Новосибирский Государственный Университет
Опубликован: 25.07.2006 | Доступ: свободный | Студентов: 2864 / 441 | Оценка: 4.21 / 3.83 | Длительность: 11:03:00
ISBN: 978-5-9556-0069-7
Специальности: Программист, Математик
Лекция 7:

Графы с цветными ребрами

< Лекция 6 || Лекция 7: 12345 || Лекция 8 >
Аннотация: Реберная раскраска. Задачи на графы с цветными ребрами и вытекающие из них свойства. Задача о несцепленных треугольниках с одноцветными сторонами.

Реберная раскраска

Граф G называется реберно k - раскрашиваемым, если его ребра можно раскрасить k красками таким образом, что никакие два смежных ребра не окажутся одного цвета. Если граф G реберно k -раскрашиваем, но не является реберно (k-1) -раскрашиваемым, то k называется хроматическим классом или хроматическим индексом, или реберно-хроматическим числом графа G. При этом используется запись \chi_{e}(G)=k. На рисунке изображен граф G, для которого \chi_{e}(G)=4.


Ясно, что если наибольшая из степеней вершин графа G равна \rho, то \chi_{e}(G)\ge \rho. Следующий результат, известный как теорема Визинга, дает точные оценки для хроматического класса графа G. Доказательство этой теоремы можно найти у Оре (Ore O. The four-color problem, Academic Press, New York, 1967).

Теорема 7.1.(Визинг, 1964) Пусть в графе G, не имеющем петель, наибольшая из степеней вершин равна \rho; тогда \rho \le \chi _{e} (G)\le \rho +1.

Задача, состоящая в выяснении того, какие графы имеют хроматический класс \rho, а какие \rho +1, не решена. Однако в некоторых частных случаях соответствующие результаты находятся легко. Например, \chi_{e}
(C_{n})=2 или 3 в зависимости от того, четно n или нечетно, а \chi_{e}(W_{n} )=n-1, при n\ge 4. Хроматические классы полных графов и полных двудольных графов вычисляются тоже просто.

Теорема 7.2. \chi _{e} (K_{m,n} )=\rho =\max (m,n).

Доказательство

Без потери общности можно считать, что m\ge n и что граф K_{m,n} изображен так:


n вершин расположены на горизонтальной линии под m вершинами. Тогда искомая реберная раскраска получается последовательным окрашиванием ребер, инцидентных этим n вершинам, с использованием следующих групп красок:

\{1,2\dts m\};\{2,3\dts m,1\};\ldots ;\{n\dts m,1\dts n-1\};

при этом краски из каждой группы располагаются по часовой стрелке, вокруг соответствующей вершины.

Теорема 7.3. \chi_{e}(K_{n})=n, если n нечетно (n\ne
1), и \chi
_{e}(K_{n})=n-1, если n четно.

Доказательство

В случае нечетного n расположим вершины графа K_{n} в виде правильного n -угольника. Тогда его ребра можно раскрасить следующим образом: сначала окрашиваем каждую сторону n -угольника в свой цвет, а затем каждое из оставшихся ребер, диагонали n -угольника, окрашиваем в тот же цвет, что и параллельная ему сторона.


То, что граф K_{n} не является реберно (n-1) -раскрашиваемым, сразу же следует из того, что максимально возможное число ребер одного цвета равно (n-1)/2.

В случае четного n(\ge 4) граф K_{n} можно рассматривать как соединение полного (n-1) — графа K_{n-1} и отдельной вершины. Если в K_{n-1} окрасить ребра описанным выше способом, то для каждой вершины останется один неиспользованный цвет, причем все эти неиспользованные цвета будут различными. Таким образом, чтобы получить реберную раскраску K_{n}, достаточно окрасить оставшиеся ребра в соответствующие "неиспользованные" цвета.


< Лекция 6 || Лекция 7: 12345 || Лекция 8 >
Владислав Нагорный
Владислав Нагорный

Подскажите, пожалуйста, планируете ли вы возобновление программ высшего образования? Если да, есть ли какие-то примерные сроки?

Спасибо!

Лариса Парфенова
Лариса Парфенова

1) Можно ли экстерном получить второе высшее образование "Программная инженерия" ?

2) Трудоустраиваете ли Вы выпускников?

3) Можно ли с Вашим дипломом поступить в аспирантуру?

 

Петр Гончар-Зайкин
Петр Гончар-Зайкин
Россия
Светлана Ведяева
Светлана Ведяева
Россия, Саратов