Новосибирский Государственный Университет
Опубликован: 25.07.2006 | Доступ: свободный | Студентов: 2864 / 441 | Оценка: 4.21 / 3.83 | Длительность: 11:03:00
ISBN: 978-5-9556-0069-7
Специальности: Программист, Математик
Лекция 9:

Орграфы

< Лекция 8 || Лекция 9: 1234 || Лекция 10 >

Эйлеровы и гамильтоновы орграфы

Связный орграф D называется эйлеровым, если в нем существует замкнутая орцепь, содержащая каждую его дугу. Такая орцепь называется эйлеровой орцепью.

Например, граф, изображенный на рисунке, не является эйлеровым, хотя его основание — эйлеров граф.


Рис. 9.4.

Наша первая задача — найти условие, необходимое и достаточное для того, чтобы связный орграф был эйлеровым. Очевидно, что необходимым условием эйлеровости орграфа является его сильная связь. Если vвершина орграфа D, то называют полустепенью исхода v (обозначается \stackrel{\leftarrow}{\rho}\!\!(v) — стрелка направлена от v ) число дуг орграфа D, имеющих вид (v,w). Аналогично, полустепенью захода v (обозначается \stackrel{\rightarrow}{\rho}\!\!(v) называется число дуг из D вида (w,v). Отсюда сразу следует, что сумма полустепеней захода всех вершин орграфа D равна сумме их полустепеней исхода, поскольку каждая дуга из D участвует в каждой сумме ровно один раз. Будем называть этот результат орлемой о рукопожатиях!

Источником орграфа D называют вершину, у которой полустепень захода равна нулю. Стоком орграфа D называют вершину, у которой полустепень исхода равна нулю. Так, на (рис. 9.4) вершина v является источником, а wстоком. Заметим, что эйлеров орграф, кроме тривиального орграфа, не содержащего дуг, не может иметь ни источников, ни стоков.

Теорема 9.2. Связный орграф является эйлеровым тогда и только тогда, если \stackrel{\rightarrow}{\rho}\!\!(v) =
\stackrel{\leftarrow}{\rho}\!\!(v) для каждой его вершины v.

Теорема дается без доказательства, так как оно аналогично тем, которые даны в "Эйлеровы графы" .

Орграф D называется гамильтоновым, если в нем существует орцикл, включающий каждую его вершину. Орграф, содержащий простую орцепь, проходящую через каждую вершину, называется полугамильтоновым. О гамильтоновых орграфах известно очень мало, к тому же некоторые теоремы о гамильтоновых графах, по-видимому, нелегко, если вообще возможно, обобщить на орграфы. Естественно спросить: обобщается ли на орграфы теорема Дирака? Одно такое обобщение принадлежит Гуйя-Ури. Доказательство этого утверждения значительно сложнее, чем доказательство теоремы Дирака, и выходит за рамки этого курса. Доказательство теоремы Гуйя-Ури можно найти в книге C.Berge, Graphs and hypergraphs, North-Holland, 1973, Р. 196.

Теорема (Гуйя-Ури, 1973) Пусть D — сильно связный орграф, имеющий n вершин. Если \stackrel{\rightarrow}{\rho}\!\!(v) \ge n/2 и \stackrel{\leftarrow}{\rho}\!\!(v) \ge n/2 для любой его вершины v, то D является гамильтоновым орграфом.

Кажется, что получать результаты в этом направлении не очень просто, поэтому ограничимся рассмотрением вопроса о том, какие типы орграфов являются гамильтоновыми. В этом аспекте широко известен один тип орграфов — турниры. Для них соответствующие результаты принимают наиболее простую форму.

< Лекция 8 || Лекция 9: 1234 || Лекция 10 >
Владислав Нагорный
Владислав Нагорный

Подскажите, пожалуйста, планируете ли вы возобновление программ высшего образования? Если да, есть ли какие-то примерные сроки?

Спасибо!

Лариса Парфенова
Лариса Парфенова

1) Можно ли экстерном получить второе высшее образование "Программная инженерия" ?

2) Трудоустраиваете ли Вы выпускников?

3) Можно ли с Вашим дипломом поступить в аспирантуру?

 

Петр Гончар-Зайкин
Петр Гончар-Зайкин
Россия
Светлана Ведяева
Светлана Ведяева
Россия, Саратов