Новосибирский Государственный Университет
Опубликован: 25.07.2006 | Доступ: свободный | Студентов: 2866 / 441 | Оценка: 4.21 / 3.83 | Длительность: 11:03:00
ISBN: 978-5-9556-0069-7
Специальности: Программист, Математик
Лекция 6:

Бесконечные графы

< Лекция 5 || Лекция 6: 12 || Лекция 7 >

Краткий обзор свойств бесконечных эйлеровых графов

Связный бесконечный граф G называется эйлеровым, если в нем существует бесконечная в обе стороны цепь, содержащая каждое ребро графа G. Такая бесконечная цепь называется (двусторонней) эйлеровой цепью. Назовем граф G полуэйлеровым, если в нем существует бесконечная (в одну или в обе стороны) цепь, содержащая каждое ребро графа G.

Теорема 6.3. Пусть G — связный счетный граф, являющийся эйлеровым. Тогда:

  1. В графе G нет вершин нечетной степени.
  2. Для каждого конечного подграфа H графа G бесконечный граф \bar{H} (полученный путем удаления из G ребер графа H ) имеет не более двух бесконечных связных компонент.
  3. Если, кроме того, степень любой вершины из H четна, то \bar{H} имеет ровно одну бесконечную связную компоненту.

Доказательство

  1. Предположим, что Pэйлерова цепь в графе G. Тогда при всяком прохождении цепи P через любую из вершин графа степень этой вершины увеличивается на два. А так как каждое ребро встречается в P ровно один раз, то каждая вершина должна иметь четную степень. Получим, что степень любой вершины из G должна быть либо четной, либо бесконечной.
  2. Разобьем цепь P на три подцепи P_{-},\,P_{0},\,P_{+} так, что P_{0} — конечная цепь, содержащая все ребра графа H (и, быть может, другие ребра), а P_{-}, P_{+} — две бесконечные в одну сторону цепи. Тогда бесконечный граф K, образованный ребрами цепей P_{-},P_{+} (а также инцидентными вершинами), имеет не более двух бесконечных компонент. Так как \bar{H} получается из K присоединением лишь конечного множества ребер, то отсюда и следует нужный результат.
  3. Пусть v,w — начальная и конечная вершины цепи P_{0}. Покажем, что v,\,w связаны в \bar{H}. Если v=w, то это очевидно. Если v\ne
w, то применяя следствие ( связный граф является полуэйлеровым тогда и только тогда, если в нем не более двух вершин имеют нечетные степени) к графу, полученному из P_{0} путем удаления ребер графа H предполагаем , что в этом ( графе ровно две вершины, а именно v,w, имеют нечетные степени), получим требуемый результат.

Можно получить соответствующие необходимые условия для полуэйлеровых бесконечных графов.

Теорема 6.4. Пусть G — связный счетный граф, являющийся полуэйлеровым, но не эйлеровым. Тогда:

  1. G содержит либо не более одной вершины нечетной степени, либо не менее одной вершины бесконечной степени.
  2. Для каждого конечного подграфа H графа G бесконечный граф \overline{H} (описанный ранее) содержит ровно одну бесконечную компоненту.

Оказывается, условие двух предыдущих теорем является не только необходимым, но и достаточным. Этот результат сформулируем в виде следующий теоремы, доказательство которой выходит за рамки данных лекций, его можно найти у Оре (Оре О., Теория графов, "Наука". М.: 1968).

Теорема 6.5. Пусть G — связный счетный граф. G является эйлеровым графом тогда и только тогда, когда выполнены следующие условия:

  1. В графе G нет вершин нечетной степени;
  2. для каждого конечного подграфа H графа G бесконечный граф \overline{H} (полученный путем удаления из G ребер графа H ) имеет не более двух бесконечных связных компонент;
  3. если, кроме того, степень любой вершины из H четна, то \overline{H} имеет ровно одну бесконечную связную компоненту.

Более того, G является полуэйлеровым тогда и только тогда, если выполнены либо эти условия, либо следующие условия:

  1. G содержит либо не более одной вершины нечетной степени, либо не менее одной вершины бесконечной степени;
  2. для каждого конечного подграфа H графа G бесконечный граф \overline{H} (описанный ранее) содержит ровно одну бесконечную компоненту.
  1. В графе G нет вершин нечетной степени.
  2. Для каждого конечного подграфа H графа G бесконечный граф \overline{H} (полученный удалением из G ребер графа H ) имеет не более двух бесконечных связных компонент.
  3. Если, кроме того, степень любой вершины из H четна, то \overline{H} имеет ровно одну бесконечную связную компоненту.
< Лекция 5 || Лекция 6: 12 || Лекция 7 >
Владислав Нагорный
Владислав Нагорный

Подскажите, пожалуйста, планируете ли вы возобновление программ высшего образования? Если да, есть ли какие-то примерные сроки?

Спасибо!

Лариса Парфенова
Лариса Парфенова

1) Можно ли экстерном получить второе высшее образование "Программная инженерия" ?

2) Трудоустраиваете ли Вы выпускников?

3) Можно ли с Вашим дипломом поступить в аспирантуру?

 

Петр Гончар-Зайкин
Петр Гончар-Зайкин
Россия
Светлана Ведяева
Светлана Ведяева
Россия, Саратов