Новосибирский Государственный Университет
Опубликован: 25.07.2006 | Доступ: свободный | Студентов: 2864 / 441 | Оценка: 4.21 / 3.83 | Длительность: 11:03:00
ISBN: 978-5-9556-0069-7
Специальности: Программист, Математик
Лекция 16:

Теория трансверсалей

< Лекция 15 || Лекция 16: 123 || Лекция 17 >
Аннотация: Теория трансверсалей. Приложение теории трансверсалей.

Теория трансверсалей

Приводятся определения трансверсали. Используя эти понятия, дается еще одно доказательство теоремы Холла. Описывается несколько приложений в лексике трансверсалей.

Если E — непустое конечное множество и \varphi
=(S_{1}\dts
S_{m}) — семейство (не обязательно различных) непустых его подмножеств, трансверсалью (или системой различных представлений ) для \varphi называется подмножество множества E, состоящее из m элементов: по одному из каждого множества S_{i}.

Общие трансверсали. Если E — непустое конечное множество, а \varphi =(S_{1} \dts S_{m}) и \tau =(T_{1}\dts
T_{m}) — два семейства его непустых подмножеств, то интересно знать, когда существует общая трансверсаль для \varphi и \tau, то есть множество, состоящее из m различных элементов множества E и являющееся трансверсалью и для \varphi, и для \tau.

Рассмотрим пример. Предположим, что E=\{ 1,2,3,4,5,6\}, а S_{1}
=S_{2} =\{ 1,2\}, S_{3} =S_{4} =\{ 2,3\}, S_{5} =\{
1,4,5,6\}. Подсемейство \varphi' =(S_{1},S_{2},S_{3},S_{5}) имеет трансверсаль, например \{ 1,2,3,4\}. Трансверсаль произвольного подсемейства семейства \varphi будем называть частичной трансверсалью для \varphi ; в нашем примере семейство \varphi имеет несколько частичных трансверсалей (например, \{1,2,3,6\}, \{2,3,6\}, \{1,5\}, \emptyset и т.д.). Ясно, что любое подмножество частичной трансверсали само является частичной трансверсалью.

Естественно спросить: при каких условиях данное семейство подмножеств некоторого множества имеет трансверсаль? Легко увидеть связь между этой задачей и задачей о свадьбах, если взять за Е множество девушек, а за S_{i} — множество девушек, знакомых юноше b_{i}
(1\le i\le m) ; трансверсалью в этом случае является множество из m девушек, такое, что каждому юноше соответствует ровно одна (знакомая ему) девушка. Следовательно, теорема Холла дает необходимое и достаточное условие существования трансверсали для данного семейства множеств. Сформулируем теорему Холла для этого случая и дадим другое ее доказательство, принадлежащее Р.Радо.

Теорема Пусть E — непустое конечное множество и \varphi
=(S_{1} \dts
S_{m}) — семейство непустых его подмножеств; тогда \varphi имеет трансверсаль в том и только в том случае, если для любых k подмножеств S_{i} их объединение содержит, по меньшей мере, k элементов (1\le k\le m).

Доказательство Необходимость этого условия очевидна. Для доказательства достаточности установим, что если одно из подмножеств (скажем, S_{1} ) содержит более одного элемента, то можно удалить один элемент из S_{1}, не нарушив условия теоремы. Повторением этой процедуры мы добьемся сведения задачи к тому случаю, когда каждое подмножество содержит только один элемент. Тогда утверждение станет очевидным.

Осталось обосновать законность этой "процедуры сведения". Предположим, что S_{1} содержит элементы x и y, удаление каждого из которых нарушает условие теоремы. Тогда существуют подмножества A и B множества \{ 2,3\dts m\}, обладающие тем свойством, что

\begin{align*}
\left|\bigcup _{j\in A}S_{j} \bigcup (S_{1} -\{ x\} )  \right| & \le
\left|A\right|\\
\left|\bigcup_{j\in B}S_{j} \bigcup (S_{1} -\{ y\} )\right| & \le
\left|B\right|.
\end{align*}

Но эти два неравенства приводят к противоречию, поскольку

\begin{aligned}
\left|A\right|+\left|B\right|+1 & =\left|A\bigcup B
\right|+\left|A\bigcap B \right|+1\le\\
& \le  \left|\bigcup _{jA\bigcup B }S_{j} \bigcup S_{1}
\right|+\left|\bigcup _{j\in A\bigcap B }S_{j}  \right|\le
\quad \t{(по условию)}\\
& \le \left|\bigcup _{j\in A}S_{j} \bigcup (S_{1} -\{ x\} )
\right|+\left|\bigcup _{j\in B}S_{j} \bigcup S_{1} -\{ y\} )
\right|\le\\
& \qquad \qquad \qquad\qquad\qquad \qquad\le \quad  \t{(так как  $\left|S_{1} \right|\ge 2)$}\\
& \le \left|A\right|+\left|B\right| \quad \t{(по предположению)}.
\end{aligned}

Прелесть этого доказательства в том, что оно проводится, по существу, лишь в один шаг, в отличие от доказательства Халмоша-Вогена, которое предполагает исследование двух отдельных случаев. (Однако доказательство Радо труднее перевести на весьма наглядный матримониальный язык!).

Следствие В тех же обозначениях, что и выше, \varphi имеет частичную трансверсаль мощности t тогда и только тогда, если для любых k подмножеств S_{i} их объединение содержит, по меньшей мере, k+t-m элементов.

Доказательство Требуемый результат можно получить, применив теорему Холла в лексике трансверсалей к семейству \varphi' =S_{1} \bigcup D\dts S_{m}
\bigcup D, где Dпроизвольное множество, не непересекающееся с E и состоящее из m-t элементов. Заметим, что \varphi имеет частичную трансверсаль мощности t тогда и только тогда, если \varphi' имеет трансверсаль.

Следствие Если E и \varphi такие же, как и прежде, а X — любое подмножество из E, то X содержит частичную трансверсаль мощности t для \varphi тогда и только тогда, если для каждого подмножества A множества \{1\dts m\}

\left|(\bigcup _{j\in A}S_{j} )\bigcap X  \right|\ge
\left|A\right|+t-m.

Доказательство Достаточно применить предыдущее следствие к семейству \varphi_{x}
=(S_{1} \bigcap X\dts S_{m} \bigcup X).

< Лекция 15 || Лекция 16: 123 || Лекция 17 >
Владислав Нагорный
Владислав Нагорный

Подскажите, пожалуйста, планируете ли вы возобновление программ высшего образования? Если да, есть ли какие-то примерные сроки?

Спасибо!

Лариса Парфенова
Лариса Парфенова

1) Можно ли экстерном получить второе высшее образование "Программная инженерия" ?

2) Трудоустраиваете ли Вы выпускников?

3) Можно ли с Вашим дипломом поступить в аспирантуру?

 

Петр Гончар-Зайкин
Петр Гончар-Зайкин
Россия
Светлана Ведяева
Светлана Ведяева
Россия, Саратов