Новосибирский Государственный Университет
Опубликован: 25.07.2006 | Доступ: свободный | Студентов: 2864 / 441 | Оценка: 4.21 / 3.83 | Длительность: 11:03:00
ISBN: 978-5-9556-0069-7
Специальности: Программист, Математик
Лекция 10:

Цепи Маркова

< Лекция 9 || Лекция 10: 1234 || Лекция 11 >
Аннотация: Еще раз об ориентированных графах. Задачи на круговые бескомпромиссные турниры. Цепи Маркова.
Ключевые слова: Степень выхода, Степень входа, Изолированная вершина, вершина, степень выхода, Источник, степень входа, Сток, путь, дуга, ребро, Простой путь, Замкнутый путь, Длина пути, длина, расстояние от, называется бесконечный, расстояние, Полный ориентированный граф, граф, полный граф, ПО, круговой турнир, турнир в один круг, бескомпромиссный, отношение, команда, орграф, доказательство, математическая индукция, вершины графа, путь в графе, конечные, случайное блуждание, вычисление, матрица перехода, вероятность, вероятности перехода, вектор, вектор вероятностей, матрица, дискретная стационарная цепи Маркова, состояние цепи, матрица смежности, ассоциированный орграф данной цепи Маркова, орцепь, неприводимая, возвратное (или рекурсивное) состояние., состояние, называется невозвратный, поглощающее состояние, периодические, непериодическое, поглощающее состояние, состояние, эргодическая, состояние цепи, эргодическая цепь

Еще раз об ориентированных графах

Степенью выхода вершины v_{a} ориентированного графа называется число выходящих из v_{a} дуг (ребер). Степенью входа вершины v_{a} ориентированного графа называется число входящих в v_{a} дуг (ребер).

Изолированной вершиной называется вершина, у которой и степень входа, и степень выхода равны 0. Источником называется вершина, степень выхода которой положительна, а степень входа равна 0. Стоком называется вершина, степень входа которой положительна, а степень выхода равна 0. Путем в ориентированном графе D от v_{1} до v_{n} называется последовательность ориентированных дуг (ребер) (v_{1},v_{2}),(v_{2},v_{3}),\ldots, (v_{n-1},v_{n}), такая, что конец каждой предыдущей дуги (ребра) совпадает с началом следующей и ни одна дуга (ребро) не встречается более одного раза. Если в ориентированном графе D нашелся путь от v_{a} до v_{b}, то обратного пути от v_{b} к v_{a} может и не быть. Простым путем в ориентированном графе называется путь, в котором ни одна вершина не содержится более одного раза. Замкнутый путь в ориентированном графе называется ориентированным циклом. Длиной пути называется число дуг (ребер) в этом пути. Расстоянием от v_{a} до v_{b} в ориентированном графе называется длина наикратчайшего пути от v_{a} до v_{b}. Если пути от v_{a} до v_{b} не существует, то расстояние от v_{a} до v_{b} называется бесконечным. Оно обозначается \infty. Расстояние от v_{a} до v_{b} будем обозначать S(v_{a} v_{b}). Полным ориентированным графом называется граф, каждая пара вершин которого соединена в точности одной ориентированной дугой (ребром). Если с каждого ребра (дуги) полного ориентированного графа снять направление, то образуется полный граф с неориентированными ребрами (дугами).

Задачи на круговые бескомпромиссные турниры

Напомним, что соревнование, в котором каждая из команд играет с каждой из остальных команд в точности по одному разу, называют круговым турниром или турниром в один круг. Если каждая встреча оканчивается непременно выигрышем одной из команд, то круговой турнир называется бескомпромиссным. Круговой бескомпромиссный турнир проводится, например, в волейболе и баскетболе. Так как мы рассматриваем исключительно бескомпромиссные круговые турниры, не возникает опасности спутать их с каким-либо другим видом турниров; такое соревнование будем называть сокращенно турниром. Каждому турниру соответствует полный ориентированный граф, в котором вершины представляют команды, а каждая ориентированная дуга (v_{a},v_{b}) выражает отношение " v_{a} победила v_{b} ". Степень выхода любой вершины v_{a} есть число побед, одержанных командой v_{a}.

Задача 1. Турнир по волейболу проводится между n командами. Докажем, что если какие-нибудь две команды одержали в турнире одинаковое число побед, то найдутся среди участников три команды I, II, III, такие, что I выиграла у II, II выиграла у III, а III выиграла у I.

Решение. Пусть v_{a} и v_{b} — две команды, одержавшие одинаковое число побед, например, p побед. Пусть к тому же v_{a} выиграла у v_{b}. Те p команд, у которых выиграла команда v_{b}, обозначим c_{1},c_{2} \dts c_{p} (рис. 10.1).


Рис. 10.1.

Рис. 10.2.

Команда v_{a} не могла одержать победы над всеми командами из числа c_{1}, c_{2} \dts c_{p}, так как иначе она одержала бы больше, чем p побед.

Следовательно, среди команд c_{1},c_{2} \dts v_{p} найдется хотя бы одна, которая одержала победу над v_{a}. Стрелку от нее направим v_{a}. Путь замкнется.

Сформулируем полученный результат на языке графов.

< Лекция 9 || Лекция 10: 1234 || Лекция 11 >
Владислав Нагорный
Владислав Нагорный

Подскажите, пожалуйста, планируете ли вы возобновление программ высшего образования? Если да, есть ли какие-то примерные сроки?

Спасибо!

Лариса Парфенова
Лариса Парфенова

1) Можно ли экстерном получить второе высшее образование "Программная инженерия" ?

2) Трудоустраиваете ли Вы выпускников?

3) Можно ли с Вашим дипломом поступить в аспирантуру?

 

Петр Гончар-Зайкин
Петр Гончар-Зайкин
Россия
Светлана Ведяева
Светлана Ведяева
Россия, Саратов