.1*max(xLv)],[0 0],'linew',2,'color','k')
line([Ln Ln],[0 1],'linew',2,'linestyle',':')
line([Lv Lv],[0 1],'linew',2,'linestyle',':')
line([L L],[0 1],'color','r','linew',1.5)
 
text(Ln,-0.05,sprintf('%s', '\bf\fontsize{12}\lambda\fontsize{10}_н'))
text(Lv,-0.05, sprintf('%s', '\bf\fontsize{12}\lambda\fontsize{10}_в'))
 text((Ln+Lv)/2,-0.25, sprintf('%s%g', '\bf\fontsize{12}\lambda\fontsize{10}_н = ', Ln))
text((Ln+Lv)/2,-0.35, sprintf('%s%g', '\bf\fontsize{12}\lambda\fontsize{10}_и_c_т = ', L), 'color','r')
text((Ln+Lv)/2,-0.45, sprintf('%s%g', '\bf\fontsize{12}\lambda\fontsize{10}_в = ', Lv))
 
text(min(Ln, Lv),1.1,sprintf('\\bf Интервальная оценка параметра '))
text(min(Ln,Lv),1.03,sprintf('\\bf экспоненциального распределения'))
 
set(gca,'visible','off')
ylim([-0.5 1])
set(gcf,'color','w')

Результат выполнения программы в командном окне MATLAB

Истинное значение параметра: 1.25
 	Доверительная вероятность: 0.95
	Границы доверительного интервала:
			нижняя граница: 1.12687
			верхняя граница: 1.28248
	Длина доверительного интервала: 0.15561

На рис. 6.1 приводится диалоговое окно с параметрами задачи.

Диалоговое окно ввода данных задачи

Рис. 6.1. Диалоговое окно ввода данных задачи

На рис. 6.2 приведена диаграмма доверительного интервала.

Диаграмма доверительного интервала

Рис. 6.2. Диаграмма доверительного интервала

Задание 1

  1. Для фиксированных значений входных данных выше приведенной программы рассчитайте частоту попадания истинного значения параметра \lambda в доверительный интервал при следующих объемах выборок (в соответствии с номером компьютера):
    № 1: n = 100; № 2: n = 200; № 3: n = 300; № 4: n = 400; № 5: n = 500;
    № 6: n = 600; № 7: n = 700; № 8: n = 800;  № 9: n = 900; № 10: n = 1100.

    Значение \lambda выбрать из интервалов по равномерному закону (в соответствии с номером компьютера):

    № 1: (1-1.9); № 2: (0.2-0.29); № 3: (1.3-1.39); № 4: (1.4-1.49); № 5 (1.5-1.59);
    № 6 (1.6-1.69); № 7: (1.7-1.79); № 8: (1.8-1.89); № 9: (1.9-1.99); № 10 (0.35-0.80).

    Доверительную вероятность \gamma принять равной (в зависимости от номера компьютера):

    № 1: \gamma=0.91 ; № 2: \gamma=0.92 ; № 3: \gamma=0.93 ; № 4: \gamma=0.94 ; № 5: \gamma=0.95 ;

    № 6: \gamma=0.96 ; № 7: \gamma=0.97 ; № 8: \gamma=0.98 ; № 9: \gamma=0.99 ; № 10: \gamma=0.995.

  2. В графической части обозначения нижней и верхней границ довери-тельного интервала "привяжите" в процентном отношении к этим границам, чтобы исключить возможное наложение надписи с истинным значением параметра \lambda.
< Лекция 5 || Лекция 6: 12 || Лекция 7 >
Мария Ястребинская
Мария Ястребинская

Добрый день. Я приступила сегодня к самостоятельному изучению курса "Моделирование систем". Хочу понять - необходимо ли отсылать мои решения практических заданий на сайт, (и если да - то где найти волшебную кнопку "Загрузить...") или практические задания остаются полностью на моей совести? (никто не проверяет, и отчётности по ним я предоставлять не обязана?)

P.S.: тьютора я не брала

алена зянтерекова
алена зянтерекова
Никита Юрьев
Никита Юрьев
Россия, Воронежская область
Алексей Матвеев
Алексей Матвеев
Россия, Воронеж, Воронежский государственный технический университет