Новосибирский Государственный Университет
Опубликован: 25.07.2006 | Доступ: свободный | Студентов: 2866 / 441 | Оценка: 4.21 / 3.83 | Длительность: 11:03:00
ISBN: 978-5-9556-0069-7
Специальности: Программист, Математик
Лекция 6:

Бесконечные графы

< Лекция 5 || Лекция 6: 12 || Лекция 7 >
Аннотация: Бесконечные графы. Краткий обзор свойств бесконечных эйлеровых графов.

Бесконечные графы

В данной лекции мы обобщим некоторые определения на случай бесконечных графов. Бесконечным графом называется пара (V(G), E(G)), где V(G)бесконечное множество элементов, называемое вершинами, а E(G) — бесконечное семейство неупорядоченных пар элементов из V(G), называемых ребрами.


Если оба множества V(G) и E(G) — счетны, то G называется счетным графом. Заметим, что наши определения исключают те случаи, когда V(G) — бесконечно, а E(G) — конечно. Такие объекты являются всего лишь конечными графами с бесконечным множеством изолированных вершин. Когда E(G) — бесконечно, а V(G) — конечно, такие объекты являются конечными графами с бесконечным числом петель или кратных ребер.

Некоторые определения таких понятий, как "смежный", "инцидентный", "изоморфный", "подграф", "объединение", "связный", "компонента" переносятся на бесконечные графы. Степенью вершины v бесконечного графа называется мощность множества ребер, инцидентных v Степень вершины может быть конечной или бесконечной. Бесконечный граф, все вершины которого имеют конечные степени, называется локально конечным. Хорошо известным примером такого графа является бесконечная квадратная решетка, часть которой изображена на рисунке. Локально счетный бесконечный граф — это граф, все вершины которого имеют счетную степень. Под счетным множеством здесь и в дальнейшем понимается бесконечное множество, допускающее взаимно однозначное отображение на множество натуральных чисел.

Теорема Каждый связный локально счетный бесконечный граф является счетным.

Доказательство

Пусть v — произвольная вершина такого бесконечного графа, и пусть v_{1}множество вершин, смежных v, v_{2} — множество всех вершин, смежных вершинам из v_{1}, и т.д. По условию теоремы v_{1} — счетно и, следовательно, множества v_{2},v_{3},\ldots тоже счетны. Здесь используется тот факт, что объединение не более чем счетного множества счетных множеств счетно. Следовательно, \{v\},v_{1},v_{2},\ldots — последовательность множеств, объединение которых счетно. Кроме того, эта последовательность содержит каждую вершину бесконечного графа в силу его связности. Отсюда и следует нужный результат.

Следствие Каждый связный локально конечный бесконечный граф является счетным.

Помимо этого, на бесконечный граф G можно перенести понятие маршрута, причем тремя различными способами:

  1. Конечный маршрут в G определяется так. Маршрутом в данном графе G называется конечная последовательность ребер вида \{v_{0},v_{1}\}, \{v_{1},v_{2}\} \dts
\{v_{m-1},v_{m}\}. Маршрут можно обозначить и так: v_{0} \to v_{1} \to v_{2} \to \ldots \to
v_{m}.
  2. Бесконечным в одну сторону маршрутом в G с начальной вершиной v_{0} называется бесконечная последовательность ребер вида \{v_{0},v_{1}\}, \{v_{1},v_{2}\}\ldots.
  3. Бесконечным в обе стороны маршрутом в графе G называется бесконечная последовательность ребер вида \ldots,\{v_{-2},v_{-1}\},\{v_{-1},v_{0}\}, \{v_{0},
v_{1}\},\{v_{1},v_{2}\},\ldots

Бесконечные в одну сторону и в обе стороны цепи и простые цепи определяются очевидным образом, так же как и понятия длины цепи и расстояния между вершинами. Бесконечные простые цепи не так уж трудно обнаружить.

Теорема 6.1. (Кениг, 1936) Пусть G — связный локально конечный бесконечный граф, тогда для любой вершины v существует бесконечная в одну сторону простая цепь с начальной вершиной v.

Доказательство

Если z — произвольная вершина графа G, отличная от v, то существует нетривиальная простая цепь от v до z, отсюда следует, что в G имеется бесконечно много простых цепей с начальной вершиной v. Поскольку степень v конечна, то бесконечное множество таких простых цепей должно начинаться с одного и того же ребра. Если таким ребром является \{ v,v_{1} \}, то, повторяя эту процедуру для вершины v_{1}, получим новую вершину v_{2} и соответствующее ей ребро \{v_{1},v_{2}\}. Продолжая таким образом, получим бесконечную в одну сторону простую цепь v\to v_{1} \to v_{2}\ldots.

Важное значение леммы Кенига состоит в том, что она позволяет получить результаты о бесконечных графах из соответствующих результатов для конечных графов. Типичным примером является следующая теорема.

Теорема 6.2. Пусть Gсчетный граф, каждый конечный подграф которого планарен, тогда и G планарен.

Доказательство Так как Gсчетный граф, его вершины можно занумеровать в последовательность v_{1},v_{2},v_{3},\ldots. Исходя из нее, построим строго возрастающую последовательность G_{1} \subset G_{2} \subset G_{3}
\ldots подграфов графа G, выбирая в качестве G_{k} подграф с вершинами v_{1}\dts v_{k} и ребрами графа G, соединяющими только эти вершины между собой. Далее, примем на веру тот факт, что графы G_{i} могут быть уложены на плоскости конечным числом, скажем m(i), топологически различных способов, и построим еще один бесконечный граф H. Его вершины w_{ij} ({i\ge 1}, {1\le
j\le m(i))} пусть соответствуют различным укладкам графов \{G_{i}\}, а его ребра соединяют те из вершин w_{ij} и w_{kl}, для которых k=i+1 и плоская укладка, соответствующей w_{ij}. Мы видим, что граф H связен и локально конечен, поэтому, как следует из леммы Кенига, он содержит бесконечную в одну сторону простую цепь. А так как граф G является счетным, то эта бесконечная простая цепь и дает требуемую плоскую укладку графа G.

Стоит подчеркнуть, что если принять дальнейшие аксиомы теории множеств, в частности, аксиому выбора для несчетных множеств, то многие результаты можно перенести и на такие бесконечные графы, которые необязательно являются счетными.

< Лекция 5 || Лекция 6: 12 || Лекция 7 >
Владислав Нагорный
Владислав Нагорный

Подскажите, пожалуйста, планируете ли вы возобновление программ высшего образования? Если да, есть ли какие-то примерные сроки?

Спасибо!

Лариса Парфенова
Лариса Парфенова

1) Можно ли экстерном получить второе высшее образование "Программная инженерия" ?

2) Трудоустраиваете ли Вы выпускников?

3) Можно ли с Вашим дипломом поступить в аспирантуру?

 

Петр Гончар-Зайкин
Петр Гончар-Зайкин
Россия
Светлана Ведяева
Светлана Ведяева
Россия, Саратов