Мордовский государственный университет имени Н.П. Огарева
Опубликован: 30.11.2010 | Доступ: свободный | Студентов: 2661 / 1425 | Оценка: 4.12 / 4.13 | Длительность: 14:38:00
ISBN: 978-5-9963-0352-6
Лекция 5:

Исследование качества генераторов случайных чисел

< Лекция 4 || Лекция 5: 123 || Лекция 6 >
Аннотация: Цель работы: изучить и практически освоить оценки качества генераторов случайных чисел (ГСЧ) в различных системах программирования по заданным теоретическим показателям, с помощью критериев согласия и с помощью нормированной автокорреляционной функции на предмет независимости случайных чисел.

Теоретическая часть

В практике моделирования и особенно в практике статистических испытаний приходится использовать случайные последовательности или просто случайные числа. При моделировании систем на ЭВМ программная имитация случайных воздействий любой сложности сводится к генерированию некоторых стандартных (базовых) процессов и к их последующему функциональному преобразованию. Получение случайных чисел с требуемым законом распределения обычно выполняется в два этапа:

  1. Формирование физическим или программным методом случайного числа U_{i}, равномерно распределенного на (0; 1), i = 1, 2, ….
  2. Программный переход от U_{i} к случайному числу Х_{i}, имеющему требуемое распределение F_{X}(x) [16].

В связи с этим особое значение приобретают случайные числа, равномерно распределенные в интервале [0; 1]. Например, генерирование экспоненциально распределенных случайных чисел t_{i} может быть выполнено по формуле

t_i=-\frac{1}{\lambda}\ln(R_i),

где:

\lambdaпараметр экспоненциального закона;

R_{i} — равномерно распределенное случайное число из интервала (0; 1).

Существуют физические и программные датчики (генераторы) случайных чисел. Программные датчики случайных чисел фактически генерируют псевдослучайные числа. Согласно Лемеру, последовательность псевдослучайных чисел можно считать случайной, если "каждый ее член непредсказуем для непосвященного и она удовлетворяет ряду традиционных статистических тестов".

Полученные с помощью программных методов случайные последовательности в идеале должны состоять из:

  • равномерно распределенных,
  • статистически независимых,
  • воспроизводимых,
  • неповторяющихся чисел.

Практическая часть

1. Исследование качества генераторов случайных чисел (ГСЧ) по критерию отклонения математического ожидания, дисперсии среднего квадратического отклонения

Известно, что при равномерном законе распределения случайной непрерывной величины в интервале [0; 1] соответствующее математическое ожидание (m), дисперсия (s^{2}) и среднеквадратичное отклонение (s) имеют следующие теоретические значения: m = 0.5 ; s^{2} = 1/12 ; s = 0.28867 ( s=\sqrt{1/12} ).

Критерий заключается в сравнении теоретических параметров равномерного распределения с реальными значениями, полученными для конечной выборки.

1.1. Анализ качества ГСЧ системы MATLAB

В системе MATLAB всех версий используется функция rand, реализующая равномерно распределенные числа в интервале [0; 1].

Среднее значение массива чисел определяется функцией mean, дисперсия — функцией var, среднее квадратическое отклонение (стандартное отклонение) — функцией std (см. help\mbox{ }mean,\mbox{ }help\mbox{ }var,\mbox{ }help\mbox{ }std ).

Программный код анализа случайных чисел:

clear, clc
%% Генерирование выборки 500 случайных чисел
x = rand(500, 1); 
%% Вычисление среднего значения выборки
m1 = mean(x)           
%% Вычисление дисперсии данной выборки
s2 = var(x)
%% Вычисление среднего квадратического отклонения 
s = std(x) 

%% Расчет относительных погрешностей в процентах
%% по математическому ожиданию
m = 0.5;
Dm = abs((mean(x)- m)/m)*100;
fprintf('\n Относительная погрешность по математическому ожиданию: %g%%\n', Dm);
%% по дисперсии
d = 1/12;
Dd = abs((var(x)- d)/d)*100;
fprintf(' Относительная погрешность по дисперсии: %g%%\n', Dd);
%% по среднему квадратическому отклонению
sd = sqrt(d);
Ds = abs((std(x)- sqrt(1/12))/sqrt(1/12))*100;

fprintf(' Относительная погрешность по стандартному отклонению: %g%%\n', Ds);

%% Генерирование дополнительной выборки
y = rand(500, 1);

%% Диаграмма оценки равномерности случайных чисел
fig1 = figure(1);
set(fig1, 'name', 'Случайные числа функции rand')
plot(x,y,'o', 'markersize', 4);
str = '\bf\fontsize{11}\fontname{times}Проверка на равномерность случайных чисел';
title(str)
xlabel('\bf\fontsize{11}\fontname{times} Random numbers')
ylabel('\bf\fontsize{11}\fontname{times} Random numbers')

В программе выполняется построение диаграммы визуальной оценки равномерности случайных чисел. Числа-кружочки на диаграмме должны равномерно заполнить квадрат со стороной, равной единице. На рис. 5.1 приведен пример проверки случайной последовательности на равномерность распределения в интервале (0; 1).

Проверка равномерности случайных чисел для функции rand

Рис. 5.1. Проверка равномерности случайных чисел для функции rand

Задание 1

  1. Проведите в зависимости от номера компьютера статистическое исследование функции rand при различных объемах выборки: малых n < 25 ; средних n \approx 150 ; больших n > 500. Результаты испытаний усредните.

    Компьютер № 1: 11 испытаний (n: 24, 142, 600);
     Компьютер № 2: 12 испытаний (n: 22, 144, 650);
     Компьютер № 3: 13 испытаний (n: 20, 146, 700);
     Компьютер № 4: 14 испытаний (n: 18, 148, 750);
     Компьютер № 5: 15 испытаний (n: 16, 150, 800);
     Компьютер № 6: 16 испытаний (n: 14, 152, 850);
     Компьютер № 7: 17 испытаний (n: 12, 154, 900);
     Компьютер № 8: 18 испытаний (n: 10, 156, 950);
     Компьютер № 9: 19 испытаний (n: 19, 149,1000).
     Компьютер № 10: 20 испытаний (n: 20, 150, 1010).
  2. Постройте график изменения относительных погрешностей среднего, дисперсии, стандартного отклонения от числа испытаний.
  3. Пункт 1 задания выполните для выборок, сформированных в системах EXCEL, DELPHI (консольное приложение), PASCAL, С, GPSS/PC. Сформированные выборки импортируйте в MATLAB, где произведите необходимый анализ. Формирование выборки случайных чисел в GPSS/PC выполните по номеру датчика случайных чисел, который соответствует номеру компьютера ( 1, 2, 3, ...).
  4. Постройте гистограммы в системе MATLAB для сформированных выборок (полученных в различных системах) с помощью графической функции hist (см. help\mbox{ }hist ).

Примечание. В системе GPSS/PC сформируйте выборки только малых и средних объемов (в соответствии с номером компьютера).

1. Для фиксации случайных чисел в GPSS/PC можно использовать операторы fvariable, matrix и блок msavevalue.

1.2. Исследование качества ГСЧ, сформированного по методу Фибоначчи

Генератор случайных чисел, использующий метод Фибоначчи, применялся в начале 50-х годов ХХ века [9]. Рекуррентное соотношение Фибонначи имеет вид

X_{n+1} = (X_{n} + X_{n–1}) mod(M),

где:

X_{n+1}, X_{n}, X_{n–1} — целые числа, лежащие между нулем и некоторым большим числом М, который называется модулем;

n — порядковый номер числа [9].

Для получения случайных чисел R_{n} из интервала [0; 1] следует вычислить дробь

R_n=\frac{X_n}{M}

Программный код формирования случайных чисел по методу Фибоначчи:

clear,clc,close all
 
N = 500;  %% количество генерируемых чисел
M = 2^30; %% модуль
 
%% 1-я последовательность случайных чисел
X0 = 12345; %% 1-е произвольное число
X1 = 67890; %% 2-е произвольное число

for n = 1 : N 

X = mod( X1 + X0, M); %% следующее число
X0 = X1;
X1 = X;
Zx(n,1) = X;

end
Rx = Zx/M;
 
mf = mean(Rx);
fprintf('\n Среднее выборочное для метода Фибоначчи: %g%%\n', mf);
 
sf2 = var(Rx);
fprintf(' Выборочная дисперсия для метода Фибоначчи: %g%%\n', sf2);
 
sf = std(Rx);
fprintf(' Выборочное стандартное отклонение: %g%%\n', sf);
 
%% Расчет относительных погрешностей в процентах
m = 0.5;
fprintf('\n Относительная погрешность по математическому ожиданию: %g%%\n', abs((mf - m)/m)*100);

d = 1/12;
fprintf(' Относительная погрешность по дисперсии: %g%%\n', abs((sf2 - d)/d)*100);

%% по среднему квадратическому отклонению
sd = sqrt(d);
fprintf(' Относительная погрешность по стандартному отклонению: %g%%\n', abs((sf - sd)/sd)*100);
 

%% 2-я последовательность случайных чисел
Y0 = 333; %% 1-е произвольное число
Y1 = 123; %% 1-е произвольное число

for n = 1 : N 

Y = mod( Y1 + Y0, M); %% следующее число
Y0 = Y1;
Y1 = Y;
Zy(n,1) = Y;

end

Ry = Zy/M;

%% Диаграмма оценки равномерности случайных чисел
fig2 = figure(2);
set(fig2, 'name', 'Случайные числа Фибоначчи')
plot(Rx,Ry,'o', 'markersize', 4);
str = '\bf\fontsize{11}\fontname{times}Проверка на равномерность случайных чисел';
title(str)
xlabel('\bf\fontsize{11}\fontname{times} Random numbers')
ylabel('\bf\fontsize{11}\fontname{times} Random numbers')

Пример выполнения программы (без диаграммы)

Среднее выборочное для метода Фибоначчи: 0.49687%
 Выборочная дисперсия для метода Фибоначчи: 0.0861675%
 Выборочное стандартное отклонение: 0.293543%

 Относительная погрешность по математическому ожиданию: 0.626048%
 Относительная погрешность по дисперсии: 3.40103%
 Относительная погрешность по стандартному отклонению: 1.6863%

Задание 2

  1. Напишите программу формирования простых трехзначных чисел с целью их использования в качестве начальных чисел в методе Фибоначчи. Рассчитайте относительные погрешности по математическому ожиданию, дисперсии, стандартному отклонению.
  2. Напишите программу формирования случайных чисел Фибоначчи без вспомогательных массивов Zx и Zy.
  3. Постройте гистограммы в системе MATLAB для сформированных выборок ( Zx и Zy ) с помощью графической функции hist (см. help\mbox{  }hist ) с разбивкой графического окна с помощью функции subplot (см. help\mbox{  }subplot ).
1.3. Исследование качества ГСЧ, сформированного по методу срединных квадратов

Метод срединных квадратов был предложен Нейманом [19] и заключается в следующем: выбирается число, меньшее 1, разрядностью 2n. Оно возводится в квадрат. Из полученного результата (разрядность которого должна быть 2*(2n), если нет, то добавляются нули справа от полученного числа) выбираются 2n чисел из середины полученного после возведения в квадрат числа. Число записывается после десятичной точки. Далее все повторяется.

Для примера выберем 4-разрядное ( 2n = 4 ) число а0 = 0.1234. После возведения в квадрат получим число, равное 0.01522756. Из него выбираем четыре срединные цифры, т. е. 5227. Получаем новое случайное (псевдослучайное) число а1 = 0.5227. Описанные действия отобразим в следующем виде:

а0 = 0.1234  \to а0^2=0.01\underline{5227}56;\\
а1 = 0.5227  \to а1^2=0.27\underline{3215}29;\\
а2 = 0.3215  \to а2^2=0.10\underline{3362}25;\\
а3 = 0.3362  \to а3^2=0.11\underline{3030}44;\\
а4 = 0.3030  \to а4^2=0.091809  \to  0.09\underline{1809}00

и так далее.

Задание 3

  1. Напишите программу формирования случайных чисел по методу срединных.
  2. Начальное число выберите (по указанию преподавателя) из следующего списка, приведенного в таблице 5.1.
Таблица 5.1.
Варианты заданий для метода срединных квадратов
№ 1 № 1 = 0.1234 ; № 2 = 0.2234 ; № 3 = 0.3234 ; № 4 = 0.4234 ; № 5 = 0.5234 ; № 6 = 0.6234 ; № 7 = 0.7234 ; № 8 = 0.8234 ; № 9 = 0.9234 ; № 10 = 0.9934
№ 2 № 1 = 0.123456 ; № 2 = 0.223456 ; № 3 = 0.323456 ; № 4 = 0.423456 ; № 5 = 0.523456 ; № 6 = 0.623456 ; № 7 = 0.723456 ; № 8 = 0.823456 ; № 9 = 0.923456 ; № 10 = 0.993456
№ 3 № 1 = 0.12345678 ; № 2 = 0.22345678 ; № 3 = 0.32345678 ; № 4 = 0.42345678 ; № 5 = 0.52345678 ; № 6 = 0.62345678 ; № 7 = 0.72345678 ; № 8 = 0.82345678 ; № 9 = 0.92345678 ; № 10 = 0.99345678
№ 4 № 1 = 0.12345678 ; № 2 = 0.22345678 ; № 3 = 0.32345678 ; № 4 = 0.42345678 ; № 5 = 0.52345678 ; № 6 = 0.62345678 ; № 7 = 0.72345678 ; № 8 = 0.82345678 ; № 9 = 0.92345678 ; № 10 = 0.99345678

Примечание. Для проверки периодичности (непериодичности) формируемой случайной последовательности можно применить, например, функцию unique (см. help\mbox{  }unique ).

  1. Проведите, в зависимости от номера компьютера, статистическое исследование ГСЧ (вычисление среднего значения выборки, дисперсии, стандартного отклонения выборки) при различных объемах выборки: малых n < 25, средних n \approx 150, больших n > 500. Результаты испытаний усредните и сравните с аналогичными результатами, которые проведены для выборки, сформированной с помощью функции rand системы MATLAB.
    Компьютер № 1: (объем выборки: 24, 142, 600);
     Компьютер № 2: (объем выборки: 22, 144, 650);
     Компьютер № 3: (объем выборки: 20, 146, 700);
     Компьютер № 4: (объем выборки: 18, 148, 750);
     Компьютер № 5: (объем выборки: 16, 150, 800);
     Компьютер № 6: (объем выборки: 14, 152, 850);
     Компьютер № 7: (объем выборки: 12, 154, 900);
     Компьютер № 8: (объем выборки: 10, 156, 950);
     Компьютер № 9: (объем выборки: 17, 157, 999);
     Компьютер № 10: (объем выборки: 19, 158, 1010).
  2. Постройте в системе MATLAB гистограммы для сформированных выборок случайных чисел по методу срединных квадратов и сравните с гистограммой для выборок, сформированных с помощью функции rand системы MATLAB.
  3. Постройте гистограммы для сформированных выборок.
  4. Постройте диаграмму визуального контроля равномерного заполнения квадрата со стороной, равной единице.
< Лекция 4 || Лекция 5: 123 || Лекция 6 >
Мария Ястребинская
Мария Ястребинская

Добрый день. Я приступила сегодня к самостоятельному изучению курса "Моделирование систем". Хочу понять - необходимо ли отсылать мои решения практических заданий на сайт, (и если да - то где найти волшебную кнопку "Загрузить...") или практические задания остаются полностью на моей совести? (никто не проверяет, и отчётности по ним я предоставлять не обязана?)

P.S.: тьютора я не брала

алена зянтерекова
алена зянтерекова