Московский государственный университет путей сообщения
Опубликован: 12.09.2011 | Доступ: свободный | Студентов: 3129 / 119 | Оценка: 4.67 / 4.33 | Длительность: 18:55:00
Специальности: Программист
Лекция 3:

Система принятия решений на основе математической логики событий

< Лекция 2 || Лекция 3: 123 || Лекция 4 >
Аннотация: Вновь, несколько с другой стороны, подойдем к важной проблеме построения системы принятия решений на основе логической нейронной сети. Читатель, не удовлетворенный изложенным выше, может совершить повторную попытку войти в курс дела на основе математической логики событий [6], когда на основе более сложного примера просматривается весь процесс построения логической нейронной сети. Иллюстрируются: структурированное логическое описание системы принятия решений, составление вспомогательной "электронной" схемы, применение (отвергнутых далее) основ нечеткой логики, применение "стандартных" нейронов, реализующих функцию активации, преобразование сложной нейронной сети в однослойную.
Ключевые слова: высказывание, определение, исчерпывающее множество событий , диапазон, значение, истина, прецедент, множества, исключающее ИЛИ, мышление, дерево логических возможностей, активный, ветвление, ПО, конъюнкция, путь, дизъюнкция, операции, действительный, функция, переменная, дистрибутивное преобразование, объединение, факторное пространство событий , факторное пространство, импликация, логические выражения, выражение, принятия решений, система логических выражений, непротиворечивость, логическое описание, система принятия решений, логическая функция, доказательство, булева функция, дизъюнктивная нормальная форма, отрицание, память, функция активации нейрона, эквивалентное преобразование, ясность, конъюнктор, дизъюнктор, единица, коллизия, логическая переменная, опыт, достоверность, вероятность, вес, нечеткое множество, достоверность высказываний о событиях , агент, алгебра, предметной области, булева переменная, дерево, условная вероятность, вершина, логические операции, нечеткая логика, передаточная функция, функция активации, ассоциативное мышление , нейроподобный элемент, нейрон, верификация, значения порогов, корректность, сравнительные оценки, размножение решений , длина, быстродействие, минимизация, электрический сигнал, входной, выход, информация, алгоритм, бесформульные вычисления, однослойная нейронная сеть , сложение, исполнитель, монотонно возрастающей, выходной слой, сеть, объект, нейронная сеть, исчерпывающее множество событий

Исчерпывающее множество событий

Ученые объяснения большей частью производят то впечатление, что бывшее ясно и понятно становится темно и запутанно.

Л.Н. Толстой. "Дневники, 1900, сентябрь."

Следующие ниже построения не могут не затронуть смысловых особенностей высказываний о событиях. Кроме чисто формальных свойств высказываний, выражающихся в их истинности или ложности, невозможно полностью абстрагироваться от содержательной сути или от контекста, в котором они звучат.

Определение 3.1. Исчерпывающее множество событий (ИМС) образуют те события, совокупность высказываний о которых покрывает весь возможный смысловой диапазон проявления объекта высказывания, и каждая допустимая ситуация характеризуется тем, что значение ИСТИНА (1) может принимать единственное высказывание из этой совокупности. (Значение 0 могут принимать все высказывания.)

Рассмотрим примеры.

1) В состав редколлегии входят трое: Иванов, Петров, Сидоров. Тогда провозглашение фамилий этих фигурантов определяет исчерпывающее множество событий при выдвижении единственного представителя коллектива в президиум собрания.

2) Наказуемое превышение скорости автомобиля делится на диапазоны: до 10%, от 10% до 20%, свыше 20%. Однако, если в регламентирующем документе заданы только диапазоны до 10% и от 10% до 100% (а что далее?), то это не будет соответствовать исчерпывающему множеству событий . Такие нестрогие определения возможного диапазона ситуаций являются причиной юридической казуистики, требующей дальнейшего исследования прецедента.

Итак, ИМС, которому соответствует множество высказываний А = \{x1, …, xn\}, характеризуется тем, что при соответствующих обстоятельствах одно и только одно высказывание из этого множества может принимать значение 1. Это и определяется операцией ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ, которую будем обозначать .

Очевидны главные свойства высказываний о событиях из ИМС:

\overline{x_i} = x1\dot\lor … \dot \lor x_{i-1}\dot \lor x_{i+1}\dot \lor … \dot \lor x_n. ( 3.1)
x_i \land x_j= \begin{cases}
0,\ &при\ i \ne j\\
x_i,\ &при\ i=j
\end{cases} ( 3.2)

Дерево логических возможностей. Факторное пространство событий

Для строгого логического мышления, исключающего неопределенность, приходится оперировать не отдельными событиями и даже не исчерпывающими множествами таких событий (высказываниями о них), а композициями таких множеств. Между событиями, принадлежащими различным множествам, возможна зависимость, порождающая сложные высказывания. Да и сами ИМС могут определяться и инициироваться обстоятельствами, обусловленными событиями из других ИМС. Связи между ИМС, образующие сложные высказывания, отображаются деревом логических возможностей .

Рассмотрим пример.

Пансионат для ветеранов труда обеспечивает постояльцам активный отдых круглый год. Представим схемой (рис.3.1) распорядок дня отдыхающих. Такая схема и определит дерево логических возможностей.

Полное дерево логических возможностей

увеличить изображение
Рис. 3.1. Полное дерево логических возможностей

Уровни ветвления могут формироваться разными способами. Например, первый уровень можно сформировать на основе времен года и т.д. Однако в порядке рекомендации можно следовать правилу: события располагаются на более низких уровнях по сравнению с теми уровнями, которые занимают события, от которых зависят данные события.

Бабушка пишет внуку: "Зимой я после завтрака катаюсь на лошади, и летом я после завтрака катаюсь на лошади, а также весной после завтрака прогулка бывает на лошади". …Что-то ей не нравится, и она строит схему своего составного высказывания: f = x1 \land x7  \land  x14 \lor x1 \land x5 \lor x14 \land x1 \land x4 \land x10 \land x14. Несколько поразмыслив, бабушка использует вынесение за скобку: f = x1 \land x14 \land (x5 \lor x7 \lor x4 \land x10). Тогда окончательный текст сообщения принимает вид: "После завтрака я катаюсь на лошади летом или зимой, а также, бывает, и весной, — вместо прогулки". Как же бабушка определила форму того логического выражения, — функции, отображающей все возможные варианты, и даже пути, ведущие к свершению интересующего события?

Ответ следующий: необходимо на каждом пути в дереве логических возможностей , ведущем к заданному событию, построить конъюнкцию событий, образующих этот путь. Затем все такие конъюнкции объединить операцией дизъюнкции. Поскольку используются только исчерпывающие множества событий , очевидно, что эта дизъюнкция выполняется с помощью операции \dot \lor, т.е. ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ (хотя можно пользоваться значком \lor, опираясь на действительный, "физический" смысл возможных событий).

Полученная таким способом функция вызывает естественное желание быть подвергнутой дистрибутивному преобразованию — "вынесению за скобки".

Отметим, что в результате такого способа построения искомая функция принимает вид, при котором каждая используемая переменная-высказывание входит не более одного раза.

Например, функция, отображающая такое событие в жизни бабушки, как езда на велосипеде, имеет вид: g = x1 \land x4 \land x10 \land x13 \dot \lor  x1 \land x5 \land x13 = x1 \land x13 \land (x4 \land x10 \dot \lor x5).

Однако далее будет показано, что не всегда единственного вхождения переменных можно добиться с помощью дистрибутивных преобразований. Иногда требуются дополнительные действия для его осуществления.

Определение 3.2. Совокупность всех исследуемых в данном контексте событий, т.е. множество – объединение всех рассматриваемых ИМС, образует факторное пространство событий .

Как и ранее, точку факторного пространства (ситуацию) будем обозначать {x_1, …, x_n}.

Итак, показана возможность построения логических функций на основе высказываний о событиях из факторного пространства. Как видно из примера, факторное пространство событий отображается ветвящейся структурой на основе отдельных исчерпывающих множеств событий , входящих в его состав. Тогда подмножества, состоящие из таких ИМС, тоже являются факторными подпространствами, которые в некотором контексте можно исследовать отдельно.

Факторное подпространство для исследований финансовых затрат на питание

Рис. 3.2. Факторное подпространство для исследований финансовых затрат на питание

Например, можно отдельно исследовать факторное подпространство, сформированное на основе первых двух уровней ветвления (рис.3.2) в приведенном на рис.3.1 дереве логических возможностей . Это может быть необходимо при планировании финансовых расходов пансионата на питание.

Можно, в соответствии с поставленной задачей (в контексте исследований), формировать другие факторные пространства событий . Например, планирование использования спортивного инвентаря по времени года приводит к целесообразности факторного пространства, структура которого показана на рис.3.3.

Факторное пространство для планирования спортивного инвентаря

увеличить изображение
Рис. 3.3. Факторное пространство для планирования спортивного инвентаря

Система принятия решений

Для некоторой логической функции f от переменных из факторного пространства событий воспользуемся операцией следования (импликации) и сформируем логическое выражение вида

f(x_1, …, x_n) \to R. ( 3.3)

Здесь f следует рассматривать как выражение, определяющее условие, сложившуюся ситуацию, посылку, а R – высказывание, которое рассматривается как следствие: правило поведения, значение векторной функции, указание к действию и т.д. Таким образом, возможно формирование связей вида "посылка – следствие", "если … то". При этом функция f задается на множестве ситуаций и указывает на то, что, если на некоторой ситуации она принимает значение 1 (ИСТИНА), то такое же значение принимает высказывание R, являясь руководством к действию, к принятию определенного решения.

Подобно (3.3), можно описать множество логических выражений, определяющих стройную систему управления или принятия решений в соответствии со складывающейся ситуацией в факторном пространстве событий :

f_1(x_1, ..., x_n) \to R_1\\
............................\\
f_m(x_1, ..., x_n) \to R_m ( 3.4)

Определение 3.3. Система логических выражений вида (3.4), заданная на факторном пространстве (подпространстве) событий, обладающая полнотой и непротиворечивостью, называется системой принятия решений (СПР).

Поясним важность свойств, указанных в определении.

То, что система функций f_1, …, f_m является полной, означает, что любая точка факторного пространства событий входит в область задания хотя бы одной из этих функций. Непротиворечивость означает, что по каждой ситуации одна и только одна из этих функций принимает значение 1, приводящее к истинности соответствующего высказывания – решения. Однако отметим, что, в действительности, на основе смыслового содержания задачи, по каждой или некоторой ситуации может быть известно более одного правильного решения, приводящего к успешным действиям. В таком случае высказывания об этих решениях могут быть объединены операцией ИЛИ, что приводит к приведенному выше предположению о непротиворечивости.

Приведем теорему, которая дает обоснование общего вида логического описания любой системы принятия решений – того вида, к которому на пути упрощения задачи рекомендуется приводить описание СПР для нейросетевой реализации.

Теорема. Любая логическая функция, входящая в состав описания системы принятия решений, может быть приведена к дизъюнкции конъюнкций высказываний о событиях.

Доказательство. Из основ математической логики (в частности, - теории булевых функций) известно, что каждая такая функция может быть представлена дизъюнктивной нормальной формой. Однако в ней, наряду с переменными, участвуют их отрицания. Ориентируясь на применение исчерпывающих множеств событий , воспользуемся (3.1) для выражения таких отрицаний. "Раскроем скобки", вновь выделив конъюнкции, объединенные операциями дизъюнкции. Упростим эти конъюнкции с помощью (3.2). Получим форму, объявленную в теореме. Теорема доказана.

Данная теорема объясняет, почему в последующих примерах преимущественно принимается именно объявленная форма описания СПР, или легко сводящаяся к ней, а отрицания событий не рассматриваются.

Пусть известная нам бабушка планирует занятия физкультурой и спортом во все времена года по времени дня: после завтрака, после обеда и после ужина. Объединяя высказывания по принципу "если … то" и пользуясь обозначениями на рис.3.1, она формирует систему принятия решений, которой, не полагаясь на память, намерена строго следовать, добившись согласия администрации.

Система имеет вид:

1.\  x_1 \land x_4  \to R_1 = "Прогулка\ на\ велосипеде";\\
2.\  x_1 \land x_6 \lor x_2 \land x_4 \to R_2 = "Шахматы";\\
3.\  x_2 \land x_5 \lor x_1 \land x_7 \to R_3 = "Верховая\ езда";\\
4.\  x_1 \land x_5 \lor x_2  \land x_6 \to R_4 = "Байдарка";\\
5.\  x_3  \land (x_4 \lor x_6) \to R_5 = "Дискотека";\\
6.\  x_2  \land x_7 \to R_6 = "Пешая\ прогулка";\\
7.\  x_3  \land (x_5 \lor x_7) \to R_6 = "Пешая прогулка". ( 3.5)

Планируя пешую прогулку, бабушка первоначально получила следующее выражение:

(x2 \land x7 \lor x3 \land x5) \lor (x3 \land x7) \to R6= "Пешая\  прогулка".

Однако выше не напрасно обращается внимание на целесообразность однократного вхождения переменных в подобное выражение. (Ведь далее, при переходе к функции активации нейрона, возможно неоднократное суммирование одних и тех же переменных.) Выражение, полученное первоначально, с помощью эквивалентных преобразований привести к такому виду не удается. Тогда бабушка решает разбить это выражение на два подобных, сформировав получение одного и того же решения ("размножив" решение) на основе двух условий. Это и послужило появлению в (3.5) двух выражений, определяющих одно решение R_6.

Легко убедиться, что все возможные ситуации факторного пространства событий охвачены, что демонстрирует полную ясность действий бабушки.

Системы принятия решений могут образовывать сложные иерархические структуры. В этом случае необходимо, чтобы высказывания-решения R_1, …, R_m отображали события, образующие ИМС.

< Лекция 2 || Лекция 3: 123 || Лекция 4 >
Владислав Гладышев
Владислав Гладышев

А как проходить курс ? я же могу прямо сейчас все лекции прочитать и здать экзамен, к чему там даты ? 

Максим Куклин
Максим Куклин

Добрый день!

В лекции не отобразил определение персептрона, увидел его в дополнительных материалах.

Получается, что персептрон распознает образ по эталону, а логическая НС - по "пачке" признаков?

Михаил Алексеев
Михаил Алексеев
Россия, Уфа, УГАТУ, 2002
Павел Костицын
Павел Костицын
Россия, Лысьва, ЛФ ПНИПУ, 2013