Добрый день. Я приступила сегодня к самостоятельному изучению курса "Моделирование систем". Хочу понять - необходимо ли отсылать мои решения практических заданий на сайт, (и если да - то где найти волшебную кнопку "Загрузить...") или практические задания остаются полностью на моей совести? (никто не проверяет, и отчётности по ним я предоставлять не обязана?) P.S.: тьютора я не брала |
Выборочный метод Монте-Карло
Теоретическая часть
Сущность метода Монте-Карло состоит в следующем: требуется найти значение некоторой изучаемой величины. Для этого выбирают такую случайную величину , математическое ожидание которой равно , т. е. [6].
Практически же поступают следующим образом: производят испытаний, в результате которых получают возможных значений величины ; вычисляют их среднее арифметическое
и принимают в качестве оценки (приближенного значения) искомого числа : .
Поскольку метод Монте-Карло требует произведения большого числа испытаний, его часто называют методом статистических испытаний.
1. Оценка погрешности метода Монте-Карло
Как отмечалось, для получения оценки математического ожидания случайной величины необходимо произвести независимых испытаний и по ним найти выборочную среднюю, которая принимается в качестве искомой оценки. При каждой конечной серии испытаний будут получаться различные значения случайной величины и, следовательно, другая средняя, а значит, и другая оценка математического ожидания. Очевидно, что получить точную оценку математического ожидания невозможно. Поэтому возникает вопрос о допускаемой ошибке. Обычно ограничиваются отысканием лишь верхней границы допускаемой ошибки с заданной вероятностью , т. е.
При этом возможны следующие случаи оценки числа испытаний:
-
Случайная величина распределена нормально и ее среднее квадратическое отклонение (стандартное отклонение) известно. В этом случае с заданной вероятностью верхняя граница ошибки определяется по формуле
( 4.1) где:
— число испытаний (разыгранных значений случайной величины );
— значение аргумента функции Лапласа или интеграла вероятности, при котором она равна половине заданной вероятности;
— известное среднее квадратическое отклонение.
Из формулы (4.1) может быть найдено число испытаний. Один из вариантов интеграла вероятностей (функции Лапласа) имеет вид [6]
( 4.2) Значения табулированы и приведены в большинстве учебников по теории вероятностей и математической статистике.
В зарубежной литературе большое распространение получила так называемая функция ошибок ( ) :
( 4.3) Связь между функцией ошибок (4.3) и интегралом вероятностей (4.2) выражается в виде
( 4.4) -
Случайная величина распределена нормально, причем ее среднее квадратическое отклонение неизвестно. В этом случае с заданной вероятностью верхняя граница ошибки вычисляется по формуле
( 4.5) где:
— число испытаний;
— "исправленное" среднее квадратическое отклонение;
находят по специальным таблицам, например, приведенной в [6].
Из формулы (4.5) может быть найдено число испытаний для определения верхней границы ошибки.
- Случайная величина распределена по закону, отличному от нормального. В этом случае при достаточно большом числе испытаний ( ), с вероятностью, приближенно равной (заданной вероятностью), верхняя граница ошибки может быть вычислена по формуле (4.1), если среднее квадратическое отклонение случайной величины известно; если же оно неизвестно, то можно подставить в формулу (4.1) его оценку — "исправленное" среднее квадратическое отклонение — либо воспользоваться формулой (4.5). При этом чем больше число испытаний, тем меньше различие между результатами, которые дают обе формулы.
2. Вычисление кратных интегралов методом Монте-Карло
В случае когда, например, определенный интеграл не может быть вычислен в квадратурах, либо прибегают к численным методам интегрирования, либо расчет ведется с помощью метода Монте-Карло. Применение метода Монте-Карло становится оправданным при кратности интеграла больше трех. В данной лабораторной работе мы используем метод Монте-Карло для расчета интегралов с кратностью не более трех. Это позволит более ясно представить технику применения метода.
Сначала рассмотрим вычисление простого определенного интеграла
( 4.6) |
где .
Введем под знак интеграла постоянный множитель (равный единице):
( 4.7) |
Вынесем из-под интеграла числитель дроби, получим
( 4.8) |
Как известно, если случайная величина распределена на заданном интервале (например, ) равномерно, то ее функция плотности обратно пропорциональна длине интервала, т. е.
Кроме того, если известно распределение случайной величины , то функция от этой случайной величины будет иметь тот же самый закон распределения. В этом случае математическое ожидание непрерывной равномерно распределенной случайной величины рассчитывается по формуле
Соответственно, математическое ожидание от функции случайной величины будет определяться следующим образом:
( 4.9) |
Сопоставляя (4.8) и (4.9), приходим к выводу, что определенный интеграл может быть рассчитан по формуле
( 4.10) |
Несмещенной оценкой математического ожидания случайной величины, как известно, является ее среднее арифметическое. Поэтому математическое ожидание можем приближенно найти по формуле
( 4.11) |
С учетом (4.11) получаем выражение для приближенного расчета определенного интеграла
( 4.12) |
Чем больше число испытаний , тем точнее будет расчет математического ожидания (4.11) и, следовательно, определенного интеграла, вычисляемого по формуле (4.12).
Рассмотрим общий подход вычисления -кратного интеграла с помощью метода Монте-Карло [5].
Пусть задан -кратный интеграл вида
( 4.13) |
где подынтегральная функция задана на замкнутой области .
Погрузим область интегрирования в -мерный промежуток
( 4.14) |
имеющий меру
( 4.15) |
Определим в промежутке (4.15) функцию
( 4.16) |
Тогда в соответствии с (4.13) и (4.16) получим
( 4.17) |
Введем в рассмотрение -мерную случайную величину , имеющую в замкнутой области равномерное распределение вероятностей с дифференциальной функцией плотности
( 4.18) |
Функция плотности равномерного распределения есть величина постоянная, поэтому введем ее под знак интеграла (4.17) следующим образом:
( 4.19) |
Вынесем числитель дроби за знак интеграла, т. е.
( 4.20) |
В (4.20) -кратный интеграл — это математическое ожидание от функции случайной величины в предположении, что случайная величина распределена равномерно с плотностью (4.18). Следовательно, можем записать
( 4.21) |
где .
В свою очередь математическое ожидание может быть оценено с помощью арифметического среднего. Тогда приближенное значение -кратного интеграла будет определяться приближенной формулой
( 4.22) |
где — значение случайной величины в -м испытании.
Чтобы смоделировать выборку -мерной случайной величины , равномерно распределенной в -мерном промежутке , используются псевдослучайные числа. Для этого в каждом испытании с номером выбирают псевдослучайных чисел , и по ним определяют координаты случайной величины , псевдослучайной точки [5].
Таким образом, техника применения метода Монте-Карло здесь будет заключаться в определении области , генерировании в ней псевдослучайных чисел, подсчета числа попаданий этих чисел в область и применении формулы (4.22).
Расчет площадей и объемов можно рассматривать как частный случай вычисления кратных интегралов. Например, вычисление объема тел с помощью трехкратного интеграла сводится к взятию интеграла по области при подынтегральной функции, тождественно равной единице.