Новосибирский Государственный Университет
Опубликован: 25.07.2006 | Доступ: свободный | Студентов: 2864 / 441 | Оценка: 4.21 / 3.83 | Длительность: 11:03:00
ISBN: 978-5-9556-0069-7
Специальности: Программист, Математик
Лекция 11:

О деревьях

< Лекция 10 || Лекция 11: 1234 || Лекция 12 >

Перечисление и подсчет деревьев

Теорема (Кэли) Число t_n помеченных деревьев с n вершинами равно {t_n = n^{n-2}}.

Теорема (Скойнса) Число 2 -раскрашенных деревьев с m вершинами одного цвета и n вершинами другого равно S_n = n^{m -1} m^{n -1}.

Теорема (Рида) Число помеченных гомеоморфно несводимых деревьев равно h_{n}
=(n-2)!\suml_{k=2}^{n}(-1)^{n-k} \begin{pmatrix} {n} \\ {k} \end{pmatrix}
\frac{k^{k-2}}{(k-2)!}.

Непомеченные деревья

Пусть T(x)=\suml_{n=1}^{\infty }T_{n} x^{n}производящая функция для корневых деревьев.

Таким образом, T_{n} представляет собой число корневых деревьев с n вершинами.

Теорема (Пойа) Перечисляющий ряд корневых деревьев удовлетворяет соотношению

T(x)=x\cdot \exp \left\{\suml_{k=1}^{\infty }T(x^{k} )/k
\right\}\! ( *)
.

Из этой теоремы следует, что T(x) однозначно определяется функциональным уравнением (*). Из данного уравнения выводится формула для T(x). Данную зависимость получил Кэли: T(x)=x\cdot
\prod\limits_{p=1}^{\infty }(1-x^{p} )^{-T} p.

Следующая рекурсивная функция для вычисления T(n) принадлежит Оттеру.

Пусть

t(x)=\suml_{n=1}^{\infty }t_{n} x^{n}
производящая функция для деревьев, так что t_{n} есть число деревьев с n вершинами.

Теорема (Оттера) Ряд t_n^{}, перечисляющий деревья, выражается через ряд T(x) для корневых деревьев с помощью формулы t(x)=T(x){-}\frac{1}{2}
\left(T^{2}(x){-}T(x^{2})\right).

Ориентированные деревья

Пусть r(x) и R(x) — перечисляющие ряды для ориентированных и для корневых ориентированных деревьев, соответственно.\medskip

Теорема (Харари-Принса) Перечисляющие ряды r(x) и R(x) для ориентированных и для корневых ориентированных деревьев удовлетворяют соотношениям T(x)=x\cdot
\left(\exp \left\{\suml_{k=1}^{\infty }R(x^{k} )/k \right\}\right)^{2} и r(x)= R(x) - R^2(x).

< Лекция 10 || Лекция 11: 1234 || Лекция 12 >
Владислав Нагорный
Владислав Нагорный

Подскажите, пожалуйста, планируете ли вы возобновление программ высшего образования? Если да, есть ли какие-то примерные сроки?

Спасибо!

Лариса Парфенова
Лариса Парфенова

1) Можно ли экстерном получить второе высшее образование "Программная инженерия" ?

2) Трудоустраиваете ли Вы выпускников?

3) Можно ли с Вашим дипломом поступить в аспирантуру?

 

Петр Гончар-Зайкин
Петр Гончар-Зайкин
Россия
Светлана Ведяева
Светлана Ведяева
Россия, Саратов