Новосибирский Государственный Университет
Опубликован: 25.07.2006 | Доступ: свободный | Студентов: 2864 / 441 | Оценка: 4.21 / 3.83 | Длительность: 11:03:00
ISBN: 978-5-9556-0069-7
Специальности: Программист, Математик
Лекция 11:

О деревьях

< Лекция 10 || Лекция 11: 1234 || Лекция 12 >

Каркасы в неориентированном графе

Число каркасов в неориентированном графе определяется с помощью следующей матричной теоремы о деревьях в графе. Пусть M(G) обозначает матрицу, получаемую из матрицы A(G), где A(G)матрица смежности графа G, с помощью подстановки в ней на место i -го диагонального элемента числа \deg v_{i}.

Матричная теорема о деревьях для графов. Для всякого связного помеченного графа G все алгебраические дополнения матрицы M(G) равны друг другу и их общее значение представляет собой число каркасов графа G .

Пример. Для графа G (рис.11. 3) с матрицей смежности

A(G) = \left|\!\left|
\begin{matrix}
0 & 1 & 1 & 0\\
1 & 0 & 1 & 0\\
1 & 1 & 0 & 1\\
0 & 0 & 1 & 0
\end{matrix}
\right|\!\right|
матрица M(G) имеет вид
M(G) = \left|\!\left|
\begin{matrix}
\phantom{-}2 & -1 & -1 & \phantom{-}0\\
-1 & \phantom{-}2 & -1 & \phantom{-}0\\
-1 & -1 & \phantom{-}3 & -1\\
\phantom{-}0 & \phantom{-}0 & -1 & \phantom{-}1
\end{matrix}
\right|\!\right|.

Алгебраическое дополнение, например, элемента a_{1,4}, равно 3. Соответствующие каркасы графа G показаны на (рис.11. 4).


Рис. 11.3.

Рис. 11.4.

Интересен также следующий результат. Пусть G-n -вершинный граф без петель и B_0 — его матрица инциденции с одной удаленной строкой (т.е. с n - 1 независимыми строками). Пусть B^t_0транспонированная матрица к B_0. Тогда определитель |B_0^{}
B_0^t| равен числу остовных деревьев графа G.

Каркасы в ориентированных графах

Число каркасов в ориентированном графе определяется с помощью аналогичной матричной теоремы о деревьях в орграфе. Пусть Gорграф с матрицей смежности A(G). Определим диагональную матрицу M_{\rm
out}, у которой (i,i) -й элемент равен полустепени исхода {\rm
deg}^+v_i вершины v_i. Затем положим C_{\rm out}= M_{\rm out} -
A(G). Аналогично определяется матрица C_{\rm in} = M_{\rm in} -
A(G).

Матричная теорема о деревьях для орграфов. Все алгебраические дополнения i -й строки матрицы C_{\rm out} равны друг другу, и их общее значение есть число каркасов орграфа G, входящих в вершину v_i. Двойственным образом общее значение алгебраических дополнений i -го столбца матрицы C_{\rm in} равно числу каркасов, выходящих из вершины v_i .

Пример. Для графа G (см. рис.11.5) матрицы C_{\rm out} и C_{\rm in} имеют вид:

C_{\rm out} = \left|\!\left|
\begin{matrix}
2 & -1 & \phantom{-}0 & \phantom{-}0 & -1\\
\phantom{-}0 & \phantom{-}2 & -1 & -1 & \phantom{-}0\\
\phantom{-}0 & \phantom{-}0 & \phantom{-}1 & -1 &
\phantom{-}0\\
\phantom{-}0 & -1 & -1 & \phantom{-}0 & -1\\
-1 & \phantom{-}0 & \phantom{-}0 & \phantom{-}0 & \phantom{-}1
\end{matrix}
\right|\!\right|\qquad C_{\rm in} = \left|\!\left|
\begin{matrix}
\phantom{-}1 & -1 & \phantom{-}0 & \phantom{-}0 & -1\\
\phantom{-}0 & \phantom{-}2 & -1 & -1 & \phantom{-}0\\
\phantom{-}0 & \phantom{-}0 & \phantom{-}1 & -1 &
\phantom{-}0\\
\phantom{-}0 & -1 & \phantom{-}0 & \phantom{-}2 & -1\\
-1 & \phantom{-}0 & \phantom{-}0 & \phantom{-}0 & \phantom{-}2
\end{matrix}
\right|\!\right|

Используя их, убеждаемся сразу, исходя из первой строки матрицы C_{\rm
out} и из первого столбца матрицы C_{\rm in}, что орграф G имеет в точности четыре каркаса, выходящих из вершины 1, и два каркаса, входящих в эту вершину.


Рис. 11.5.
< Лекция 10 || Лекция 11: 1234 || Лекция 12 >
Владислав Нагорный
Владислав Нагорный

Подскажите, пожалуйста, планируете ли вы возобновление программ высшего образования? Если да, есть ли какие-то примерные сроки?

Спасибо!

Лариса Парфенова
Лариса Парфенова

1) Можно ли экстерном получить второе высшее образование "Программная инженерия" ?

2) Трудоустраиваете ли Вы выпускников?

3) Можно ли с Вашим дипломом поступить в аспирантуру?

 

Петр Гончар-Зайкин
Петр Гончар-Зайкин
Россия
Светлана Ведяева
Светлана Ведяева
Россия, Саратов