Мордовский государственный университет имени Н.П. Огарева
Опубликован: 30.11.2010 | Доступ: свободный | Студентов: 2660 / 1424 | Оценка: 4.12 / 4.13 | Длительность: 14:38:00
ISBN: 978-5-9963-0352-6
Лекция 4:

Выборочный метод Монте-Карло

< Лекция 3 || Лекция 4: 12 || Лекция 5 >
Аннотация: Цель работы: Изучить и практически освоить метод Монте-Карло на примерах расчета площадей плоских фигур, объемов пространственных тел, а также вычисления кратных интегралов. Среда программирования — MATLAB.

Теоретическая часть

Сущность метода Монте-Карло состоит в следующем: требуется найти значение а некоторой изучаемой величины. Для этого выбирают такую случайную величину Х, математическое ожидание которой равно а, т. е. М(Х) = а [6].

Практически же поступают следующим образом: производят n испытаний, в результате которых получают n возможных значений величины Х ; вычисляют их среднее арифметическое

\bar{x}=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n} x_i

и принимают \bar{x} в качестве оценки (приближенного значения) а* искомого числа а: a\approx a^{*} =\bar{x}.

Поскольку метод Монте-Карло требует произведения большого числа испытаний, его часто называют методом статистических испытаний.

1. Оценка погрешности метода Монте-Карло

Как отмечалось, для получения оценки математического ожидания случайной величины Х необходимо произвести n независимых испытаний и по ним найти выборочную среднюю, которая принимается в качестве искомой оценки. При каждой конечной серии испытаний будут получаться различные значения случайной величины и, следовательно, другая средняя, а значит, и другая оценка математического ожидания. Очевидно, что получить точную оценку математического ожидания невозможно. Поэтому возникает вопрос о допускаемой ошибке. Обычно ограничиваются отысканием лишь верхней границы \delta допускаемой ошибки с заданной вероятностью \gamma, т. е.

P(|\overline{X}-a|\le\delta)=\gamma.

При этом возможны следующие случаи оценки числа испытаний:

  1. Случайная величина Х распределена нормально и ее среднее квадратическое отклонение (стандартное отклонение) \delta известно. В этом случае с заданной вероятностью \gamma верхняя граница ошибки определяется по формуле

    \delta=\frac{x\sigma}{\sqrt{N}}, ( 4.1)

    где:

    N — число испытаний (разыгранных значений случайной величины Х );

    х — значение аргумента функции Лапласа Ф(х) или интеграла вероятности, при котором она равна половине заданной вероятности;

    \sigma — известное среднее квадратическое отклонение.

    Из формулы (4.1) может быть найдено число испытаний. Один из вариантов интеграла вероятностей (функции Лапласа) имеет вид [6]

    Ф(х) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{0}^{x}e^{-t^2 /2} dt. ( 4.2)

    Значения Ф(х) табулированы и приведены в большинстве учебников по теории вероятностей и математической статистике.

    В зарубежной литературе большое распространение получила так называемая функция ошибок ( error function ) erf:

    erf(х) = \frac{2}{\sqrt{\pi}}\int\limits_{0}^{x}e^{-t^2} dt. ( 4.3)

    Связь между функцией ошибок (4.3) и интегралом вероятностей (4.2) выражается в виде

    Ф(х) = 0.5 erf(x/\sqrt{2}). ( 4.4)
  2. Случайная величина Х распределена нормально, причем ее среднее квадратическое отклонение неизвестно. В этом случае с заданной вероятностью \gamma верхняя граница ошибки вычисляется по формуле

    \delta=\frac{t_{\gamma}s}{\sqrt{N}}, ( 4.5)

    где:

    N — число испытаний;

    s — "исправленное" среднее квадратическое отклонение;

    t_{\gamma} находят по специальным таблицам, например, приведенной в [6].

    Из формулы (4.5) может быть найдено число испытаний для определения верхней границы ошибки.

  3. Случайная величина Х распределена по закону, отличному от нормального. В этом случае при достаточно большом числе испытаний ( n > 30 ), с вероятностью, приближенно равной \gamma (заданной вероятностью), верхняя граница ошибки может быть вычислена по формуле (4.1), если среднее квадратическое отклонение случайной величины известно; если же оно неизвестно, то можно подставить в формулу (4.1) его оценку — "исправленное" среднее квадратическое отклонение — либо воспользоваться формулой (4.5). При этом чем больше число испытаний, тем меньше различие между результатами, которые дают обе формулы.

2. Вычисление кратных интегралов методом Монте-Карло

В случае когда, например, определенный интеграл не может быть вычислен в квадратурах, либо прибегают к численным методам интегрирования, либо расчет ведется с помощью метода Монте-Карло. Применение метода Монте-Карло становится оправданным при кратности интеграла больше трех. В данной лабораторной работе мы используем метод Монте-Карло для расчета интегралов с кратностью не более трех. Это позволит более ясно представить технику применения метода.

Сначала рассмотрим вычисление простого определенного интеграла

I=\int\limits_{a}^{b}f(x)dx ( 4.6)

где b \ne a.

Введем под знак интеграла постоянный множитель (равный единице):

\frac{b-a}{b-a},\\I=\int\limits_{a}^{b}f(x)\frac{b-a}{b-a}dx. ( 4.7)

Вынесем из-под интеграла числитель дроби, получим

I=(b-a)\int\limits_{a}^{b}f(x)\frac{1}{b-a}dx. ( 4.8)

Как известно, если случайная величина Х распределена на заданном интервале (например, b – a ) равномерно, то ее функция плотности p(x) обратно пропорциональна длине интервала, т. е.

p(x)=\frac{1}{b-a}.

Кроме того, если известно распределение случайной величины Х, то функция от этой случайной величины f(x) будет иметь тот же самый закон распределения. В этом случае математическое ожидание M[x] непрерывной равномерно распределенной случайной величины рассчитывается по формуле

M[x]=\int\limits_{a}^{b}x\frac{1}{b-a}dx.

Соответственно, математическое ожидание от функции случайной величины будет определяться следующим образом:

M[f(x)]=\int\limits_{a}^{b}f(x)\frac{1}{b-a}dx. ( 4.9)

Сопоставляя (4.8) и (4.9), приходим к выводу, что определенный интеграл может быть рассчитан по формуле

I=(b-a)M[f(x)]. ( 4.10)

Несмещенной оценкой математического ожидания случайной величины, как известно, является ее среднее арифметическое. Поэтому математическое ожидание можем приближенно найти по формуле

M[f(x)]\approx \frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}f(x_i). ( 4.11)

С учетом (4.11) получаем выражение для приближенного расчета определенного интеграла

I\approx \frac{b-a}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}f(x_i). ( 4.12)

Чем больше число испытаний n, тем точнее будет расчет математического ожидания (4.11) и, следовательно, определенного интеграла, вычисляемого по формуле (4.12).

Рассмотрим общий подход вычисления m -кратного интеграла с помощью метода Монте-Карло [5].

Пусть задан m -кратный интеграл вида

I=\mathop{\int\int ... \int}\limits_{D} f(x_1,x_2,...,x_m)dx_1dx_2...dx_m, ( 4.13)

где подынтегральная функция f(x) задана на замкнутой области D \subset R^m.

Погрузим область интегрирования D в m -мерный промежуток

D^* = [a_1, b_1]\times[a_2, b_2]\times ... [a_m, b_m], ( 4.14)

имеющий меру

\mu(D^*)=\prod\limits_{j=1}^{m}(b_j-a_j). ( 4.15)

Определим в промежутке (4.15) функцию

g(x)=\begin{cases}
f(x),&x\in D;\\
0, &x \in D^* \setminus D.\\
\end{cases} ( 4.16)

Тогда в соответствии с (4.13) и (4.16) получим

I=\mathop{\int\int ... \int}\limits_{D^*} g(x_1,x_2,...,x_m)dx_1dx_2...dx_m, ( 4.17)

Введем в рассмотрение m -мерную случайную величину Х, имеющую в замкнутой области равномерное распределение вероятностей с дифференциальной функцией плотности

p(x)=\frac{1}{\mu (D^*)} ( 4.18)

Функция плотности равномерного распределения есть величина постоянная, поэтому введем ее под знак интеграла (4.17) следующим образом:

I=\mathop{{\int\int ... \int} g(x_1,x_2,...,x_m)}\limits_{D^*}\frac{\mu (D^{*})}{\mu (D^{*})}dx_1dx_2...dx_m, ( 4.19)

Вынесем числитель дроби за знак интеграла, т. е.

I=\mu (D^{*})\mathop{{\int\int ... \int} g(x_1,x_2,...,x_m)}\limits_{D^*}\frac{1}{\mu (D^{*})}dx_1dx_2...dx_m, ( 4.20)

В (4.20) m -кратный интеграл — это математическое ожидание от функции g(x) случайной величины в предположении, что случайная величина Х распределена равномерно с плотностью (4.18). Следовательно, можем записать

I=\mu (D^{*})M[g(x)], ( 4.21)

где х = (х_{1}, х_{2}, ... , х_{m}).

В свою очередь математическое ожидание может быть оценено с помощью арифметического среднего. Тогда приближенное значение m -кратного интеграла будет определяться приближенной формулой

I\approx \frac{\mu (D^{*})}{N}\sum\limits_{k=1}^{N}g(x^{(k)}), ( 4.22)

где x^{(k)} \in D^{*} — значение случайной величины Х в k -м испытании.

Чтобы смоделировать выборку m -мерной случайной величины Х, равномерно распределенной в m -мерном промежутке D^{*}, используются псевдослучайные числа. Для этого в каждом испытании с номером k выбирают m псевдослучайных чисел r_i^{(k)},\mbox{  }i=\overline{1,m}, и по ним определяют координаты случайной величины x_i^{k}=a_i+(b_i-a_i)r_i^{(k)},\mbox{  }i=\overline{1,m}, псевдослучайной точки x^{(k)} [5].

Таким образом, техника применения метода Монте-Карло здесь будет заключаться в определении области D^{*}, генерировании в ней псевдослучайных чисел, подсчета числа попаданий этих чисел в область D и применении формулы (4.22).

Расчет площадей и объемов можно рассматривать как частный случай вычисления кратных интегралов. Например, вычисление объема тел с помощью трехкратного интеграла сводится к взятию интеграла по области при подынтегральной функции, тождественно равной единице.

< Лекция 3 || Лекция 4: 12 || Лекция 5 >
Мария Ястребинская
Мария Ястребинская

Добрый день. Я приступила сегодня к самостоятельному изучению курса "Моделирование систем". Хочу понять - необходимо ли отсылать мои решения практических заданий на сайт, (и если да - то где найти волшебную кнопку "Загрузить...") или практические задания остаются полностью на моей совести? (никто не проверяет, и отчётности по ним я предоставлять не обязана?)

P.S.: тьютора я не брала

алена зянтерекова
алена зянтерекова
Никита Юрьев
Никита Юрьев
Россия, Воронежская область