Новосибирский Государственный Университет
Опубликован: 25.07.2006 | Доступ: свободный | Студентов: 2866 / 441 | Оценка: 4.21 / 3.83 | Длительность: 11:03:00
ISBN: 978-5-9556-0069-7
Специальности: Программист, Математик
Лекция 15:

Паросочетания и свадьбы

< Лекция 14 || Лекция 15: 123 || Лекция 16 >

Приложение теоремы Холла

Рассмотрим приложения теоремы Холла в различных областях.

Латинские квадраты

Латинским (m\times n) - прямоугольником называется ( m\times n )-матрица M=(m_{ij}), элементами которой являются целые числа, удовлетворяющие условиям (1) 1\le m_{ij} \le n, (2) все элементы в каждой строке и в каждом столбце различны . Заметим, что из условий (1) и (2) следует, что m\le n ; если m=n, то латинский прямоугольник называется латинским квадратом. К примеру, ниже изображены латинский (3\times 5) -прямоугольник и латинский (5\times 5) -квадрат. Можно задать следующий вопрос: если дан латинский (m\times n) -прямоугольник, где m < n, когда можно присоединить к нему n-m новых строк так, чтобы получился латинский квадрат? Удивительно, что ответ на этот вопрос "всегда"!

\left[\begin{matrix}
1 & 2 & 3 & 4 & 5\\
2 & 4 & 1 & 5 & 3\\
3 & 5 & 2 & 1 & 4
\end{matrix}\right]
\left[\begin{matrix}
1 & 2 & 3 & 4 & 5\\
2 & 4 & 1 & 5 & 3\\
3 & 5 & 2 & 1 & 4\\
4 & 3 & 5 & 2 & 1\\
5 & 1 & 4 & 3 & 2
\end{matrix}\right]

Латинские квадраты долгое время были известны лишь математикам и любителям головоломок и, в основном, благодаря одной знаменитой задаче Л. Эйлера1Леонард Эйлер (1707-1783) — один из великих математиков XVIII века, создавших основы математического анализа. Швейцарец по происхождению, он жил и работал преимущественно в России. Эйлер, выделявшийся своей исключительной интуицией и разносторонностью интересов, оставил глубокий след практически во всех областях современной ему математики. Большое количество его замечательных результатов послужило основой для дальнейшего развития многих разделов математики. В 1782 г. Эйлер предложил следующую проблему.

Среди 36 офицеров находится по шесть офицеров шести различных званий из шести полков. Можно ли построить этих офицеров в каре так, чтобы в каждой колонне и каждой шеренге встречались офицеры всех званий и всех полков?

Лишь в 1901 г. удалось доказать, что это невозможно. Однако связанные с задачей Эйлера латинские квадраты не потеряли интереса, так как вскоре обнаружилось, что они имеют многообразные практические применения. А в конце 60-х годов двадцатого столетия они были применены в теории кодирования. Получающиеся на их основе коды допускают простые алгоритмы декодирования.

< Лекция 14 || Лекция 15: 123 || Лекция 16 >
Владислав Нагорный
Владислав Нагорный

Подскажите, пожалуйста, планируете ли вы возобновление программ высшего образования? Если да, есть ли какие-то примерные сроки?

Спасибо!

Лариса Парфенова
Лариса Парфенова

1) Можно ли экстерном получить второе высшее образование "Программная инженерия" ?

2) Трудоустраиваете ли Вы выпускников?

3) Можно ли с Вашим дипломом поступить в аспирантуру?

 

Петр Гончар-Зайкин
Петр Гончар-Зайкин
Россия
Светлана Ведяева
Светлана Ведяева
Россия, Саратов